王　磊，陳　雋,2，樓佳悅，李　果

(1.同濟大學 結構工程系，上?！?00092；2.同濟大學 土木工程防災國家重點試驗室，上?！?00092)

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單人Bounce荷載的實驗建模研究

王磊1，陳雋1,2，樓佳悅1，李果1

(1.同濟大學 結構工程系，上海200092；2.同濟大學 土木工程防災國家重點試驗室，上海200092)

Bounce指音樂會或體育比賽中常見的觀眾雙腳不離地的身體有節(jié)奏的上下往復運動。利用測力板以及無線測力鞋墊，開展了單人在不同頻率下的Bounce荷載的測試試驗，共得到了109人次822條有效單人Bounce荷載記錄。在此基礎上，建立了Bounce荷載的傅里葉級數模型，給出了四階動載因子和相位角的建議值，并與國外已有模型進行了對比分析。本文模型所模擬的Bounce荷載與實測荷載的時域特性相同，所引起的結構響應幅值一致，可供工程設計參考使用。

Bounce荷載；大跨樓蓋；傅里葉級數模型；動載因子

隨著建筑材料性能與設計水平的不斷提高，以及建筑功能的多元化需求，建筑樓蓋結構的跨度越來越大。另一方面，經濟的發(fā)展帶來社會文化生活的豐富，人們參加各種音樂會和大型體育活動的次數迅速增多。媒體報道2013年中國演出市場的總經濟規(guī)模為463億元，而在2009年只有約25億的規(guī)模，四年增長了18倍。在欣賞音樂會和現場比賽的過程中，觀眾隨著音樂或比賽進程的有節(jié)奏運動非常常見。當人群有節(jié)奏運動的頻率與支撐結構的自振頻率相當時，共振效應會造成支撐結構的過大振動，一方面可能造成結構的破壞，另一方面可能造成觀眾的身體不適和心理恐慌，甚至誘發(fā)公共安全事件。如1985年瑞典的Nya Ullevi體育場在舉行音樂會時，看臺上的觀眾隨音樂的節(jié)奏性運動引起體育場下軟土地基的振動，在400 m外都可感受到，體育場基礎遭受到了嚴重損壞[1]。

Bounce(有學者稱為Bobbing)指雙腳不離地的人體上下往復運動，是有節(jié)奏運動中最為常見的運動形式。尤其是在音樂廳和體育場等場所，由于活動空間有限，位置固定，人們常常伴隨音樂節(jié)奏做Bounce運動。Bounce運動相對于跳躍等劇烈行為更省力，持續(xù)時間更長，造成結構共振的可能性也就更大[2]。因此，國外有規(guī)范建議將Bounce作為體育場館和音樂會場的建筑樓蓋振動分析的代表性動力荷載[3-4]?？煽康暮奢d模型是保障結構分析準確性的基本前提，國外一些學者已對bounce荷載進行了研究,AGU等采用測力板進行了Bounce荷載試驗，結果與丹麥規(guī)范[3]建議的荷載模型進行了分析比較，實測值超出規(guī)范值3倍，并指出前3～4階諧波頻率有影響[5]。YAO[6]設計了一個模擬看臺的可調整剛度的試驗裝置，研究Bounce荷載下的人與結構相互作用影響。PARKHOUSE等[7]利用測力板進行人群Bounce荷載試驗，研究人群荷載的隨機性和協(xié)同性，試驗給出了不同人數下人群Bounce的整體前四階動載因子。DUARTE等[8]通過混凝土簡支梁在Bounce荷載下的位移響應，反推獲得了Bounce荷載模型的各階動載因子。對于Bounce荷載，國內開展的研究不多，目前也尚沒有相應的荷載模型或取值建議。

對此，本文通過試驗獲得了大量單人Bounce荷載記錄，在此基礎上建立了4階傅里葉級數模型，給出了模型參數的取值方法，與國外已有研究成果進行了比較，并與實測荷載在時程和結構響應上進行了對比驗證。

1　Bounce荷載試驗數據

數量多且頻譜成分豐富的Bounce荷載實測記錄是建立荷載模型的前提。本研究收集到了兩批實測Bounce荷載數據，一批來自英國的謝菲爾德大學的試驗，另一批來自同濟大學的試驗。

謝菲爾德大學的試驗利用固定于剛性地面的測力板(AMTI BP-400600,USA，圖1(a))開展，共84人參加。試驗Bounce頻率范圍為1.5～3.6 Hz，按0.3 Hz遞增，每人共8個試驗工況。試驗者根據節(jié)拍器的引導完成每個工況。每次測試持續(xù)30 s，采樣頻率為200 Hz。測試者在每次測試結束后休息至無疲憊感后才開始進行下一個工況的試驗。謝菲爾德試驗共獲得了672條連續(xù)Bounce荷載時程。

同濟大學試驗采用德國Novel公司的Pedar高精度無線測力鞋墊技術，見圖1(b)。這種技術廣泛應用于運動醫(yī)學的測力試驗中。該技術采用嵌入鞋內墊的壓力傳感器，實時反映足底壓力分布，連續(xù)記錄運動狀態(tài)下的足底壓力，具有和傳統(tǒng)測力板技術相同的測試精度和測試質量。迄今共有25人參與了試驗，Bounce頻率范圍為1.5～3.5 Hz，中間按0.4 Hz遞增，每人有6個試驗工況。每次測試持續(xù)25 s左右，采樣頻率100 Hz。試驗者同樣按節(jié)拍器引導完成每個試驗工況，結束后休息至無疲憊狀態(tài)才進行下一次的試驗。同濟試驗獲得了150條連續(xù)Bounce荷載時程。

圖1　Bounce荷載試驗情況Fig.1　Experimental test for Bounce loads

兩批試驗總共822條單人Bounce荷載記錄，為目前文獻報道中數量最多的數據庫。圖2是某測試者在低頻、中頻、高頻下的Bounce荷載名義力(豎向力/體重)時程及其分別對應的傅里葉幅值譜。可見，三種不同快慢頻率下，Bounce時程在峰值和波形形狀上有很大不同。頻譜上，前3～4個峰值比較明顯，分別對應Bounce頻率及其倍頻，隨著Bounce頻率的增大，倍頻處的峰值慢慢變小而主頻處的峰值越來越大。以上試驗記錄的時頻域特點與AGU等[5]的試驗描述一致。

(a) Bounce頻率1.5Hz(b) Bounce頻率1.5Hz(c) Bounce頻率2.7Hz

(d) Bounce頻率2.7Hz(e) Bounce頻率3.6Hz(f) Bounce頻率3.6Hz

圖2實測Bounce荷載曲線及其傅里葉幅值譜
Fig.2 Experimentally measured Bounce load curves and their Fourier amplitude spectra

2　Bounce荷載模型

2.1傅里葉級數模型

傅里葉級數模型是描述周期性荷載的常用數學工具，廣泛用于描述行走、跳躍等人致荷載[9-12]。Bounce運動也可合理地假定為周期性重復過程，則荷載的傅里葉級數模型為：

(1)

式中:F(t)代表的是豎向Bounce荷載；G為人的靜止體重；αi為豎向第i階傅里葉系數，也稱為動載因子(Dynamic Loading Factor,DLF)；fp為bounce頻率；φi為豎向第i階諧波相位角，取值范圍[-π,π]；n為模型中考慮的階數。

根據對Bounce數據庫記錄的分析，4階以上的諧波分量的DLF值很小，從保證精度同時方便使用的角度，取模型截斷階數n=4。對數據庫中每一條Bounce記錄作傅里葉變換得到對應的幅值譜和相位譜，從中可獲得各階DLF及相位。在確定每一階DLF以及相位時將其頻率搜索范圍定為(n-0.5)fp～(n+0.5)fp，范圍內幅值譜最大值取為此階的DLF，對應頻率作為此階的實際頻率。例如Bounce工況的頻率為2.0 Hz時，一階和二階的頻率范圍分別定為1.0～3.0 Hz和3.0～5.0 Hz。圖3是某條記錄的傅里葉幅值譜

和相位譜，星號標出的點代表的是各階的DLF和相位。

圖3　某時程的傅里葉幅值譜和相位譜Fig.3　The Fourier amplitude and phase spectra of one time history

2.2動載因子取值

通過上述的方法對數據庫中的822條荷載時程進行分析處理得到前四階的DLF以及對應的實際頻率值。各階DLF在各頻率范圍內的分布如圖4所示。

圖4　前四階DLF隨Bounce頻率的變化Fig.4　The change of the first four dynamic load factors with the frequency of Bounce

分析結果顯示Bounce的各階DLF分布相對于步行的各階DLF分布更加離散[9-11]。為了更清楚地了解各階DLF隨頻率的變化趨勢。對橫軸的Bounce頻率進行分區(qū)統(tǒng)計，共分成8個頻率區(qū)段，分別為：(0,1.65)Hz；(1.65,1.95)Hz；(1.95,2.25)Hz；(2.25,2.55)Hz；(2.55,2.85)Hz；(2.85,3.15)Hz；(3.15,3.45)Hz；(3.45,5)Hz。計算各個區(qū)段內各階DLF的平均值及標準差，對各階DLF均值和均值±1倍標準差隨頻率的變化進行最小二乘曲線擬合，得到的圖形曲線見圖4。圖中星星符號代表頻段均值，三角形代表一倍標準差，均值擬合所得回歸方程見表1。可以看出，一階DLF隨頻率增加而緩慢上升，二、三、四階則都隨頻率緩慢下降，這一趨勢與前文中對圖2的描述相一致。

表1　各階動載因子回歸方程

2.3相位角取值

數據分析結果發(fā)現，前四階的相位角或者是各階間的相位差都非常離散，與Bounce頻率無明顯的關系，因此將一階相位角取為0，第2～4階相位角取為-π/3，π/3和0，分別是相位差試驗結果均值。

3　模型對比和驗證

3.1不同模型DLF對比

國外有關Bounce的荷載模型有限，最具代表性的是丹麥1998年頒布的荷載設計規(guī)范[3]和Duarte的荷載模型[8]，PARKHOUSE[7]沒有給出具體模型但給出了不同人數、不同頻率下的實測DLF。表2列出了上述研究所給出的動載因子。

表2　不同研究者提出的荷載模型

圖5　不同模型各階動載因子比較Fig.5　Comparison of DLFs from different models for each order

圖5是本研究所提DLF與已有模型的對比。圖中可見本文模型和Duarte模型一階的DLF在1.5～3 Hz范圍內比較接近。由于本研究數據的測試頻率范圍1.5～3.6 Hz高于DUARTE試驗的0.4～3.2 Hz，因此高頻段DLF的取值比DUARTE模型更有依據。試驗過程中發(fā)現，測試者在高頻bounce時很難跟得上節(jié)拍器的頻率，這正是一階DLF在高頻處不再隨頻率增加的主要原因。而這一點也與PARKHOUSE通過試驗數據生成的5人bounce的整體一階DLF變化趨勢相同。PARKHOUSE的5人bounce其整體一階DLF相比于本文和Duarte的一階DLF都要小，這是因為多人bounce并不是完全同步的，存在一定的隨機性。對于二階DLF本文模型的變化趨勢與PARKHOUSE的5人bounce的整體二階DLF變化大致相當。三階和四階對于荷載模型其貢獻比較少，各模型間三階和四階DLF隨頻率的變化雖不是特別接近，但整體上還是保持在同一數量級上。對于相位，丹麥規(guī)范和PARKHOUSE均未給出具體的取值，DUARTE則直接采用了文獻[12]中跳躍荷載前兩階的相位角，三、四階相位角均取為0。

3.2模型時程對比

圖6是本文和Duarte兩種模型構造的名義力荷載(豎向力/體重)時程曲線在低頻和高頻下與實測名義力時程的對比。圖中可以發(fā)現，本文的模型在形狀上與實測時程比較接近，幅值范圍上與實測時程存在一些差異。這是由DLF計算時忽略了主諧波頻率鄰近的能量所造成的，但由于實際設計中一般采用共振假定，周期性的模擬荷載會引起較大的振幅，彌補了DLF偏小的問題。本文接下來將從響應上對模型進行對比驗證。

(a) 1.5Hz實測時程(b) 3.0Hz實測時程(c) 1.5Hz本文模型構造時程

(d) 3.0Hz本文模型構造時程(e) 1.5HzDuarte模型構造時程(f) 3.0HzDuarte模型構造時程

圖6 不同模型時程曲線和實測時程曲線比較
Fig.6 Comparison of time history curves for different models and experimentally measured Bounce load curves

3.3模型響應對比和驗證

將圖6中的1.5 Hz實測和仿真時程、3.0 Hz實測和仿真時程分別施加于基頻為3.0 Hz、阻尼比為0.02的單自由度體系，計算結構的加速度響應，如圖7所示。圖中的橫線是仿真時程輸入后結構的最大加速度響應，可以看出，無論是一階共振響應還是二階共振響應，本文的荷載模型構造的荷載與實測荷載比較吻合，能夠滿足工程應用的需要。

(a) 仿真1.5HzBounce輸入(b) 實測1.5HzBounce輸入

(c) 仿真3.0HzBounce輸入(d) 實測3.0HzBounce輸入

圖7 不同激勵下單自由度結構的加速度響應
Fig.7 Acceleration response of the single degree of freedom structure in different input force

4　結　論

利用測力板和無線測力鞋墊技術獲得了822條不同頻率的單人bounce荷載時程。通過這些數據并基于傅里葉級數模型，提出了單人bounce荷載下的前四階動載因子及相位角的建議值。通過與國外文獻和規(guī)范已有模型的對比，以及仿真時程與實測記錄的對比表明，可供工程設計與分析參考使用。

致謝 感謝英國謝菲爾德大學土木和結構工程學院Vitomir Racic博士(現意大利米蘭理工大學)所提供的試驗數據。

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Modeling with tests for single human bounce load

WANG Lei1,CHEN Jun1,2,LOU Jiayue1,LI Guo1

(1.Department of Structural Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China;2.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering,Tongji University,Shanghai 200092,China)

Bounce means up-down movements of human body with two feet remaining on the ground,it is a typical activity of audience in a concert or sport game.Tests were conducted to measure a single person’s bouncing load with different frequencies using a force plate and a wireless dynamometer insole.109 persons participated in tests to generate 822 individual bouncing load records.A fourth-order Fourier series model was built to describe the bounce load,whose coefficients called dynamic load factors and phase angles were determined with the statistical analysis of measured records.The proposed model was compared with other available models according to model parameters in time domain.It was shown that simulated bounce load curves with the proposed model have similar shapes to those of the measured loads; the responses of a single-DOF system to simulated and measured bounce loads,respectively are nearly the same.

human bounce load; long span floor; Fourier series model; dynamic load factor

國家自然科學基金(51478346)

2015-04-17修改稿收到日期：2015-08-31

王磊 男，碩士生，1992年9月生

陳雋 男，教授，博士生導師，1972年4月生

E-mail：cejchen@#edu.cn

TU312+.1

A DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2016.17.009