母易，于昊天，張德存

（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

一類p次方型差分系統(tǒng)解的性態(tài)研究

母易，于昊天，張德存

（海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東煙臺264001）

文章研究了一類p次方型差分系統(tǒng)解的性態(tài)。運用數(shù)學(xué)歸納法、極限思想研究了0＜a≤1，a＞1時系統(tǒng)解的性態(tài)，證明了系統(tǒng)全局吸引子、有界持久性、非振動解的收斂性等有關(guān)結(jié)論。

差分系統(tǒng)；子列；極限

文獻［5-6］在解決了這一猜想的基礎(chǔ)上，進一步思考，證明了解的持久性、振動性等相關(guān)問題。近年來，有關(guān)差分系統(tǒng)的研究逐漸引起了越來越多的人的關(guān)注，參見文獻［7-14］。文獻［15-18］在研究差分系統(tǒng)時運用了極限思想、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等方法，值得本文借鑒。受上述文獻的啟發(fā)，本文研究差分系統(tǒng)：

運用迭代、極限的性質(zhì)以及子列等知識，研究了該差分系統(tǒng)的全局吸引子、有界持久性、振動性等解的性態(tài)。

1　主要引理

證明：由平衡點的定義得：

引理證畢。

引理2：若1＜p＜2，則對于任意的y＞0，有yp-1-y-1＜0。

證明：設(shè)f（y）=yp-1-y-1，對f（y）求導(dǎo)數(shù)有

引理證畢。

引理3：若a≤1、p＞1且x-1≥y0、y-1≥x0，則系統(tǒng)（1）的正解滿足x-1≥y0＞x1＞y2＞x3＞y4＞…、y-1≥x0＞y1＞x2＞y3＞x4＞…且。

證明：由系統(tǒng)（1）有：

因此，

顯然，x-1≥y0＞x1＞y2＞x3＞y4＞…，y-1≥x0＞y1＞x2＞y3＞x4＞…。

由引理1可知m=n=0。

引理證畢。

2　主要定理

定理1：若a≤1，1＜p＜2，則平衡點xˉ=yˉ=0是系統(tǒng)（1）的全局吸引子。

假設(shè)x-1＜y0≤x1≤y2≤x3≤y4≤…且y-1＜x0≤y1≤x2≤y3≤x4≤…。

由系統(tǒng)（1）有：

由引理2有：

因為x-1＜y0≤x1≤y2≤x3≤y4≤…且y-1＜x0≤y1≤x2≤y3≤x4≤…。

所以，當(dāng)n為奇數(shù)時：

將式（2）分子中的xn-1，式（3）分子中的yn-1分別用式（1）替換，從而將式（2）、（3）變形，得：。即數(shù)列的偶數(shù)項是有界的。

這與引理1矛盾。

n為偶數(shù)時同理可證。

所以，x-1＜y0≤x1≤y2≤x3≤y4≤…不成立，y-1＜x0≤y1≤x2≤y3≤x4≤…也不成立。

即：一定存在M、L（假設(shè)M、L為奇數(shù)，M、L為偶數(shù)的情況類似可證），使得xM＞yM+1、yL＞yL+1。

定理證畢。

定理2：若a＞1，1＜p＜2，則系統(tǒng)（1）的所有正解都是有界持久的。

由系統(tǒng)（1）有：

由引理2有：

由引理2有：

根據(jù)式（4）～（7），由數(shù)學(xué)歸納法可知：

下面證明是不可能的，即的情況類似可證）。

由不等式（8）、（9）可知：

由式（10）、（11）可知：k是大于1的整數(shù)。

由系統(tǒng)（1）有：

由數(shù)學(xué)歸納法可知：

由系統(tǒng)（1）有：

由數(shù)學(xué)歸納法可知：

因此，當(dāng)n2＞n1時，xn2+1＞yn2。

取M=max｛n2，n3｝，則當(dāng)M＞n1時，xM+1＞yM，yM+1＞xM。

所以數(shù)列｛xn｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是單調(diào)增加的，數(shù)列｛yn｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項也都是單調(diào)增加的。這與矛盾。

綜上，系統(tǒng)（1）的所有正解都是有界持久的。

定理3：若a＞1，1＜p＜2，則系統(tǒng)（1）的所有非振動解都收斂到平衡點xˉ=yˉ=a-1。

由系統(tǒng)（1）有：

由數(shù)學(xué)歸納法可知，當(dāng)n＞n4時

。

取M=max｛n5，n6｝，則當(dāng)M＞n4時，xM+1＜yM，yM+1＜xM。

所以，數(shù)列｛xn｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項都是單調(diào)減少的，數(shù)列｛yn｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項也都是單調(diào)減少的，且xn＞、yn＞。根據(jù)單調(diào)遞減有下界的數(shù)列必有極限可知：。

定理證畢。

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Research on the Characteristics of Solution of ap-times Difference System

MU Yi，YU Haotian，ZHANG Decun
（Department of Basic Sciences，NAAU，Yantai Shandong 264001，China）

In this paper，a p-times difference systemwas studied.The method of induction and limitation was applied to study the characteristics of solution of the system with0＜a≤1，a＞1.Furthermore，some conclusions were gotten about global attractor，permanent，non-oscillatory solution.

difference system；subsequence；limitation

O241.84

A

1673-1522（2016）03-0390-05DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.016

2016-03-05；

2016-04-15

母易（1992-），男，碩士生。