楊永存，辛慶偉

（1.海軍駐貴陽地區(qū)軍事代表室，貴陽550009；2.海軍航空工程學(xué)院接改裝訓(xùn)練大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001）

一種基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)的發(fā)動(dòng)機(jī)特性曲線擬合

楊永存1，辛慶偉2

（1.海軍駐貴陽地區(qū)軍事代表室，貴陽550009；2.海軍航空工程學(xué)院接改裝訓(xùn)練大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001）

準(zhǔn)確的發(fā)動(dòng)機(jī)特性曲線是其性能計(jì)算的基礎(chǔ)。文章討論了多種情況的特性曲線插值方法：在工作點(diǎn)位置區(qū)間內(nèi)，對(duì)小數(shù)據(jù)情況引入了新的插值方法；多數(shù)據(jù)時(shí)，采用三次樣條插值方法進(jìn)行插值；在工作點(diǎn)位置區(qū)間外，數(shù)據(jù)較多時(shí)，基于最小二乘法進(jìn)行不同工作點(diǎn)的擬合；當(dāng)工作點(diǎn)位置數(shù)據(jù)較少，利用新的插值方法在區(qū)間內(nèi)引入虛擬工作點(diǎn)增加數(shù)據(jù)點(diǎn)，后按照數(shù)據(jù)較多的情況處理。所得結(jié)果與實(shí)際數(shù)值比較，精度較高，具有一定的參考價(jià)值。

擬合；樣條插值；特性曲線；發(fā)動(dòng)機(jī)；數(shù)據(jù)處理

發(fā)動(dòng)機(jī)模型是發(fā)動(dòng)機(jī)性能計(jì)算以及優(yōu)化控制的基礎(chǔ)［1-3］。而在發(fā)動(dòng)機(jī)模型計(jì)算中，經(jīng)常會(huì)調(diào)用壓氣機(jī)和渦輪的特性曲線［4-6］?？梢哉f，壓氣機(jī)和渦輪特性曲線的準(zhǔn)確性直接影響到發(fā)動(dòng)機(jī)模型的精度［7-9］。發(fā)動(dòng)機(jī)特性曲線目前存在的最大缺點(diǎn)是數(shù)據(jù)少，例如在某一工作點(diǎn)下，特性曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)是有限的，性能計(jì)算過程中，經(jīng)常會(huì)調(diào)用特性曲線上沒有的點(diǎn)，甚至在有些工作點(diǎn)位置下根本無法獲得特性曲線數(shù)據(jù)［10-12］。本文根據(jù)實(shí)際情況，以壓氣機(jī)特性曲線插值為例，討論了區(qū)間內(nèi)和區(qū)間外工作點(diǎn)位置數(shù)據(jù)多少的情況，進(jìn)行特性曲線插值的方法。對(duì)比了3種不同的插值方法，得到樣條插值效果最好。針對(duì)區(qū)間外數(shù)據(jù)點(diǎn)較少的情況，提出了一種新的插值方法，即引入虛擬工作點(diǎn)增加插值數(shù)據(jù)，結(jié)果較為理想。利用本文的插值方法，可以得到一些新的工作點(diǎn)位置的特性曲線，為發(fā)動(dòng)機(jī)性能計(jì)算提供一定的基礎(chǔ)。

1　樣條插值基礎(chǔ)知識(shí)

設(shè)在區(qū)間內(nèi)［a，b］上取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，給定區(qū)間［a，b］的一個(gè)分化：Δ:a=x0＜x1＜x2＜…＜xn-1＜xn=b。

若實(shí)值函數(shù)s（x）滿足：

1）在小區(qū)間［xi-1，xi］（i=1，2，…，n）上是不超過3次的多項(xiàng)式；

2）在節(jié)點(diǎn)xi（i=1，2，…，n-1）處具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)。

則稱s（x）是關(guān)于分化Δ的三次樣條函數(shù)。

若進(jìn)一步滿足：

3）s（xi）=f（xi）（i=0，1，2，…，n）。

則稱s（x）是f（x）關(guān)于分劃Δ的三次樣條插值函數(shù)。

三次樣條插值函數(shù)s（x）在每一個(gè)小區(qū)間上是不超過3次的多項(xiàng)式，含有4個(gè)待定系數(shù)。在整個(gè)插值區(qū)間上有4n個(gè)系數(shù)。按照三次樣條插值的定義，共有如下4n-2個(gè)約束：

內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi處

邊界節(jié)點(diǎn)處

另外，必須附加2個(gè)約束條件。常用的約束條件有如下3類：

1）轉(zhuǎn)角邊界條件s′（x0+0）=m0，s′（xn-0）=mn；

2）彎矩邊界條件s″（x0+0）=M0，s″（xn-0）=Mn；

2　三次樣條方法插值特性曲線

壓氣機(jī)和渦輪特性數(shù)據(jù)少，在有限數(shù)據(jù)的情況下，應(yīng)采用適當(dāng)?shù)姆椒枋霭l(fā)動(dòng)機(jī)的特性，如實(shí)反應(yīng)壓氣機(jī)狀況。為此，本文采用不同的數(shù)據(jù)插值方法對(duì)壓氣機(jī)部件的特性曲線進(jìn)行插值處理，找出比較理想的插值方法。圖1是壓氣機(jī)在某一工作位置下的特性曲線，利用3種不同的插值方法（線性插值，三次樣條插值，拉格朗日插值）方法［13-14］完成特性曲線的插值。

圖1　3種不同方法插值的壓氣機(jī)特性曲線Fig.1 Compressor characteristic map of three different method

由圖1明顯看出，拉格朗日插值方法明顯低于線性插值和三次樣條插值方法，帶有很強(qiáng)的波動(dòng)性。進(jìn)一步看出，3種插值方法在特征節(jié)點(diǎn)上插值數(shù)值都是相等的。

在一些節(jié)點(diǎn)上，得到的插值數(shù)據(jù)見表1。

由表1進(jìn)一步分析可知，三次樣條插值優(yōu)于線性插值方法，拉格朗日插值方法最效果較差。

應(yīng)用拉格朗日插值方法完成對(duì)壓氣機(jī)其他特性曲線的繪制，如圖2～4所示。

由圖2～4分析可知，利用三次樣條插值可以較好的繪制發(fā)動(dòng)機(jī)部件曲線。

表1　3種插值數(shù)據(jù)對(duì)比Tab.1 Data comparison of 3 interpolations

圖2　壓氣機(jī)流量相似參數(shù)線Fig.2 Compressor flow mass similar parameter map

圖3　壓氣機(jī)壓縮效率線Fig.3 Efficiency line of compressor efficiency

圖4　壓氣機(jī)增壓比特性曲線Fig.4 Ratio map of compressor pressure

3　工作點(diǎn)區(qū)間內(nèi)插值

3.1數(shù)據(jù)信息少的情況

在很多情況下，知道兩端位置的曲線或工作點(diǎn)位置附近的曲線，求中間某個(gè)位置的特性曲線。以圖2的低壓壓氣機(jī)流量相似參線為例，已知工作點(diǎn)位置1和4的數(shù)據(jù)（轉(zhuǎn)速以及對(duì)應(yīng)的流量），求工作點(diǎn)位置3的曲線。本文以以下方法完成所求工作點(diǎn)位置3曲線的插值。其中，工作點(diǎn)1到10是按照發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速工作狀態(tài)從最小到最大進(jìn)行均勻劃分［15］。

設(shè)工作點(diǎn)位置集合p存放一組工作點(diǎn)，轉(zhuǎn)速相似參數(shù)集合n存放一組轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)，流量相似參數(shù)集合m存放在對(duì)應(yīng)工作點(diǎn)位置，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速下的折合流量。具體插值方法如圖5所示。

圖5　插值示意圖Fig.5 Chart of interpolation

具體說明如下。

已知：m43，m33，m41，m32，m31，m11，m13，n1，n3。

求：m32。

設(shè)定n2=n1+c×（n3-n1），其中，c=0.75。

第3個(gè)插值工作點(diǎn)計(jì)算過程［10］如下（以求工作點(diǎn)位置3的n2下的m32插值為例）：

同一轉(zhuǎn)速下的各插值點(diǎn)按照上述相同的步驟完成。工作點(diǎn)位置3的插值結(jié)果如圖6所示。

圖6　真實(shí)數(shù)值與插值數(shù)值的對(duì)比Fig.6 Comparison of factual and interpolation value

圖6是待求工作點(diǎn)在已知插值工作點(diǎn)區(qū)間內(nèi)，數(shù)據(jù)比較少的情況。相反，如果工作點(diǎn)位置比較多，數(shù)據(jù)信息比較多，直接采取三次樣條插值的方法。

3.2數(shù)據(jù)信息多的情況

已知條件是工作點(diǎn)位置1、2、3、4、5、6、7、8、10的轉(zhuǎn)速和流量相似參數(shù)數(shù)據(jù)，求工作點(diǎn)位置9的曲線。

在不同轉(zhuǎn)速下，對(duì)流量相似參數(shù)與工作點(diǎn)位置進(jìn)行3次樣條插值，得工作點(diǎn)位置9在不同轉(zhuǎn)速下的流量相似參數(shù)，依次連接即為所求曲線，見圖7。由圖7可知，在數(shù)據(jù)信息較多時(shí)，三次樣條插值效果較好。

圖7　真實(shí)數(shù)值與插值數(shù)值的對(duì)比Fig.7 Comparison of factual and interpolation value

4　數(shù)據(jù)區(qū)間外的插值

4.1數(shù)據(jù)信息多的情況

另一種情況是待求工作點(diǎn)曲線在已知插值工作點(diǎn)區(qū)間外。已知條件是工作點(diǎn)位置1、2、3、4、5、6、7、8、9的轉(zhuǎn)速和流量相似參數(shù)數(shù)據(jù)，求工作點(diǎn)位置10的曲線。數(shù)據(jù)信息比較多，采取的具體做法如下。

利用最小二乘法［16-18］，在不同轉(zhuǎn)速下，建立流量與工作點(diǎn)位置的對(duì)應(yīng)擬合關(guān)系，依據(jù)建立的規(guī)律得到工作點(diǎn)位置10在不同轉(zhuǎn)速下的流量相似參數(shù)，依次連接即為所求曲線。經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，采用4次多項(xiàng)式插值，結(jié)果如圖8所示。由圖8可知，這種情況下采用本文方法插值效果較好。

4.2數(shù)據(jù)信息少的情況

如果數(shù)據(jù)點(diǎn)比較少，已知工作點(diǎn)位置1、2、3的特性曲線，求工作點(diǎn)位置4的曲線。這里采取的步驟：

增加數(shù)據(jù)點(diǎn)，在工作點(diǎn)位置1、2和2、3之間采用圖10示意的插值方法。引入虛擬工作點(diǎn)位置1.5、2.5，如果數(shù)據(jù)點(diǎn)信息不夠多，可以逐次分半。這里到2次分半，即引入虛擬工作點(diǎn)位置1、1.25、1.5、1.75、2、2.25、2.5、2.75、3。在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘方法不同轉(zhuǎn)速，擬合流量相似參數(shù)與工作點(diǎn)位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得到工作點(diǎn)位置4在不同轉(zhuǎn)速下的流量相似參數(shù)，依次連接即為所求曲線，結(jié)果如圖9所示。

圖8　真實(shí)數(shù)值與插值數(shù)值的對(duì)比Fig.8 Comparison of factual and interpolation value

圖9　真實(shí)數(shù)值與插值數(shù)值的對(duì)比Fig.9 Comparison of factual and interpolation value

5　總結(jié)

本文利用三次樣條插值方法完成對(duì)壓氣機(jī)特性曲線的插值。對(duì)區(qū)間內(nèi)和區(qū)間外的數(shù)據(jù)插值，數(shù)據(jù)信息少和多的情況，采取不同的插值方法。對(duì)區(qū)間外數(shù)據(jù)信息少的情況，引入虛擬工作點(diǎn)增加信息量的方法，擴(kuò)大插值數(shù)據(jù)點(diǎn)，完成對(duì)特性曲線的插值。取得了比較好的效果。此方法可以完成對(duì)未知工作點(diǎn)的插值。

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A Fitting on Engine Characteristic Map Based on Text Data

YANG Yongcun1，XIN Qingwei2
（1.Military Representatives Office of Navy in Guiyang，Guiyang 550009，China；2.Training Brigade of Equipment Acceptance and Modification，NAAU，Yantai Shandong 264001，China）

Correct engine characteristic map is basis of performance computation.Characteristic map of interpolation method in many condition was discussed.For interpolation of internal work point zone，a new interpolation was introduced in the less data；spline interpolation was adopted in the more data.For interpolation of exterior zone，different work points were fitted based on LS method，required map was gained according to fitting law.When work point data was less，a new interpolation method was adopted to adding data by introducing unreal work condition，and interpolation was dealt with according to more data.Results was precise compared to factual value，it had reference value.

fitting；spline interpolation；characteristic map；engine；data processing

V263.3

A

1673-1522（2016）03-0312-05DOI:10.7682/j.issn.1673-1522.2016.03.003

2016-02-20；

2016-04-15

楊永存（1971-），男，高工，大學(xué)。