盧映芬

【摘要】 數(shù)學抽象是對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關系和空間形式的真實材料進行加工，提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學語言表達進而形成數(shù)學理論的過程. 用任何數(shù)學知識解決純數(shù)學問題或聯(lián)系實際問題都需要計算、推理、構(gòu)建模型，都離不開抽象.

本文結(jié)合史寧中教授提出的抽象深度三層次之說，充分挖掘教材編寫意圖，結(jié)合小學數(shù)學人教版第一學段的教學實踐具體闡述了抽象思想從初感悟到再感悟到最后領悟的全過程.

【關鍵詞】 數(shù)量關系；抽象思想；滲透；分析

《課程標準（2011版）》指出：“數(shù)學思想蘊含在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等. ”其中最基本的數(shù)學思想是抽象、推理、模型. 在義務教育階段應結(jié)合具體的教學內(nèi)容逐步滲透數(shù)學的基本思想.

數(shù)學抽象是對現(xiàn)實世界具有數(shù)量關系和空間形式的真實材料進行加工，提煉出共同的本質(zhì)屬性，用數(shù)學語言表達進而形成數(shù)學理論的過程. 用任何數(shù)學知識解決純數(shù)學問題或聯(lián)系實際問題都需要計算、推理、構(gòu)建模型，都離不開抽象. 關于抽象思想，史寧中教授認為就抽象的深度而言，大體可以分為三個層次：一是把握事物的本質(zhì)，把復雜的問題簡單化、條理化，能夠清晰地表達，稱為簡約階段；二是去掉具體的內(nèi)容，利用概念、圖形、符號、關系表述包括已經(jīng)簡約化了的事物在內(nèi)的一類事物，稱為符號階段；三是通過假設和推理建立法則、模式或者模型，并能夠在一般意義上解釋具體事物，稱為普適階段. 在提倡情境教學的數(shù)學課堂上，創(chuàng)設情境，而后抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應用恰恰符合史教授所提的抽象的第二和第三層次，那抽象的第一層次——簡約階段在哪里體現(xiàn)呢？本人結(jié)合“單價、數(shù)量和總價”這一數(shù)量關系的形成過程談談我的看法.

一、滲透數(shù)量關系，抽象思想初感悟

一個數(shù)學思想的形成需要經(jīng)歷一個從模糊到清晰，從理解到應用的長期發(fā)展過程，需要在不同數(shù)學內(nèi)容的教學中通過提煉、總結(jié)、理解、應用等循環(huán)往復的過程逐步形成，學生只有經(jīng)歷這樣的過程，才能逐步“悟”出數(shù)學知識、技能中蘊含的數(shù)學思想.

如：在教學二年級上冊第78頁例3用乘法解決問題時，在“怎樣解答”環(huán)節(jié)讓學生用畫圖表征“幾個幾”，強調(diào)用乘法的意義選擇乘法運算解決問題后， “解答正確嗎？”這個環(huán)節(jié)借用小精靈的話對數(shù)學關系進行總結(jié)和概括“求3個文具盒的總錢數(shù)，可以用1個文具盒的價錢乘買的個數(shù)”，讓學生初步感悟“單價 × 數(shù)量 = 總價”這一數(shù)量關系. 接著在解決“想一想：買7塊橡皮，一共多少錢？”這個問題時，同樣是“解答正確嗎？”這個環(huán)節(jié)讓學生嘗試說說“求7塊橡皮的總錢數(shù)，可以用1塊橡皮的價錢乘買的塊數(shù)”進行鞏固. 然后，在“你還能提出其他用乘法解決的問題并解答嗎？”這個環(huán)節(jié)中鼓勵學生仿照例題說想法. 最后課堂小結(jié)時老師根據(jù)一系列的購物活動讓學生明確：求物品的總錢數(shù)，可以用1個物品的價錢乘買的個數(shù). 通過以上三個層次的教學，在學生深化理解乘法意義的同時，把一系列看似復雜的購物活動簡單化、條理化，并教會學生用一句話清晰表達解題方法，初步感悟抽象思想.

又如教學二年級下冊第42頁例3用除法解決問題，在“解答正確嗎？”環(huán)節(jié)讓學生說出檢驗的方法時，根據(jù)以往積累的經(jīng)驗，學生很自然就說出“用56元除以一個地球儀8元，算出買了7個地球儀”這句話，滲透 “總價 ÷ 單價 = 數(shù)量”這一數(shù)量關系. 在“想一想”環(huán)節(jié)，解決“24元買了6輛汽車，一輛汽車多少錢？”在“解答正確嗎”這個環(huán)節(jié)用同樣用一句話說出解題的方法，滲透“總價 ÷ 數(shù)量 = 單價”這一數(shù)量關系. 當然，在滲透數(shù)量關系時切記要把握好“度”，二年級的教學只要求學生能結(jié)合具體情境多次體驗、感悟、積累“乘法模型”和“除法模型”的典型實例，初步感悟抽象思想，并不需要進行高度的抽象概括，所以數(shù)量、單價和總價這些名詞不宜在這里出現(xiàn).

二、分析數(shù)量關系，抽象思想再感悟

數(shù)學知識和數(shù)學思想是緊密聯(lián)系的，數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展過程，也是數(shù)學思想發(fā)生和凸顯的過程，抽象思想也不例外. 例如：教學三年級上冊第71例8用乘除兩步計算解決含有“歸一”數(shù)量關系的實際問題，在“分析與解答”環(huán)節(jié)，通過小精靈和學生的對話提示思考的步驟，分析數(shù)量關系，用一句話“3個碗18元，用除法能求出1個碗的價錢”清晰表達了解題方法，滲透“總價÷數(shù)量=單價”；接著同樣用一句話“要買8個這樣的碗需要多少錢，就是求是8個這樣的價錢相加的和，用乘法計算”歸納解決方法，滲透“單價×數(shù)量=總價”. 同冊教材第72頁例9用乘除兩步計算解決含有“歸總”數(shù)量關系的實際問題時以同樣的方法引導學生分析數(shù)量關系解決問題.

例8和例9的教學是在學生掌握了“乘法模型”和“除法模型”，對“單價、數(shù)量和總價”這一數(shù)量關系有了一定的認識和感悟的基礎上進行的教學，所以在學生學習用“乘除兩步解決問題”這個知識，分析“歸一”“歸總”題型的數(shù)量關系的同時，實現(xiàn)了抽象思想的再感悟. 教材除了用例題以“問題解決”形式讓學生在鞏固乘除法意義的學習中逐步感悟“單價、數(shù)量和總價”這一數(shù)量關系外，還在三年級上下冊的一些練習中不斷出現(xiàn)這一數(shù)量關系的習題，讓學生積累豐富的解題經(jīng)驗，為數(shù)量關系的提煉打下基礎.

三、提煉數(shù)量關系，領悟抽象思想

抽象思想需要學生通過不斷重復、不斷深入思考，才能逐步“領悟”. 四年級上冊第52頁例4，“單價、數(shù)量和總價”的數(shù)量關系正式出現(xiàn)，宣告了史寧中教授指出的抽象思想三個層次中的第一階段——簡約階段結(jié)束，正式進入第二層次——符號階段.

教材以下面一組題目呈現(xiàn)：

（1）籃球每個80元，買了3個要多少錢？

（2）魚每千克10元，買4千克要多少錢？

由于學生在前面的學習中已經(jīng)積累了豐富的經(jīng)驗，所以很容易就能解決問題，接著通過學生的對話提出“這兩個問題有什么共同點”，引導學生從兩個問題的相關性入手，歸納出兩個問題的共同點，進而提煉出“單價、數(shù)量和總價”三個概念，最后以小精靈的問題“你知道單價、數(shù)量與總價之間的關系嗎？”放手讓學生用簡潔的語言歸納數(shù)量關系：單價 × 數(shù)量 = 總價. 這之后的一系列的學習活動無非就是讓學生充分鞏固這一數(shù)量關系，并通過各種練習提煉出另外的兩個數(shù)量關系式“總價 ÷ 數(shù)量 = 單價”和“總價 ÷ 單價 = 數(shù)量”.

教材對于“單價 × 數(shù)量 = 總價”這個數(shù)量關系的教學經(jīng)歷了二年級在檢驗環(huán)節(jié)的初步感悟，到三年級在“分析與解答”環(huán)節(jié)的再次感悟，最后到四年級以例題形式正式提煉，可謂用心良苦. 這樣的安排無疑是符合7-9歲的孩子正處于具體思維向形象思維過渡這個年齡和認知特點的.

綜上所述，數(shù)學思想方法貫穿于數(shù)學知識的形成、發(fā)展和應用的過程中，作為最基本的三大數(shù)學思想之一的抽象思想也不例外，它需要教師們充分挖掘教材的編寫意圖，根據(jù)學生的年齡特點和認知特點，根據(jù)教材不同程度的要求在教學中不斷引導，逐步滲透.

備注：本文是廣州市教育科學“十二五”規(guī)劃名師專項課題“小學數(shù)學問題解決能力培養(yǎng)實踐研究”的研究成果（課題編號：1201440720）.

【參考文獻】

[1]王光明，范文貴主編.新版課程標準解析與教學指導//小學數(shù)學[S].北京：北京師范大學出版社，2012.7.

[2]教育部基礎教育課程教材專家工作委員會組織編寫.義務教育數(shù)學課程標準解讀：2011年版[S] .北京：北京師范大學出版社，2012.2.

[3]王永春著.小學數(shù)學與數(shù)學思想方法[M].上海：華東師范大學出版社，2014.7：13-16.