耿強(qiáng) 呂文元

（上海理工大學(xué)　　管理學(xué)院，上海，200093）

使用期內(nèi)保修產(chǎn)品的最優(yōu)更換策略*

耿強(qiáng) 呂文元

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海，200093）

本文從消費(fèi)者的角度出發(fā)，提出了在產(chǎn)品的有限使用期內(nèi)，可免費(fèi)維修保修的產(chǎn)品的更換策略.假設(shè)產(chǎn)品在使用期內(nèi)可以更換一次，更換前后產(chǎn)品的故障率不發(fā)生變化.在保修期內(nèi)，發(fā)生故障的產(chǎn)品的維修費(fèi)用由生產(chǎn)商承擔(dān)，消費(fèi)者不用為此支付任何費(fèi)用.在保修期外產(chǎn)品發(fā)生故障，消費(fèi)者需要為此支付一筆固定的維修費(fèi)用.然而，只要產(chǎn)品在使用，每發(fā)生一次故障都會(huì)對(duì)消費(fèi)者產(chǎn)生一筆固定的停機(jī)費(fèi)用.在這種維修計(jì)劃下，產(chǎn)品的更換將分兩種情況討論：免費(fèi)保修前和免費(fèi)保修后.本文將建立兩類(lèi)最優(yōu)更換模型，給出消費(fèi)者期望支付費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型，繼而求得最優(yōu)的更換時(shí)間以及此時(shí)最小的支付費(fèi)用.最后會(huì)給出模型的算例分析，給出在不同的保修期和有限使用期下，最優(yōu)更換策略的相關(guān)特征.

有限使用期 免費(fèi)維修保修 小修 一次更換

1　引言

由于產(chǎn)品的更新?lián)Q代很快，消費(fèi)者會(huì)有這樣一種意愿，就是在對(duì)產(chǎn)品的有限使用期內(nèi)，可以有一次更換產(chǎn)品的機(jī)會(huì).因?yàn)楫a(chǎn)品持續(xù)穩(wěn)定的運(yùn)行對(duì)消費(fèi)者來(lái)說(shuō)至關(guān)重要.本文研究的內(nèi)容就是在產(chǎn)品有限的使用期內(nèi)，在免費(fèi)維修保修的的策略下，可維修產(chǎn)品的最優(yōu)更換策略.對(duì)于可維修的產(chǎn)品，Barlow和Proschan詳細(xì)闡述了產(chǎn)品更換和維護(hù)策略的相關(guān)理論.Boland和Proschan研究了周期性更換策略，旨在一個(gè)固定的時(shí)間范圍內(nèi)，使維修與更換產(chǎn)生的期望費(fèi)用降至最低.

一般地，產(chǎn)品在售出后都會(huì)有一個(gè)保修期.保修策略是聯(lián)系廠(chǎng)商和顧客的一種合同責(zé)任，它往往用于促進(jìn)產(chǎn)品的銷(xiāo)售，廠(chǎng)商必須承擔(dān)對(duì)產(chǎn)品的故障或缺陷進(jìn)行維修的責(zé)任.政府為了保障消費(fèi)者的利益，生產(chǎn)商為了提高自身的產(chǎn)品在市場(chǎng)中的競(jìng)爭(zhēng)力，對(duì)于不同類(lèi)別的產(chǎn)品，提供了多種類(lèi)型的保修策略.在保修模型的發(fā)展過(guò)程中，免費(fèi)維修保修是可維修的產(chǎn)品中最常用的一種保修策略.保修成本分析的概念最早是由Blischke和 Murthy提出的.在免費(fèi)維修保修的策略下，故障產(chǎn)品經(jīng)過(guò)小修所產(chǎn)生的費(fèi)用不需要消費(fèi)者來(lái)承擔(dān).小修過(guò)后，產(chǎn)品的故障率不發(fā)生變化.Jack和Vander Duyn Schouten從生產(chǎn)商的角度出發(fā)，研究了可維修產(chǎn)品在免費(fèi)更換保修下的最優(yōu)維修更換策略.除此之外，還有很多文獻(xiàn)研究了故障產(chǎn)品被新產(chǎn)品替換的相關(guān)維修模型，但大多都是從生產(chǎn)商的角度出發(fā)，很少有從消費(fèi)者的角度出發(fā)去研究問(wèn)題的.在本文中，我們將從消費(fèi)者的角度出發(fā)，研究在有限使用期內(nèi)，可以更換一次的可維修產(chǎn)品的最優(yōu)更換策略.

在第二部分中，我們將建立消費(fèi)者期望支付費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型.第三部分我們將對(duì)模型進(jìn)行求解，求出最優(yōu)更換時(shí)間以及最低的支付費(fèi)用.第四部分則是根據(jù)建立的模型，進(jìn)行算例分析.文章最后一部分則是經(jīng)過(guò)分析得出的結(jié)論.

2　數(shù)學(xué)模型

這一部分，在產(chǎn)品使用期內(nèi)，我們將從消費(fèi)者的角度出發(fā)，構(gòu)造出一個(gè)數(shù)學(xué)模型.本文將使用以下數(shù)學(xué)符號(hào)：

2.10≤S≤w的情形

第一個(gè)產(chǎn)品的期望支付費(fèi)用（購(gòu)買(mǎi)價(jià)格和停機(jī)費(fèi)用）是：

第二個(gè)產(chǎn)品的期望支付費(fèi)用（購(gòu)買(mǎi)價(jià)格，停機(jī)費(fèi)用和小修費(fèi)用）是：

因此，在使用期T內(nèi)，消費(fèi)者的期望支付費(fèi)用是：

2.2w≤S≤T的情形

第一個(gè)產(chǎn)品的期望支付費(fèi)用是：

第二個(gè)產(chǎn)品的期望支付費(fèi)用是：

因此，在使用期T內(nèi)，消費(fèi)者的期望支付費(fèi)用是：

3　最優(yōu)更換時(shí)間

消費(fèi)者期望支付費(fèi)用是我們接下來(lái)所考慮的目標(biāo)函數(shù).根據(jù)等式（1），（2），我們可以推理得到上述兩種情況的最優(yōu)更換時(shí)間.

3.10≤S≤w的情形

分別求出等式（1）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得：

根據(jù)限定條件0≤S≤w，將S=0和S=w分別代入等式（3）中，得：

觀察等式（5）和（6），可以得出以下結(jié)論.

結(jié)論1 當(dāng)h（t）＞0，?t≥0，產(chǎn)品的最優(yōu)更換時(shí)間是S*=w，此時(shí)E1（S*）取到最小值.

證明 當(dāng)h（t）＞0，?t≥0，E1''（S）＞0.這說(shuō)明E1'（S）是單調(diào)遞增的，又由于T≥2w，所以等式（5）和（6）的值均小于0.到這里，我們就能得出E1（S）在S∈0，w［］是單調(diào)遞減函數(shù).因此最優(yōu)更換時(shí)間是S*=w，此時(shí)E1（S*）取到最小值.

3.2w≤S≤T的情形

分別求出等式（2）的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，得：

根據(jù)限定條件w≤S≤T，S=w和S=T分別代入等式（7）中，得：

觀察等式（9）和（10），可以得出以下結(jié)論.

結(jié)論2 當(dāng)h（t）＞0，?t≥0，存在唯一的最優(yōu)更換時(shí)間S*∈w，T［］，使得E2'（S*）= 0且E1（S*）取到最小值.

證明 當(dāng)h（t）＞0，?t≥0，E2''（S）＞0.這說(shuō)明E2'（S）是單調(diào)遞增的，又由于T ≥2w，我們可以得出等式（9）的值小于0，而等式（10）的值是大于0的.所以E2'（S）在S∈w，T［］上是一條過(guò)零點(diǎn)的單調(diào)遞增函數(shù)，E2（S）先遞減后遞增.因此，存在唯一的最優(yōu)更換時(shí)間S*∈w，T［］，使得E2'（S*）=0并且E1（S*）取到最小值.

4　算例

考慮到產(chǎn)品的保修期為wi，消費(fèi)者對(duì)于產(chǎn)品的使用期限是T，在使用期內(nèi)，產(chǎn)品的更換時(shí)間為S.假設(shè)產(chǎn)品的壽命分布服從兩參數(shù)的威布爾分布f（t）=αβ（αt）β-1e-（αt）β，t≥0，α 表示尺度參數(shù)，β為形狀參數(shù).根據(jù)故障率函數(shù)的定義，服從威布爾分布的產(chǎn)品的故障率函數(shù)為

令α=0.1，β=1.2，Cd=40，Cm=120，V1=2000，V2=1000，表一和表二歸納了在不同的w和T下，符合條件一和條件二的產(chǎn)品的最優(yōu)更換時(shí)間和最小支付費(fèi)用.例如，當(dāng)（V1，V2，α，β，Cd，Cm，T）=（2000，1000，0.1，1.2，40，120，20），（a，w）=（0.5，4），最優(yōu)的更換時(shí)間和最小支付費(fèi)用是S*=10，E2（S）=3263.更多的數(shù)據(jù)可以從下列表中查到.表一中的數(shù)據(jù)是在不同的w 下，產(chǎn)品的最優(yōu)更換時(shí)間和最小支付費(fèi)用.表二中的數(shù)據(jù)是在不同的T下，產(chǎn)品的最優(yōu)更換時(shí)間和最小支付費(fèi)用.

（1）觀察表一中數(shù)據(jù)能夠發(fā)現(xiàn)，隨著w增加，期望支付費(fèi)用是逐漸減小的，且E2（S）小于E1（S）.

（2）觀察表二中數(shù)據(jù)能夠發(fā)現(xiàn)，隨著T增加，期望支付費(fèi)用是逐漸增大的，且E2（S）依然小于E1（S）.

（3）當(dāng)控制其他參數(shù)不變，只改變系數(shù)a的值時(shí)，隨著a增加，E1（S）和E2（S）的值均逐漸減小.

表一

表二

5　結(jié)論

本文中，使用期內(nèi)產(chǎn)品的更換時(shí)間分了兩種情況來(lái)進(jìn)行討論：0≤S≤w和w≤S≤T.從算例中，我們可以得出以下一些結(jié)論：（1）對(duì)于第一種情況，第一個(gè)產(chǎn)品應(yīng)該使用到保修期截止時(shí)再進(jìn)行更換.（2）對(duì)于第二種情況，產(chǎn)品的最優(yōu)更換時(shí)間是T/2.（3）當(dāng)w增加時(shí)，消費(fèi)者需要支付的費(fèi)用逐漸減少.（4）當(dāng)T增加時(shí)，消費(fèi)者需支付的費(fèi)用也逐漸增加.此外，本文研究的問(wèn)題是基于可更新免費(fèi)保修策略的基礎(chǔ)之上的，未來(lái)還有其它可擴(kuò)展的方向需要去研究，例如考慮非更新免費(fèi)更換保修、按比例保修等情況下，產(chǎn)品該采取何種更換策略.

［1］Boland，P.J.，and Proschan，F(xiàn).Periodic replacement with increasing minimal repair costs at failure［J］. Operations Research，1982，30，1183-1189.

［2］Blischke，W.R.，and Murthy，D.N.P.，Warranty Cost Analysis［M］，1994，New York：Dekker.

［3］Jack，N.and Van der Duyn Schouten，F(xiàn).Optimal repair-replace strategies for a warranted product［J］. International Journal of Production Economics，2000，67，95-100.

［4］Wang，C.H.，and Sheu，S.H.Optimal lot sizing products sold under a free-repair warranty［J］.European Journal of Operational Research，2003，149，131-141.

［5］Chien，Y.H.and Chen J.A.Optimal age-replacement policy for repairable products under renewing freereplacement warranty［J］.International Journal of Systems Science，2007，38，759-769.

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Optimal Replacement Policy for Warranty Products Under a Finite Planning Horizon

Geng Qiang Lv Wengyuan
（Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

This paper investigates the optimal single replacement policy for products with free-repair warranty under a finite planning horizon from the consumer’s perspective.Within the planning horizon，the product is replaced once by a new product.But failure rate remains unchanged.During free-repair warranty，when the product fails，the failed product is rectified using minimal repair without any cost to the consumer. After free-repair warranty，any failure of the product incurs a fixed repair cost to the consumer.However，each failure incurs a fixed downtime cost to the consumer over the planning horizon.Under this maintenance scheme，the replacement of the product is investigated for two separate cases：before free-repair warranty and after free-repair warranty.Then，two cost models from the consumer’s perspective are derived and the optimal replacement policy is obtained such that the expected total disbursement cost is minimized.Finally，numerical examples are given to illustrate the features of the optimal replacement policy under various warranties and planning horizons.

Finite planning horizon Free-repair warranty Minimal repair Single replacement

2016年04月23日