劉銀龍，夏鐵成，劉澤宇

（上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444）

非線性分?jǐn)?shù)階演化方程的新解

劉銀龍，夏鐵成，劉澤宇

（上海大學(xué)理學(xué)院，上海 200444）

通過使用改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階sub-equation方法尋求一些非線性分?jǐn)?shù)階演化方程的精確解,如分?jǐn)?shù)階Burgers方程、耦合分?jǐn)?shù)階Burgers方程與非線性分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程等,并得到了這些非線性分?jǐn)?shù)階演化方程的新解.

改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階sub-equation方法；分?jǐn)?shù)階Burgers方程；耦合分?jǐn)?shù)階Burgers方程；分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程

1695年，萊布尼茲定義了分?jǐn)?shù)微積分-普通微積分的推廣.但直到最近幾十年分?jǐn)?shù)微分方程才重新得到學(xué)者們的關(guān)注，這是因?yàn)槠鋵?duì)復(fù)雜現(xiàn)象有確切的描述，例如非布朗運(yùn)動(dòng)、系統(tǒng)識(shí)別、流體流動(dòng)、控制問題、信號(hào)處理、黏彈性材料、聚合物和其他的學(xué)科領(lǐng)域的問題.眾所周知分?jǐn)?shù)階方程的最大優(yōu)勢(shì)是其非本地屬性，這意味著未來系統(tǒng)的狀態(tài)不僅取決于其當(dāng)前狀態(tài)也取決于其所有的歷史狀態(tài).例如，部分衍生品、流體動(dòng)力交通模型可以消除由連續(xù)交通流的假設(shè)［1］引起的缺陷.最近，許多學(xué)者開始研究分?jǐn)?shù)階的函數(shù)分析，如把Yang-Laplace轉(zhuǎn)換和Yang-Fourier轉(zhuǎn)換的性質(zhì)和定理應(yīng)用到分?jǐn)?shù)階微分方程、微分系統(tǒng)和偏微分方程等.為了更好地理解復(fù)雜的非線性物理現(xiàn)象及其在實(shí)際生活中進(jìn)一步的應(yīng)用，一個(gè)自然而然的問題出現(xiàn)了，即怎樣才能得到分?jǐn)?shù)階偏微分方程（fractional partial differential equation，F(xiàn)PDE）的精確解.目前，已經(jīng)建立和發(fā)展了很多有效的方法，從而獲得了FPDE的數(shù)值和分析解，如有限差分法［2］、有限元法、Adomian分解方法［3］、微分轉(zhuǎn)換方法［4］、變分迭代法［5］、攝動(dòng)法［6］等.另外，一些偏微分方程已經(jīng)被研究和解決，如脈沖分?jǐn)?shù)微分方程［7］、分廣義Burgers流體［8］、分?jǐn)?shù)階熱和波動(dòng)方程［9］等.

最近，He等［10］和Geng等［11］應(yīng)用Exp-function方法尋求偏微分方程精確解.這種Expfunction方法得到了廣泛的應(yīng)用，并被用來尋找非線性演化方程的孤波解和周期解，如Maccari系統(tǒng)［12］、Klein-Gordon方程［13］、KdV-mKdV方程［14-15］、Broer-Kaup系統(tǒng)、Kaup-Kupershmidt方程和Toda lattice方程等.這表明，通過Exp-function方法可以得到含參數(shù)的解，并且從中可以發(fā)現(xiàn)一些大多數(shù)現(xiàn)有方法的已知解.張盛等［16］提出了一種新的尋求偏微分方程精確解的直接方法，該方法被稱為分?jǐn)?shù)階sub-equation方法，是基于齊次平衡原則［17］、修正的Jumarie黎曼——?jiǎng)⒕S爾導(dǎo)數(shù)［18］和符號(hào)計(jì)算.張盛等使用這種方法成功地獲得了非線性分?jǐn)?shù)階演化方程的精確解.眾所周知，當(dāng)使用直接法找到非線性偏微分方程精確解時(shí)，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄M設(shè)是非常重要的.本研究正是通過運(yùn)用改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階sub-equation方法［19］來尋找在流體力學(xué)中分?jǐn)?shù)階方程的精確解.

首先，考慮分?jǐn)?shù)階Burgers方程與耦合分?jǐn)?shù)階Burgers方程［20］：

Esipov導(dǎo)出了這個(gè)耦合系統(tǒng).耦合Burgers方程系統(tǒng)的研究是非常重要的，因?yàn)檫@個(gè)系統(tǒng)在流體懸浮液或膠體中受到的重力的影響是一個(gè)簡(jiǎn)單的模型沉降或進(jìn)化了體積濃度的兩種粒子，其中常量p,q是依賴于系統(tǒng)參數(shù)沛克萊數(shù)、由重力引起的斯托克斯粒子速度和布朗擴(kuò)散系數(shù).

另外，嘗試對(duì)非線性分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程［21］

進(jìn)行了求解，可知非線性分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程描述了許多非線性類型，且該Klein-Gordon方程在一些實(shí)際應(yīng)用程序中起著重要作用，如固態(tài)物理、非線性光學(xué)和量子場(chǎng)論等.

修正的α階Jumarie's Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的定義如下：

上述定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)具有3種性質(zhì)：

上面的這些性質(zhì)在后續(xù)的分?jǐn)?shù)階方程計(jì)算中非常重要.

1 方法介紹

對(duì)于改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階sub-equation方法的步驟如下.

步驟1 給定一個(gè)分?jǐn)?shù)階偏微分方程，

步驟2 通過行波變換

式中，c是待定常數(shù).方程（6）便可以約化成關(guān)于Uj=u（ξ）分?jǐn)?shù)階常微分方程

步驟3 假定

式中，aj,i（i=-mj,-mj-1,…,mj）為待定常數(shù)，mj為通過平衡方程（6）或（8）中最高次項(xiàng)與非線性項(xiàng)得到的正數(shù)，并且φ=φ（ξ）滿足

這里，

步驟4 把方程（9）和（10）代入方程（8）中，并利用修正的Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)［22］，得到一個(gè)關(guān)于φ（ξ）的多項(xiàng)式.令φ（ξ）k（k=0,1,…,-1,-2,…）的系數(shù)為0，得到一組關(guān)于c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）的超定方程組.

步驟5 假定這些常數(shù)c,ai（i=-n,-n+1,…,n-1,n）可以通過上述超定方程組求得，則將這些常數(shù)代入方程（9）中就可以得到方程（7）的精確解.

2 應(yīng)用

下面將用改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階sub-equation方法去求偏微分方程（1）～（3）的解.

2.1 分?jǐn)?shù)階Burgers方程

通過行波變換u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（1）將會(huì)被約化成如下的非線性分?jǐn)?shù)階常微分方程：

通過平衡方程（11）中最高次項(xiàng)與非線性項(xiàng)，可將解設(shè)成

這里的φ（ξ）滿足方程（10）.

將方程（10），（13）代入方程（12），令φ（ξ）i的系數(shù)等于0，這樣就可以得到一系列關(guān)于c,a-1,a0,a1的超定方程.用Maple計(jì)算這組方程，有

情形1

式中，c,α,η是任意的常數(shù).

情形2

式中，c,α,η是任意的常數(shù).

通過情形1，利用方程（10）和（13）的解可以得到方程（1）的解：

式中，σ＜0,ξ=x+ct.

這里，σ＜0,ξ=x+ct.

式中，σ＞0,ξ=x+ct.

在這里，σ＞0,ξ=x+ct.

式中，σ=0,ξ=x+ct,ω是常數(shù).

當(dāng)然，通過情形2可以得到更多的解，這里就不一一列出了.

2.2 耦合分?jǐn)?shù)階Burgers方程

通過行波變換u=u（ξ）,v=v（ξ）,ξ=x+ct，方程（2）將會(huì)被約化成如下的非線性分?jǐn)?shù)階常微分方程：

根據(jù)前面所描述的方法，可以設(shè)方程（14）有如下解的形式：

這里的φ（ξ）滿足方程（10）.

將方程（10）和（15）代入到方程（13）中，令φ（ξ）i的系數(shù)等于0，這樣就可以得到一系列關(guān)于c,a-1,a0,a1,b-1,b0,b1超定方程組.用Maple計(jì)算該方程組，有

式中，η,q,a0是任意的常數(shù).

式中，a0,b0,b-1是任意的常數(shù).

利用方程（10），（15）和（16a）的解可以得到方程（2）的解：

2.3 非線性分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程

重復(fù)上述過程，通過行波變換u=u（ξ）,ξ=x+ct，方程（3）將會(huì)被約化成如下的非線性分?jǐn)?shù)階常微分方程：

平衡方程（16）中的最高次項(xiàng)與非線性項(xiàng)，可將解設(shè)成

這里的φ（ξ）滿足方程（10）.

將方程（11）和（17）代入方程（16）中，同樣可以得到一組關(guān)于c,a-2,a-1,a0,a1,a2超定方程組.用Maple計(jì)算這組方程得

利用方程（10），（18）和（19f）的解可以得到方程（3）的解：

3 結(jié)束語

本研究利用一個(gè)改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階sub-equation方法解決了在流體力學(xué)系統(tǒng)中的非線性偏微分方程，并成功獲得了關(guān)于分?jǐn)?shù)階Buregers方程、耦合Buregers方程及分?jǐn)?shù)階Klein-Gordon方程的一些精確解析解.這些解包括廣義雙曲線函數(shù)、廣義三角函數(shù)的解（目前所知這些解都是新解），而且這些解可能有利于進(jìn)一步了解復(fù)雜的非線性物理現(xiàn)象和偏微分方程.此外，通過使用直接的方法選擇適當(dāng)?shù)臄M設(shè)在解決非線性分?jǐn)?shù)階偏微分方程過程中具有重要意義.

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New exact solutions of some nonlinear fractional partial differential equation

LIU Yinlong，XIA Tiecheng，LIU Zeyu
（College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

By using an improved method of fractional sub-equation,some nonlinear fractional evolution equations are solved including fractional Burgers equation,coupled fractional Burgers equation and fractional Klein-Gordon equation.New exact solutions of these nonlinear fractional nonlinear evolution equations are obtained.

improved method of fractional sub-equation；fractional Burgers equation；coupled fractional Burgers equation；fractional Klein-Gordon equation

O 178

A

1007-2861（2016）04-0469-08

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.021

2015-02-13

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271008）

夏鐵成（1960—），男，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)楣伦优c可積系統(tǒng).E-mail：xiatc@shu.edu.cn