李楊，戰(zhàn)藝，周曉明，袁輝

（1.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西南寧530004；2.廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西南寧530004；3.深圳愛(ài)啃蘿卜機(jī)器人技術(shù)有限公司，廣東深圳518000）

兩輪自平衡小車(chē)的建模與控制

李楊1，戰(zhàn)藝1，周曉明2，袁輝3

（1.廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，廣西南寧530004；2.廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西南寧530004；3.深圳愛(ài)啃蘿卜機(jī)器人技術(shù)有限公司，廣東深圳518000）

兩輪自平衡小車(chē)?yán)脿顟B(tài)反饋法和串級(jí)PID控制實(shí)現(xiàn)其原地直立。對(duì)兩輪自平衡車(chē)進(jìn)行建模，通過(guò)測(cè)量?jī)奢喰≤?chē)的實(shí)際物理參數(shù)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)、電氣關(guān)系建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用設(shè)計(jì)控制算法來(lái)對(duì)兩輪小車(chē)實(shí)施控制并通過(guò)MATLAB來(lái)仿真控制效果。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：基于狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器比基于傳遞函數(shù)的控制器有更好的控制效果和魯棒性。

自平衡小車(chē)；控制；仿真

兩輪自平衡車(chē)自身是個(gè)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，具有狀態(tài)變量多、系統(tǒng)模型非線性、變量間強(qiáng)耦合等特點(diǎn)［1］。其控制方法主要有常規(guī)PID控制、自適應(yīng)控制、模糊控制等［2］。本文通過(guò)經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的知識(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)兩輪小車(chē)的控制，建立數(shù)學(xué)模型，確定其系統(tǒng)模型，采用串級(jí)PID控制，在MATLAB上仿真編寫(xiě)控制程序，并在實(shí)物模型上驗(yàn)證，通過(guò)驗(yàn)證，確定基于狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器比基于傳遞函數(shù)的控制器具有更好的控制效果和魯棒性［3］。

1　兩輪自平衡小車(chē)控制模型的建立

兩輪自平衡小車(chē)的抽象模型如圖1所示，小車(chē)整體由輪子和車(chē)體兩部分構(gòu)成，其中車(chē)體由輪軸和擺桿組成。建立空間坐標(biāo)系，α為擺桿與z軸夾角，β為輪軸與y軸夾角，即輪軸的初始位置與y軸重合，左輪指向右輪的方向?yàn)閥軸的正向。擺桿傾斜時(shí)在地平面上的垂直投影與x軸重合，x軸的正向與擺桿傾斜的方向相同。輪軸的中點(diǎn)即空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，豎直向上為z軸的正方向［4］。

圖1　兩輪小車(chē)整體的抽象模型

由圖1建立自平衡小車(chē)的表達(dá)式：

如圖2、3分別為輪子和擺桿的受力分析圖。其中，θr分別為左右輪旋轉(zhuǎn)角度，xo為轉(zhuǎn)軸中點(diǎn)水平位移，zpxl為車(chē)身質(zhì)心的豎直位移，L為擺桿質(zhì)心到端點(diǎn)的長(zhǎng)度，R為輪子半徑，D輪軸長(zhǎng)度，Hr分別為左、右輪水平作用力，Pr為左、右輪豎直作用力，fr為左、右輪摩擦力，Vr、Vl分別為左右輪電壓。

圖2　輪子的受力分析

圖3　擺桿的受力分析

由此可得其具體數(shù)值的狀態(tài)表達(dá)式：

2　仿真驗(yàn)證

2.1開(kāi)環(huán)穩(wěn)定性

根據(jù)李雅普諾夫第一法判定兩輪小車(chē)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的［5］。為獲得開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的自由響應(yīng)，輸出的空間表達(dá)式如公式為：

并使自平衡小車(chē)初始狀態(tài)為有一個(gè)α=1°的傾角可得：

系統(tǒng)的自由響應(yīng)如圖4所示輸出圖像。

圖4　開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的非零自由響應(yīng)

由圖像可知，在不到1 s的時(shí)間內(nèi)，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)逐漸向負(fù)方向移動(dòng)。而狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)逐漸向正方向移動(dòng)。且狀態(tài)變量移動(dòng)的速度隨著時(shí)間推移越來(lái)越快。

仿真的結(jié)果與實(shí)物模型的動(dòng)作是相符合的：小車(chē)在自由釋放后很快地失去平衡，在極短的時(shí)間內(nèi)倒地，雙輪位置相比初始位置稍有后退，擺桿傾角在不到1 s內(nèi)達(dá)90°.整個(gè)過(guò)程的各個(gè)狀態(tài)變量的變化隨著時(shí)間推進(jìn)越來(lái)越快。具體數(shù)值由于已經(jīng)超出了可線性化的區(qū)間意義不大。

2.2直立控制

由以上分析可知，兩輪小車(chē)是一個(gè)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)。為了對(duì)兩輪小車(chē)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制，現(xiàn)根據(jù)兩輪小車(chē)的開(kāi)環(huán)狀態(tài)表達(dá)式，通過(guò)狀態(tài)反饋的方式建立兩輪小車(chē)的閉環(huán)系統(tǒng)，從而改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，使其受到任意的狀態(tài)擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)變量能很快地收斂到零。兩輪小車(chē)成為兩輪自平衡小車(chē)，并實(shí)現(xiàn)原地直立的控制目標(biāo)。

令系統(tǒng)的初始狀態(tài)為［1 0 0 0］，通過(guò)很短的時(shí)間的自由響應(yīng)，各個(gè)狀態(tài)變量收斂于零，系統(tǒng)的狀態(tài)變量曲線如圖5所示。

圖5　初始狀態(tài)［1 0 0 0］的自由響應(yīng)

2.3速度控制

顯然，此時(shí)系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)都階數(shù)較高，這將導(dǎo)致系統(tǒng)的控制難度增大。然而根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，采用PID控制器的雙閉環(huán)兩輪小車(chē)系統(tǒng)是完全能實(shí)現(xiàn)速度控制的（如圖6）。直接在實(shí)物模型上調(diào)試PID參數(shù)，并根據(jù)實(shí)際效果對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)優(yōu)化，如圖7所示。優(yōu)化的目的都在于保持角度環(huán)的參考輸入變化不劇烈并且不超出數(shù)學(xué)建模的線性化區(qū)間，從而確保兩路小車(chē)的基本平衡不被破壞。

圖6　傾角閉環(huán)控制

圖7　優(yōu)化后系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

經(jīng)過(guò)優(yōu)化后的速度控制算法通過(guò)在實(shí)物模型上驗(yàn)證并微調(diào)參數(shù)，能達(dá)到很好的效果。速度控制的誤差滿足設(shè)計(jì)要求。

3　實(shí)物驗(yàn)證

實(shí)現(xiàn)小車(chē)速度控制的關(guān)鍵在于維持小車(chē)傾角穩(wěn)定，小車(chē)的傾角穩(wěn)定通過(guò)PID算法實(shí)現(xiàn)。通過(guò)PID控制器的典型傳函對(duì)比可確認(rèn)PID的三個(gè)參數(shù)，如圖8所示。

圖8　兩輪自平衡小車(chē)實(shí)物圖

使用狀態(tài)反饋法設(shè)計(jì)的控制器能使兩輪小車(chē)的原地直立具有較小的抖動(dòng)，且無(wú)論受到何種干擾，小車(chē)都能較快地回復(fù)原平衡狀態(tài)。程序中，反饋的增益的設(shè)置與理論推導(dǎo)完全一致。在增益允許的條件下，將系統(tǒng)極點(diǎn)配置的盡可能地遠(yuǎn)離虛軸能得到最好的控制效果。

而使用串級(jí)PID控制器控制兩輪小車(chē)，由于該控制器的控制對(duì)象是速度，令參考速度為零，也能實(shí)現(xiàn)直立的效果。但直立時(shí)的抖動(dòng)要比前一種控制方式明顯，且當(dāng)推動(dòng)小車(chē)遠(yuǎn)離原平衡位置時(shí)，其不能自動(dòng)回到原位置平衡。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文實(shí)現(xiàn)兩輪小車(chē)的控制，結(jié)果表明基于狀態(tài)空間表達(dá)式的控制器比基于傳遞函數(shù)的控制器具有更好的控制效果和魯棒性。

［1］劉莉宏.基于智能控制的PID控制方式的研究［J］.北京工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，14（2）：33-38.

［2］屠運(yùn)武，徐俊艷，張培仁，等.自平衡控制系統(tǒng)的建模與仿真［J］.系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2004，4（16）：83-84.

［3］Rich Chi Ooi.Balancing a Two-Wheeled Autonomous Robot［M］.Final Year Thesis of USQ，2003.

［4］劉李鋒.有源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)能控性分析與設(shè)計(jì)［D］.武漢：武漢理工大學(xué)，2012.

［5］Vander Linden G W，Lambrcchts P F.H-∞control of an experimental inverted pendulum with dry friction［J］.IEEE control system magazine，1993，13（4）：44-5.

Modeling and Control of Two Wheeled Self-balancing Vehicle

LI Yang1，ZHAN Yi1，ZHOU Xiao-ming2，YUAN Hui3
（1.Guangxi University，School of Mechanical Engineering，Nanning Guangxi 530004，China；2.Guangxi University Electrical Engineering College，Nanning Guangxi 530004，China；3.Shenzhen Aicrobo Technology Co.，Ltd.，Shenzhen Guangdong 518000，China）

The standing upright of two wheel vehicle can be realized by state feedback method and cascade PID control.First，according to the physical model of the two wheel vehicle for abstract modeling，through the actual physical parameter of the measured two car，according to dynamics and electrical relationship established mathematical model of the system.In the mathematical model based on，according to the control design theory of control algorithm to control of two wheeled cart and by MATLAB to simulate control effect.The simulation results show that in the two kinds of vertical control method based on state space The expression controller has better control effect and robustness than that based on the transfer function of the controller.

self-balancing car；control；simulation

TP13

A

1672-545X（2016）08-0027-04

2016-05-11

李楊（1991-），男，山東萊蕪人，研究生，研究方向：機(jī)電液一體化。