李　白， 李曉陽

(北京工業(yè)大學機械工程與應用電子技術學院， 北京　100124)

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生理參數(shù)條件下傳輸性負載對流固耦合管道流場的影響

李白， 李曉陽

(北京工業(yè)大學機械工程與應用電子技術學院， 北京100124)

為了揭示人體血管中流體- 固體- 負載之間的耦合關系，通過理論推導和雙向流固耦合的方法，建立了一個完備的人體血液循環(huán)系統(tǒng)模型，推導了血壓振幅的理論解. 改變出口條件和管壁彈性模量，共計算了8個算例. 模型成功模擬了壓力波傳播的現(xiàn)象，壓力與生理實際符合. 結果表明:人體生理循環(huán)系統(tǒng)中血壓的振幅由壓力波傳播性質決定，血管內壓力的模擬結果與理論解相互吻合，負載在流固耦合系統(tǒng)中會產(chǎn)生二次壓力波, 壓力波和負載為血管的力學模型中需要考慮的2個重要因素.

雙向流固耦合； 壓力波傳播； 傳輸性負載； 二次反射波； 血流動力學模擬

隨著計算技術的發(fā)展，流固耦合技術被廣泛應用于很多領域的流體力學計算之中. 而在血流動力學的研究中，雙向流固耦合技術被應用在許多大血管的流動研究之中. 但是，如何描述固體變形對流場的影響是非常困難的. 在近年來的血流動力學研究中，研究者的關注點也往往在于生理結構的失效上，并且廣泛采用固定壓力出口[1],因而對管道內耦合的形式和流場改變對出口的影響，并沒有做系統(tǒng)的研究.

在管道流固耦合問題中，在管道內會產(chǎn)生壓力波的傳播現(xiàn)象. 一維壓力波波速被Young首先推導出來，并被命名為Moens-Korteweg波速[2]. 根據(jù)Asmar專著中的結論[3]，人體大血管內的壓力波波速大概在5～10 m/s，與大動脈血管的尺度接近. 所以，在人體血管的模擬研究中，特別是長血管的研究中，需要考慮壓力波傳播所造成的影響.

此外，在《McDonald’s Blood Flow in Arteries》專著中的測量結果，明顯看到了擁有二次波的復雜的壓力波形[4]，該二次波是負載產(chǎn)生了反射而產(chǎn)生的，因而需要構建一個完備有負載的血管模型，才能正確模擬生理血管中復雜的壓力波形. 人體血管循環(huán)系統(tǒng)的由于尺度、壓力、管壁彈性的不同，各部分之間的性質差異很大. 而根據(jù)《Prandtl’s Essentials of Fluid Mechanics》的定性描述，小血管樹中的流動屬于一種傳輸性負載[5]. 在Dong的研究中，多孔介質滲流被選擇為流場的出口條件[6]. 因而，本文選擇使用多孔介質滲流作為傳輸性負載進行研究.

據(jù)此，本文基于流場中壓力波的傳播與結構，以一個理想化的動脈循環(huán)系統(tǒng)模型為例，對流體和固體的耦合作用進行分析，并研究了傳輸性負載對流場的影響. 進而提出了一個符合人體生理的血流動力學模擬的流固耦合基本模型，與人體生理現(xiàn)象對比后，解釋了人體血壓的產(chǎn)生、波形和影響因素.

1　理論

1.1基于厚壁桶理論的壓力波波速理論推導

根據(jù)壓力波在管道內傳播的過程，在單位時間內，流場入口輸入的流量全部被儲存在由于波面推進管壁擴張而增加的流場之中. 同時，由于普遍認為血液為不可壓縮的流體，流場入口輸入的動能，全部用于推進波面前移. 理想狀態(tài)下，波前波后壓力會有明顯差異.

圖1為理想化壓力波形成傳播的示意圖. 考察壓力波在單位時間內影響的區(qū)域，流場入口流入的流體全部儲存在壓力波影響范圍內的管壁變形之中. 因而，基于不可壓縮無黏性的流體，管道內的壓力波波速存在關系

vzAdt=2πrΔrvPdt

(1)

式中:vz為流場入口速度;A為管道截面積;r為管道半徑;vP為管道內壓力波傳播速度.

根據(jù)厚壁桶的管壁位移解，

(2)

式中：E為管壁彈性模量；h為管壁厚度；ν為泊松比；ΔP為壓力波前后的壓力變化量.

將式(2)帶入式(1)經(jīng)過簡化得到

(3)

可以看出，管道內壓力波的波速與管道的彈性模量、管徑、管壁厚度、泊松比、流體的密度有關.

壓力波波面是劃分波前與波后的分界線，如圖2所示. 流體在波面之內從初始狀態(tài)被加速到波面之后的流動狀態(tài). 因此，當壓力波波速增加時，單位時間內波面前移的長度會增加，加速其中流體所需的動量也會升高. 如果僅考慮流體推動波面所需的壓力，基于不可壓縮無黏性的N-S方程，可以推導出波面前后壓力差與波速的關系為

ΔP=vzρvP

(4)

該式揭示了由于壓力波傳播而帶來的波面前后的壓力梯度，以及其影響因素. 而在生理血管中，這個壓力梯度是血壓的振幅的一部分，其他組成部分包括黏性和外形等帶來的壓力梯度.

此外，壓力波的厚度也有重要影響. 如果壓力波的前端不受任何影響，則式(4)在管道壓力波傳播問題中始終成立. 但是如果壓力波的前端到達了某種擾動，則壓力波面自身的形態(tài)無法保持，管道內的壓力波傳播就會出現(xiàn)變化. 以自由出口為例，壓力波的一部分自由流出流場，則需要被加速的波面減少，推動壓力波前進的壓力就會降低.

1.2流場傳輸性負載出口對壓力分布的影響

傳輸性負載作為一種流場的負載形式，其具體表現(xiàn)形式是傳輸性負載(統(tǒng)稱為負載)根據(jù)作用于其上的壓力梯度而確定準許通過的流量. 在一般的剛性管道流動問題中，由于流體不可壓縮，由入口進入流場的流體不能儲存在管壁變形之中，因而負載對流場的影響僅在于對管道內壓力的改變上. 而在彈性管道流動問題中，受到負載的阻礙作用，流體不能自由流出流場，一部分流體會儲存在管壁之中. 對于瞬態(tài)問題，在一個周期之中，受到負載的阻礙作用，流體流出流場的速度會在一個周期內被重新分配. 根據(jù)質量守恒和能量守恒，在輸入的流量和能量不變的情況下，負載使得流出流場的阻力增大，會使得流出流場的流量減少，管壁內儲存的流體和應變能增加. 當入口輸入的質量和能量降低時，儲存在管壁中的流體和應變能會流入流場，對管道中的流體進行加速，從而產(chǎn)生一個反射波. 而根據(jù)負載阻礙作用的大小，這個反射波的形態(tài)和作用機理會發(fā)生變化.

2　計算方法

2.1研究方法

本文選擇了有負載和無負載的雙向流固耦合的長直管作為研究對象，在生理中，該模型結構為從主動脈弓開始延伸到毛細血管的整個循環(huán)系統(tǒng). 如表 1所示，為了揭示壓力波的傳播與流場內波結構，本文研究了3種彈性模量下無負載和有多孔介質滲流負載的算例，并與人體循環(huán)系統(tǒng)的特性進行對比. 同時為了研究負載對流場的影響，本文研究了相同彈性模量下不同負載的算例.

根據(jù)式(3)計算，可得上述算例的壓力波波速，當彈性模量為0.25 MPa時，vP=4.44 m/s；當彈性模量為0.5 MPa時，vP=6.28 m/s；當彈性模量為1 MPa時，vP=8.88 m/s.

表1　　　　算例及其參數(shù)(Case2和Case6分別為無負載和有負載的對照組算例)

2.2計算方法與基本參數(shù)

本文選用CFD-ACE軟件進行計算. 如圖3所示，模型擁有1 m長的流固耦合直管道和0.3 m長的多孔介質滲流管道，管徑為20 mm，管壁厚度為2 mm. 其中，流動的流體是性質近似于血液的牛頓流體，密度為1 050 kg/m3，動力黏性系數(shù)是0.003 5 Pa·s[7]. 彈性管壁的密度為1 120 kg/m3，對照組算例的楊氏彈性模量為0.5 MPa[8]，泊松比為0.49[9]. 對照組算例的多孔介質滲流的滲透率為1×10-7m2，孔隙率為100%.

該研究中，多孔介質滲流區(qū)域內的控制方程為

(5)

式中：k為滲透率；Q為截面的流量；A為流場的截面積；μ為流場動力黏性系數(shù)；L為多孔介質管道長度；ΔP為壓力變化量.

2.3邊界條件

為了研究流體波結構對流場的影響，選擇了速度方波的入口條件和自由出口. 入口條件和出口條件如圖4所示，圖中截取了2個周期(0～1.6 s). 0～0.22 s入口速度保持為0.8 m/s[10]，0.22～0.8 s入口速度保持為0 m/s.

3　結果與討論

3.1壓力波的傳播與壓力波面前后壓力梯度

圖5為Case1～Case8的中心線壓力圖，6條線分別代表了-0.01～0.05 s的6個時刻. 由于流場入口條件0.00 s時速度為0.8 m/s，因而-0.01 s最接近流場的初始條件.

由圖5可以明顯看出壓力波產(chǎn)生與傳播的過程. 研究有負載不同彈性模量的結果，對比圖5(d)(e)(f)，可以看出，壓力波波速是隨著彈性模量的增加而增加的. 研究相同彈性模量而負載不同的結果，對比圖5(a)和(d)，圖5(b)和(e)，圖5(c)和(f)，可以看出，初始條件(-0.01 s曲線)雖然會影響壓力的大小，但是不影響壓力波的傳播性質，壓力波的影響區(qū)波速變化不大. 研究相同彈性模量負載參數(shù)不同的結果，對比圖5(e)(g)和(h)，可以看出壓力波傳播基本相同，可以看出負載對壓力波的傳播速度并沒有影響. 因而，在管道流固耦合模擬流動中，能夠模擬壓力波的傳播現(xiàn)象，在管道模型不變且雷諾數(shù)相同時，管道壓力波波速與彈性模量正相關.

根據(jù)式(4)，帶入算例的參數(shù)可以計算出波面前后壓力的理論值ΔPE=0.25 MPa=3 730.651 Pa，ΔPE=0.5 MPa=5 275.938 Pa，ΔPE=1 MPa=7 461.302 Pa. 表2為case1～case8的入口位置壓力的變化量，z=0位置-0.01～0.05 s壓力最大值與最小值之差. 因為0.05 s以內，壓力波整體還在流場內部，因而z=0 m位置的壓力差等于波面前后壓力的理論值. 將理論值與表 2中的計算結果對比，可以看出，對于有負載算例的壓力梯度的變化趨勢和壓力梯度大小與理論值保持一致. 而對于無負載的算例，壓力梯度的變化趨勢是一致的. 結合圖5(a)(b)(c)，無負載算例壓力梯度的不同受到了流場的初始條件影響. 因而，流場波面前后的壓力梯度與管道內壓力波波速有著密切的關系.

表2　-0.01～0.05 s內，中心線z=0 m(入口)位置壓力變化量

可見，在流固耦合直管道之中，壓力波波速是影響管道內壓力梯度的重要因素. 在血液循環(huán)系統(tǒng)管道中，血壓的范圍始終穩(wěn)定在約(10.5～16)kPa之間，其中存在5.5 kPa的壓力差. 以腹主動脈為例，收縮期(0～0.22 s)內，最大流速約為0.8 m/s，壓力波波速約為6.6 m/s，通過理論計算可得血壓的振幅為5.544 kPa，與生理值相符. 而在小分支動脈中，壓力波波速有所升高，而流速相對降低，這樣的特性保證了人體在動脈血管循環(huán)管道中推動壓力波傳播始終需要5.5 kPa左右的壓力差. 這恰恰說明，壓力波傳播所需的壓力梯度，是血管內壓力振幅的最主要的組成部分. 而本文基于生理參數(shù)的理想模型，在彈性模量為0.5 MPa的情況下，壓力波前后壓力差能夠保持在5～6 kPa，與生理振幅相差不大，并且壓力波傳播的形態(tài)與理論分析一致，說明本模擬方法能夠正確模擬生理血管的壓力波傳播現(xiàn)象.

3.2出口類型對流場的影響

圖6為無負載不同彈性模量的3個算例(E=0.25 MPa；E=0.5 MPa；E=1 MPa)在流場穩(wěn)定后，一個周期(0～0.8 s)內壓力在5個測點(見圖3)的變化曲線. 圖7為有傳輸性負載不同彈性模量的3個算例的壓力變化曲線. 根據(jù)壓力波傳播的理論推導，只有當壓力波最前端傳播到出口位置時，出口條件才開始影響流場. 對于自由出口條件，從圖6可以看出，P4和P5這2個測點的最大壓力明顯有所下降，就是因為一部分壓力波波面已經(jīng)流出流場，此處推動波面所需壓力下降所致. 對于負載出口條件，P4和P5測點的壓力有所提升，也是因為波面已經(jīng)到達負載，負載對流場產(chǎn)生影響所致.

對于自由出口條件，出口對于流場沒有任何阻礙作用. 在0～0.22 s時，管道內流動的主要形式為壓力波的傳播現(xiàn)象. 而在0.22～0.8 s時，雖然入口條件變?yōu)? m/s，但是管道內的流動并不會驟然停止，而是保持其原有的運動狀態(tài). 當管壁內儲存的應變能全部轉化為流體的動能后，管壁開始收縮，血管內壓力梯度開始減速流體. 參考機械振動的理論，管壁彈性成為了這個系統(tǒng)唯一的恢復力，因此，管道內出現(xiàn)了類似于有阻尼的自由振動的現(xiàn)象，如圖6所示. 但是由于脈動流動周期為0.8 s，而下一周期開始時，上個周期振動的能量不能完全耗盡，所以壓力波傳播的現(xiàn)象也受到了一定程度的影響. 對比圖6(a)(b)和(c)，可以看出彈性模量越小，振動的頻率越小.

對于傳輸性負載出口，負載對流動起到了阻礙作用，當壓力波的前端到達負載時，壓力開始升高. 根據(jù)圖7，P1和P2除了0～0.22 s時出現(xiàn)了1個主壓力波以外，在0.22～0.8 s時還出現(xiàn)了另外一個二次的壓力波. 對比P1和P5的曲線，可以看出，P5的主壓力波峰出現(xiàn)在P1的主壓力波峰和二次壓力波峰之間. 此外，在圖7(b)(c)中P1曲線在0～0.22 s之間，壓力穩(wěn)定后出現(xiàn)了1次上升，并且靠近出口附近的興趣點上升比靠近入口的興趣點早. 可見，由于負載的引入，0.5～1 m壓力上升的同時，產(chǎn)生了1個反射波向入口方向傳播. 在圖7(a)中，由于壓力波波速較慢，這個現(xiàn)象更加明顯.

因此，無論是自由出口還是負載出口，流固耦合流場對出口條件的反應并不是簡單的線性疊加關系，存在著復雜的耦合關系. 在生理參數(shù)條件下，負載對流場的影響，是一個反射波的形式，這與生理現(xiàn)象吻合，整體壓力隨時間變化的波形與生理主動脈血壓的波形也較為相似. 而自由出口條件壓力出現(xiàn)的振動現(xiàn)象，在生理中不吻合. 因而在血管血流動力學模擬中，有負載的流固耦合管道模型更加符合生理.

3.3負載對二次壓力波的影響

根據(jù)出口類型對流場的影響，可以看出無論是自由出口還是傳輸性負載出口，壓力波的傳播速度均是影響其壓力隨時間變化曲線的主要因素. 這部分以傳輸性負載出口為例，討論彈性模量和負載滲透率對流場壓力- 時間曲線的影響.

圖8為模型在3種彈性模量條件下(E=0.25 MPa，E=0.5 MPa,E=1 MPa)，3個測點的壓力隨時間變化曲線. 其中圖8(a)(b)和(c)分別表示P1(z=0.1 m)、P3(z=0.5 m)和P5(z=0.9 m)的壓力- 時間曲線. 對比圖8(a)(b)和(c)中不同彈性模量的曲線，可以看出彈性模量影響波速的同時，整個流場內的主壓力波的振幅均受到了影響，彈性模量越大，壓力波波速越快，波前后的壓力差越大. 由圖8(a)可以看出，位于0～0.22 s的主壓力波，在3個彈性模量作用下，幾乎沒有相位差. 但是在0.22～0.8 s時的二次壓力波，有著明顯的相位差，壓力波波速越快，二次壓力波出現(xiàn)時刻越早. 從圖8(b)能看出，壓力曲線的最大值出現(xiàn)時刻已經(jīng)出現(xiàn)了差異，彈性模量越小的算例，出現(xiàn)時刻越晚. 圖8(c)就可以較為明顯地看出不同彈性模量而產(chǎn)生的相位差，由于彈性模量為0.25 MPa的算例，壓力波傳播速度最慢，因而主壓力波出現(xiàn)時刻也最晚，而彈性模量為1 MPa的算例由于壓力波傳播速度最快，因而主壓力波出現(xiàn)時刻最早. 此外，二次壓力波出現(xiàn)的時刻也出現(xiàn)了相位差.

圖9為模型在3種滲透率條件下(k=2×10-7，k=1×10-7，k=0.5×10-7)，3個興趣點的壓力隨時間變化曲線. 其中(a)(b)和(c)分別表示P1(z=0.1 m)、P3(z=0.5 m)和P5(z=0.9 m)的壓力- 時間曲線. 對比圖9中不同滲透率的壓力- 時間曲線，可以看出除了k=0.5×10-7的曲線，(a)(b)和(c)圖中位于0～0.22 s范圍內的主壓力波基本重合. 而k=0.5×10-7的曲線的主壓力波被整體升高了，而波形和相位均沒有差異. 由圖9(a)可以看出，位于0.22～0.8 s以內的二次壓力波隨著滲透率的降低而升高，在圖9(b)和(c)中也可以看到同樣的現(xiàn)象. 另外，在圖9(c)中，隨著滲透率的降低，主壓力波的壓力也有所上升，這是由于壓力波波面已經(jīng)到達負載所致.

由此，可以看出，管道內各個位置的壓力- 時間分布曲線是由壓力波傳播而產(chǎn)生的主壓力波和由負載等因素產(chǎn)生的負載反射波疊加而成，而二者之間的相位差是由壓力波的波速與二者之間的距離影響的. 這種壓力波的結構，直接影響了管道內的壓力- 時間波形、壓力的振幅、壓力的最大值和最小值等參數(shù). 而對于生理血液循環(huán)系統(tǒng)，負載并不是唯一的，有許多負載位于動脈沿途各個位置上. 因而分析動脈上某一位置的壓力波形，通過其疊加方式和相位差，就能夠分析出某一位置的負載處于何種狀態(tài)，是否有病變.

4　結論

1) 壓力波傳播及反射波疊加產(chǎn)生的波形結構，是一個有負載流固耦合系統(tǒng)的整體性質，當且僅當影響流場的主要因素均符合實際情況，才能得到正確的計算結果. 本文中建立的模型能夠反映出與人體生理血管中相似的特性，說明這個模型是一個完備的人體動脈循環(huán)系統(tǒng)模型.

2) 在彈性管壁的管道中，推動壓力波前進所需要的壓力是由流速、流體密度、壓力波波速決定的. 研究說明了壓力波波速是衡量管壁彈性對流場影響的重要指標. 由于生理的管壁的變形形式比較復雜，因而需要對管壁彈性進行等效處理. 而在幾何構型和流體屬性決定之后，壓力波波速是影響管道內壓力分布的最重要影響因素. 保證了管道內流固耦合的程度相似，管道內的壓力特性就可以保證與生理相似.

3) 出口類型對管道內的壓力隨時間變化曲線有著很重要的影響. 自由出口會引發(fā)管道內流體出現(xiàn)震蕩. 而傳輸性負載出口會產(chǎn)生反射波并與主壓力波相疊加而形成復雜的波形. 反射波在管道中傳播的速度受到壓力波傳播速度影響，而反射波的大小與負載的阻力有關. 這種壓力波與反射波疊加的結構，在血管生理中是一個非常典型的現(xiàn)象. 因而在血流動力學模擬中，自由出口和恒定負載出口并不能符合生理要求，負載出口能夠較好地模擬生理情況. 但是，壓力波傳播速度和負載所處的位置決定了主壓力波和反射波的相位差，因而在模擬中，負載在流場中所處的位置對流場的壓力波結構有著很大影響.

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(責任編輯楊開英)

Effect of Transmission Loads on Physiological Parameter-based Fluid-Structure Interaction Pipes

LI Bai, LI Xiaoyang

(College of Mechanical Engineering and Applied Electronics Technology, Beijing University of Technology,Beijing 100124, China)

To reveal the form of the coupling relationship among the flow, the solid and the load in the human arterial system, two-way fluid-structure interaction was used to build an idealized complete human arterial system model. Eight cases were simulated under different outlet conditions and Young’s modulus. This model successfully simulated the pressure wave propagation, and the pressure accorded with the physiological reality. Results show that theoretical researches of pressure wave are identical with the simulate results. Transmission load can produce a secondary pressure fluctuation. The influences of the pressure wave and transmission load are considered for construction of the hemodynamic model.

two-way fluid-structure interaction； pressure wave spread； transmission load； secondary pressure fluctuation； hemodynamic simulation

2015- 05- 20

高等學校博士學科點專項科研基金項目(20101103110001)

李白(1987—)， 男， 博士研究生， 主要從事血流動力學和流體力學方面的研究， E-mail：litaibai1987@126.com

Q 66

A

0254-0037(2016)05-0660-08

10.11936/bjutxb2015050060