李保坤， 郭永存， 曹　毅

(1. 安徽理工大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽 淮南　232001； 2. 安徽理工大學(xué)機械工程博士后科研流動站，安徽 淮南　232001； 3. 江南大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 無錫　214122；4. 上海交通大學(xué)機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上?！?00240)

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六自由度Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的姿態(tài)能力

李保坤1, 2， 郭永存1， 曹毅3, 4

(1. 安徽理工大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽 淮南232001； 2. 安徽理工大學(xué)機械工程博士后科研流動站，安徽 淮南232001； 3. 江南大學(xué)機械工程學(xué)院，江蘇 無錫214122；4. 上海交通大學(xué)機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海200240)

為了優(yōu)化并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)，以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)構(gòu)建Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)位于給定位置處的具有一般符號形式的三維姿態(tài)奇異軌跡表達式，并給出機構(gòu)姿態(tài)奇異曲面的三維圖形化描述. 分析機構(gòu)姿態(tài)奇異軌跡的性質(zhì)，給出無奇異姿態(tài)空間的概念并說明其存在的必然性. 定義具有規(guī)則形狀的無奇異姿態(tài)球的體積為姿態(tài)能力，并將其作為衡量機構(gòu)無奇異姿態(tài)空間體積大小的一項重要指標(biāo). 探究機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)和位置參數(shù)對姿態(tài)能力的影響情況并建立性能圖譜. 研究表明：單位四元數(shù)可以有效地應(yīng)用于該類型并聯(lián)機構(gòu)的姿態(tài)奇異和姿態(tài)能力描述.

并聯(lián)機構(gòu)；單位四元數(shù)；姿態(tài)奇異；姿態(tài)空間；姿態(tài)球；姿態(tài)能力

奇異位形嚴(yán)重影響Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的運動及力傳遞性能，機構(gòu)若處于奇異狀態(tài)，將嚴(yán)重失穩(wěn)并導(dǎo)致其失控甚至被損壞. 因此，Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)位于遠離奇異位形的區(qū)域工作[1].

Li等[2]指出，有必要得到并聯(lián)機構(gòu)的奇異軌跡表達式及其圖形化描述，從而為進一步研究如何避開奇異位形提供必要的依據(jù). 眾所周知，Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)具有6個自由度，機構(gòu)的奇異軌跡曲面是一個嵌入六維空間的超曲面，故很難將其實施圖形化描述. Li等[2]以ZYX-歐拉角為姿態(tài)參數(shù)，探討了Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)在若干三維子空間內(nèi)的奇異軌跡曲面. 基于ZYX-歐拉角為姿態(tài)參數(shù)，Huang等[3]得到了該并聯(lián)機構(gòu)位于給定姿態(tài)時的位置奇異軌跡曲面. Li等[4]研究了該類型并聯(lián)機構(gòu)處于給定姿態(tài)時，位于三維位置空間內(nèi)的奇異軌跡分布及其特征平面上的奇異軌跡的性質(zhì). Pendar等[5]提出利用平面幾何中的Ceva定理研究了三角平臺型Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的奇異位形. Bandyopadhyay等[6]基于歐拉參數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，得出6-6型Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)位于R3空間上的奇異軌跡，并將歐拉參數(shù)轉(zhuǎn)化為球面描述形式，得到了該機構(gòu)位于給定位置時的姿態(tài)奇異軌跡6次多項式. Jiang和Gosselin[7-8]以ZYX-為姿態(tài)參數(shù)，給出了3-3 型Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的非奇異姿態(tài)空間的搜索算法. Cheng等[9]以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，分別給出了Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)位于給定姿態(tài)時的位置奇異軌跡和位于給定位置時的姿態(tài)奇異軌跡的圖形化描述.

文獻[10-12]提出利用運動規(guī)劃的方法避開機構(gòu)的奇異位形. 王玉新等[13]通過研究并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型分岔特性，提出了一種利用擾動函數(shù)來規(guī)避并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)向點奇異的方法. 文獻[14-17]提出無奇異工作空間的求解方法，機構(gòu)在無奇異工作空間內(nèi)工作將不會出現(xiàn)奇異位形. 無奇異工作空間實際上也是機構(gòu)的有效工作空間，它的大小在某種程度上也決定了機構(gòu)性能的好壞. 如何高效、準(zhǔn)確地得到并聯(lián)機構(gòu)的有效工作空間，同時揭示機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)、位姿參數(shù)等對機構(gòu)有效工作空間大小的影響情況，是各類并聯(lián)機器人機構(gòu)結(jié)構(gòu)與構(gòu)型參數(shù)設(shè)計時的一項重要課題. 文獻[18-19]給出了動、定平臺為相似六角平臺并相反布置的Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的姿態(tài)能力以及姿態(tài)空間算法，但對具有更加一般結(jié)構(gòu)形式的動、定平臺為非相似六角平臺的姿態(tài)能力及其影響因素未做進一步的研究，并且上述文獻給出的一般離散算法求解效率較低.

鑒于非相似型Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)在結(jié)構(gòu)型式上更具有一般性，在工程應(yīng)用領(lǐng)域中也具有更廣泛的應(yīng)用前景，本文將進一步研究該類型并聯(lián)機構(gòu)的姿態(tài)奇異與姿態(tài)能力. 以單位四元數(shù)描述機構(gòu)動平臺的姿態(tài)，得到機構(gòu)位于給定位置時的具有一般符號形式的姿態(tài)奇異軌跡方程，考慮到姿態(tài)奇異軌跡分布特性，給出一種計算機構(gòu)姿態(tài)能力的高效求解算法，并進一步研究機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)和位置參數(shù)對機構(gòu)姿態(tài)能力的影響情況. 姿態(tài)能力可以衡量機構(gòu)位于給定位置時非奇異姿態(tài)空間的大小，也可作為優(yōu)化機構(gòu)幾何構(gòu)型參數(shù)時的一項性能指標(biāo).

1　三維姿態(tài)奇異軌跡描述

六自由度Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，其動定平臺為2個非相似型的半對稱正六邊形B1B2…B6，C1C2…C6(i=1,2,…,6)，并通過六根相同的球副- 移動副- 球副(或萬向鉸)支鏈(BiCi)相連.Bi和Ci分別為動定平臺的6個頂點，Aj(j=1,3,5)為定平臺六邊形長邊的交點.

圖1中：P為機構(gòu)動平臺幾何中心點；O為機構(gòu)定平臺的幾何中心點；βm為動平臺上邊B4B5對應(yīng)的中心角，0°≤βm≤120°；βb為定平臺上邊 C1C2對應(yīng)的中心角，0°≤βb≤120°；Rm為動平臺外接圓半徑；Rb為定平臺外接圓半徑.

為分析并得到機構(gòu)的奇異軌跡方程，在機構(gòu)動平臺上建立固連坐標(biāo)系P-xyz，在定平臺上建立固定參考系O-xyz. 將動平臺中心點P作為動平臺運動的位置參考點，設(shè)點P在固定參考系O-xyz中的位置矢量記為P=[X,Y,Z]T；記動平臺各鉸點Bi在動坐標(biāo)系P-xyz中的位置矢量為bi(i=1, 2, …, 6)，記Bi在固定坐標(biāo)系O-xyz中的位置矢量為Bi(i=1, 2, …, 6)；定平臺各個鉸點Ci在固定參考系O-xyz中的位置矢量記為Ci(i=1, 2, …, 6).

定義機構(gòu)的初始姿態(tài)，其滿足條件： 1) 給定機構(gòu)動平臺參考點P的位置； 2) 動定坐標(biāo)系的相應(yīng)坐標(biāo)軸相互平行.

機構(gòu)的幾何構(gòu)型取決于4個參數(shù)：Rm、Rb、βm、βb. 機構(gòu)動定平臺的形狀分別取決于βm、βb，如表1所示.

表1　動定平臺的形狀與中心角大小的關(guān)系

(1)

由坐標(biāo)變換原理不難得到Bi與bi滿足

Bi=Rbi+P

(2)

將式(1)帶入機構(gòu)奇異位形判別矩陣

(3)

若令式(3)所示矩陣的行列式等于零，即可得到機構(gòu)奇異位形關(guān)于位姿參數(shù)的解析表達式

F(A, B)=0

式中：A表示機構(gòu)動平臺的位置參數(shù)；B表示機構(gòu)動平臺的姿態(tài)參數(shù).

(4)

式中：fi(i=1, 2, …, 73)均是機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rm、Rb、βm、βb以及位置參數(shù)(X,Y,Z)的顯示表示.

當(dāng)給定機構(gòu)的構(gòu)型參數(shù)Rm=1、Rb=2、βm=75°、βb=105°，機構(gòu)位于給定位置(0, 0, 4)時關(guān)于姿態(tài)參數(shù)(q1,q2,q3)的姿態(tài)奇異軌跡在笛卡兒坐標(biāo)系中的三維圖形化描述如圖2所示.

2　姿態(tài)奇異性質(zhì)分析

為便于闡述機構(gòu)處于給定位置時姿態(tài)奇異位形的性質(zhì)，在此給出“姿態(tài)原點”的概念：當(dāng)機構(gòu)位于“姿態(tài)原點”時，應(yīng)滿足機構(gòu)動、定坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)，機構(gòu)動平臺的姿態(tài)參數(shù)為(0, 0, 0) .

當(dāng)機構(gòu)處于姿態(tài)原點時，將機構(gòu)的位置參數(shù)A=(X,Y,Z)及姿態(tài)參數(shù)B=(0, 0, 0)帶入式(4)便可得到機構(gòu)位于初始位形時的奇異軌跡表達式

gZ3=0

(5)

式中：g由機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rb、Rm、βb、βm決定，并且只要βb+βm≠120°，即只要機構(gòu)不滿足結(jié)構(gòu)奇異時，必有g(shù)≠0.

式(5)不含位置參數(shù)X、Y，若使式(5)成立，必然有Z=0. 也即是說，當(dāng)Z≠0也即動、 定平臺不重合且機構(gòu)位于姿態(tài)原點(0, 0, 0)時，無論位置參數(shù)X、Y為何值，機構(gòu)的雅可比矩陣行列式必不等于0，即機構(gòu)不會處于奇異位形. 另一方面，機構(gòu)處于給定位置時的姿態(tài)奇異軌跡方程(4)必然關(guān)于姿態(tài)參數(shù)(q1,q2,q3)連續(xù)，因此，當(dāng)給定機構(gòu)位置參數(shù)(X,Y,Z)，機構(gòu)在關(guān)于姿態(tài)參數(shù)B的姿態(tài)原點(0, 0, 0)附近必然存在一個無奇異姿態(tài)空間. 從圖2可以看出，機構(gòu)在若干給定位置處的姿態(tài)原點附近，確實存在一個無奇異姿態(tài)空間. 綜上所述，可得出以下重要定論：

定論對于非結(jié)構(gòu)奇異性六自由度Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)，若動、 定平臺不在同一平面內(nèi)，則機構(gòu)在以單位四元數(shù)表征的三維姿態(tài)參數(shù)空間原點即(1, 0, 0, 0)附近，理論上必然存在一個無奇異姿態(tài)空間.

從圖2可看出，由于姿態(tài)奇異軌跡分布的復(fù)雜性，很難確定以上所述的理論無奇異姿態(tài)空間的形狀及大小，而并聯(lián)機器人機構(gòu)在實際應(yīng)用時，人們常希望得到具有一定規(guī)則形狀及大小的姿態(tài)空間. 因此，為便于確定理論無奇異姿態(tài)空間，在此，將具有規(guī)則形狀的姿態(tài)奇異三維曲面最小內(nèi)切球作為機構(gòu)的理論無奇異姿態(tài)空間，并且球心為姿態(tài)原點(q1,q2,q3)=(0, 0, 0)，稱此球為無奇異姿態(tài)球，如圖3所示. 并將該球的體積大小作為衡量機構(gòu)處于給定位置時的無奇異姿態(tài)變換能力，簡稱為姿態(tài)能力(orientation- capability). 由于球的體積決定于其半徑大小，因此，也可將無奇異姿態(tài)球半徑作為衡量機構(gòu)姿態(tài)能力的大小，無奇異姿態(tài)球半徑越大，機構(gòu)的姿態(tài)能力越大，理論無奇異姿態(tài)空間體積將越大.

3　姿態(tài)能力的數(shù)值算法

為便于計算機構(gòu)姿態(tài)能力大小，并考慮單位四元數(shù)的性質(zhì)，將單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換成下列球坐標(biāo)表示形式：

q1=rsinαcosβ

q2=rsinαsinβ

q3=rcosα

α[0, π],β∈[0, 2π],r∈[0,1]

(6)

將單位四元數(shù)轉(zhuǎn)換為球坐標(biāo)形式計算的另一個原因是為便于計算姿態(tài)能力大小

將式(6)帶入式(4)，可得到關(guān)于r、α、β的方程

F(r,α,β)=0

(7)

因而，計算機構(gòu)在給定位置時的姿態(tài)能力便轉(zhuǎn)化成對于所有的α、β取值，滿足式(7)時搜尋r的最小值rmin問題. Pernkopf等[14]綜合利用二分法和Sturm原理在Maple軟件中來求解無奇異姿態(tài)空間. 本文給出另一種計算姿態(tài)能力大小的一種通用算法，該算法綜合利用逐步搜索算法和二分法來精確地計算姿態(tài)能力，算法如下：

步驟1將機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)Rb、Rm、αb、βm，機構(gòu)動平臺位置參數(shù)(X,Y,Z)，以及式(6)代入式(4)，將式(4)轉(zhuǎn)換成關(guān)于r、α、β的式(7).

步驟2將α、β取值范圍劃分成步長分別為Δα、 Δβ的一系列微分子空間

αi+1=βi+Δα(i,i+1=1, 2, …, π/Δα)

βj+1=βj+Δβ(j,j+1=1, 2, …, 2π/Δβ)

式中:α1=0；β1=0；r1=0. 在α=αi并β=βj的微分子空間內(nèi)，式(7)關(guān)于r在[0, 1]的實數(shù)解可能不止一個，將其中較小的一個解記為ri,j，如圖4所示.

步驟3設(shè)α=αi(i,i+1=1, 2, …, π/Δα)，并執(zhí)行步驟3(a)～(e).

(a) 設(shè)β=βj(j,j+1=1, 2, …, 2π/Δβ)，將r以步長為Δr從0開始逐步增加，并將第k個值記為rk(k=1, 2, …, 1/(r)). 將rk、αi及βj帶入式(7)左邊，并將其值記為F(rk). 若滿足F(rk)×F(rk+1)≤0或rk=1，即可停止步驟3(a)，并繼續(xù)步驟3(b)～3(f).

(b) 若F(rk)×F(rk+1)=0，則記ri,j=rk+1.

(c) 若F(rk)×F(rk+1)<0，則必有ri,j∈(rk,rk+1). 此時，搜尋ri,j即是搜尋如式(7)所示關(guān)于未知數(shù)r的在(rk,rk+1)的解，這樣，可利用二分法在搜索區(qū)間 [rk,rk+1]上求解方程的根. 關(guān)于二分法的具體算法，在此不再贅述.

(d) 若對于所有的rk均有F(rk)×F(rk+1)>0，則記ri,j=1. 此種情況下，也即α=αi并β=βj時，關(guān)于r的式(7)無解.

(e) 對于其他所有β值，重復(fù)3(a)～3(d).

(f) 對于其他所有α值，重復(fù)3(a)～3(e).

步驟4將搜索得到的所有ri,j取最小值(i=1, 2, …, π/Δα;j=1, 2, …, 2π/Δβ)便可得到無奇異姿態(tài)球半徑即姿態(tài)能力r，即有r=min(ri,j).

步驟3(c)利用了連續(xù)函數(shù)的介值定理. 當(dāng)α、β均給定時，式(7)左邊是關(guān)于r的連續(xù)函數(shù)，若r從rk連續(xù)變化至rk+1，則式(7)左邊F(r)必隨著r的連續(xù)變化而變化. 根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，若F(rk)F(rk+1)<0，則方程F(r)=0在區(qū)間(rk,rk+1)上至少有一個解，此時，搜尋ri,j即是要在(rk,rk+1)上尋找方程F(r)=0的根，如圖5所示.

4　姿態(tài)能力大小的影響因素研究

影響機構(gòu)姿態(tài)能力大小的因素主要有動、 定平相對尺寸大小，動、 定平臺的幾何中心角βm、βb，以及動平臺所處位置(X,Y,Z). 為便于分析，將機構(gòu)定平臺外接圓半徑設(shè)為Rb=2，不考慮機構(gòu)關(guān)節(jié)運動范圍情況下動平臺可以到達三維空間內(nèi)任意位置. 不失一般性，此處機構(gòu)的長度單位及位置參數(shù)單位均為量綱一尺寸.

4.1動、 定平臺幾何中心角的影響

為便于分析機構(gòu)動、 定平臺幾何中心角βm、βb對姿態(tài)能力的影響，設(shè)動、 定平臺外接圓半徑比μ以及動平臺位置參數(shù)(X,Y,Z)均給定. 當(dāng)Rb=2、μ=Rm/Rb=0.5，動平臺中心角βm和定平臺中心角βb對機構(gòu)姿態(tài)能力r的影響情況如圖6所示.

從圖6可以看出，當(dāng)動、 定平臺其中一個中心角給定時，另一個平臺越接近三角形形狀，則機構(gòu)姿態(tài)能力越大. 但是，眾所周知，三角形平臺由于制造難度較大，在生產(chǎn)實際中鮮有應(yīng)用.

此外，當(dāng)βm+βb=120°即機構(gòu)動、定平臺為2個相似六邊形且對應(yīng)定點以支鏈相連時，機構(gòu)為結(jié)構(gòu)奇異性構(gòu)型，此時，無論機構(gòu)處于何種位形，機構(gòu)均奇異，因此，應(yīng)避免設(shè)計此種結(jié)構(gòu)型式的機構(gòu).

4.2動、定平臺相對尺寸大小的影響

假定機構(gòu)動、定平臺中心角βm、βb以及機構(gòu)動平臺位置參數(shù)(X,Y,Z)均給定，動、定平臺外接圓半徑比μ=Rm/Rb便決定了動、定平臺相對尺寸大小，其對機構(gòu)姿態(tài)能力影響情況如圖7所示.

從圖7可以得到以下結(jié)論：

1) 其他構(gòu)型參數(shù)給定，當(dāng)μ=1時，機構(gòu)姿態(tài)能力接近最大值. 也即是說，當(dāng)動、定平臺具有相同大小的外接圓半徑時，機構(gòu)具有最大無奇異姿態(tài)球.

2) 當(dāng)βm/βb=0°或βm/βb=120°時，機構(gòu)姿態(tài)能力隨μ變化而變化的范圍很小. 也即是說，當(dāng)機構(gòu)動平臺或定平臺為三角平臺時，機構(gòu)無奇異姿態(tài)球大小基本不隨動、定平臺外接圓半徑比變化而變化.

4.3動平臺位置的影響

圖8描述了機構(gòu)構(gòu)型參數(shù)均給定時，機構(gòu)姿態(tài)能力r大小隨動平臺位置參數(shù)不同而變化的情況. 其中Rm=1、Rb=2，βb=90°、βm=45°，且ΔX、ΔY均為0.25，姿態(tài)能力變化曲面對應(yīng)的位置參數(shù)分別為Z=2、3、4. 圖9、10給出了在Y及X截面上姿態(tài)能力隨位置參數(shù)變化情況.

從圖10～12可以得出：

1) 當(dāng)位置參數(shù)Z給定時，姿態(tài)能力隨位置(X,Y)變化的曲面關(guān)于X軸對稱.

2) 當(dāng)位置參數(shù)Z給定時，動平臺中心點P越接近Z軸，機構(gòu)姿態(tài)能力越大，位于Z軸時，姿態(tài)能力達到最大.

圖11描述了當(dāng)(X,Y)給定時，姿態(tài)能力隨位置參數(shù)Z變化情況. 從圖11姿態(tài)能力r隨位置參數(shù)Z的變化趨勢可以看出，當(dāng)(X,Y)給定時，Z越大，也即機構(gòu)動平臺距離定平臺越遠，機構(gòu)姿態(tài)能力越大，但隨著Z的逐漸增大，姿態(tài)能力增大的趨勢越平緩；當(dāng)機構(gòu)動平臺位置位于定平臺所在平面時，機構(gòu)無姿態(tài)能力.

文獻[14]以單位四元數(shù)為姿態(tài)參數(shù)，給出了Gough-Stewart并聯(lián)機構(gòu)的無奇異姿態(tài)空間的一種數(shù)值離散求解算法，研究表明在沒有考慮機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)約束條件下，該機構(gòu)的無奇異姿態(tài)空間體積大小

隨著Z坐標(biāo)值的增大逐漸增大. 文獻[15]進一步考慮了機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)約束，給出機構(gòu)的無奇異姿態(tài)空間求解算法，并描述了機構(gòu)在Z截面上在若干不同(X,Y)坐標(biāo)參數(shù)下的無奇異姿態(tài)空間. 文獻[15]研究也表明機構(gòu)無奇異姿態(tài)空間大小確實關(guān)于X坐標(biāo)軸對稱.

5結(jié)論

1) 論文提出的綜合利用逐步搜索和二分法可有效地計算六自由度Gough-Stewart機構(gòu)無奇異姿態(tài)球及姿態(tài)能力的大小.

2) 對于六自由度Gough-Stewart機構(gòu)，其動、定平臺為2個相似六邊形且對應(yīng)點相連的結(jié)構(gòu)為結(jié)構(gòu)奇異性構(gòu)型，應(yīng)避免設(shè)計此種構(gòu)型參數(shù).

3) 當(dāng)動、定平臺其中一個幾何形狀給定，另一個平臺的幾何形狀越接近三角形形狀，機構(gòu)的姿態(tài)能力越大，即理論上的無奇異姿態(tài)球體積越大.

4) 當(dāng)其他構(gòu)型參數(shù)給定，動、定平臺的相對尺寸大小越接近，機構(gòu)便具有較大的姿態(tài)能力. 因此，為使機構(gòu)具有較大的姿態(tài)能力，動、定平臺應(yīng)具有較為接近的相對尺寸.

5) 機構(gòu)動平臺幾何中心點距離定平臺距離越遠且越接近坐標(biāo)軸Z時，理論上機構(gòu)具有的姿態(tài)能力越大. 因此，為提高機構(gòu)在實際工作工程中的姿態(tài)能力，在強度及剛度等條件允許情況下，可適當(dāng)增加各分支桿長度，使得動平臺能夠在遠離定平臺的區(qū)域工作，從而機構(gòu)具有較大體積的理論無奇異姿態(tài)空間.

6) 作者下一步研究將在基于姿態(tài)奇異研究基礎(chǔ)上，集中于機構(gòu)的無奇異姿態(tài)運動規(guī)劃和控制算法等的研究.

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(責(zé)任編輯楊開英)

Orientation-capability Analysis of Gough-Stewart Parallel Mechanism With Six-degrees of Freedom

LI Baokun1, 2， GUO Yongcun1， CAO Yi3, 4

(1. School of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology, Huainan 232001, Anhui, China;2. Post Doctoral Research Station of Mechanical Engineering, Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001, Anhui, China; 3. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, Jiangsu, China;4. State Key Laboratory of Mechanical System and Vibration, Shanghai 200240, China)

A general symbolic expression for representing the three-dimensional orientation-singularity locus of the Gough-Stewart parallel mechanism for a given position was obtained and the three-dimensional view of the orientation-singularity locus was described by using the unit quaternion as the orientation parameters. The orientation-singularity locus property of the mechanism was analyzed. Conception of the orientation-singularity-free void was advanced and the necessity of existence of the orientation-singularity-free void was illustrated. The orientation capability that was the singularity-free ball with regular shape was defined and used as an important performance index for measuring the volume of the orientation-singularity-free void. The influence of the geometry parameters and the position parameters of the mechanism on the orientation-capability was further explored and the atlases were constructed. Investigation shows that the unit quaternion can be efficiently used to represent the orientation-singularity and orientation-capability the class of the parallel mechanisms.

parallel mechanism; unit quaternion; orientation-singularity; orientation void; orientation ball; orientation-capability

2015- 02- 28

國家自然科學(xué)基金資助項目(50905075)； 安徽省自然科學(xué)基金資助項目(1308085QE78)

李保坤(1982—)， 男， 在站博士后， 副教授， 主要從事機構(gòu)學(xué)與機器人技術(shù)方面的研究， E-mail： libkmail@126.com

郭永存(1965—)，男，教授，博士生導(dǎo)師， 主要從事機構(gòu)學(xué)、現(xiàn)代機械設(shè)計理論方面的研究， E-mail: ycguo@aust.edu.cn

TP 242.2

A

0254-0037(2016)05-0641-09

10. 11936/bjutxb2015020044