陳鳳翔，許偉康，汪禮勝

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系，湖北武漢 430070）

缺陷周圍載流子分布的時域GUI演示

陳鳳翔，許偉康，汪禮勝

（武漢理工大學(xué)理學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系，湖北武漢 430070）

半導(dǎo)體材料中的微量缺陷能夠在很大程度上影響其光電特性，不同類型的缺陷造成的影響也不一樣.本文以數(shù)學(xué)物理方法中的差分解法為基礎(chǔ)，對半導(dǎo)體物理中的連續(xù)性方程進行離散處理，同時借助Matlab中的GUI界面作為演示工具，分別展示了局域光照和均勻全域光照下，點缺陷、線缺陷對半導(dǎo)體中非平衡載流子空間分布的影響.通過相關(guān)參數(shù)的選擇設(shè)置及物理圖像的演示，可以讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)物理方法的應(yīng)用，同時在半導(dǎo)體物理課程學(xué)習(xí)中獲得更直觀的學(xué)習(xí)體驗.

缺陷；載流子濃度；時域演化；擴散長度

在晶體中，原子或者是離子、分子在空間周期性重復(fù)排列［1］，但任何實際晶體中都會有不完整的地方，稱為缺陷.缺陷主要分為點缺陷、線缺陷和面缺陷.對于半導(dǎo)體材料而言，極微量的缺陷，也能夠?qū)ζ湮锢硇再|(zhì)和化學(xué)性質(zhì)產(chǎn)生決定性的影響［2］.晶體缺陷的產(chǎn)生、發(fā)展、運動和相互作用、以至于聚集或消失決定性地影響晶體的基本物理性質(zhì)［3］，尤其在晶體的光電性能研究中扮演了主要角色.大部分與半導(dǎo)體物理學(xué)相關(guān)的教材中都給出了光注入后過剩載流子的空間分布模型和公式，也討論了其運動模式和影響參數(shù).但若是半導(dǎo)體材料中存在缺陷，缺陷如何對周圍載流子的分布和運動造成影響，相關(guān)的理論分析和實驗仿真卻很少.

“數(shù)學(xué)物理方法”是高年級物理專業(yè)以及多數(shù)工科專業(yè)學(xué)生的必修基礎(chǔ)理論課程，同時它也是一門被學(xué)生廣泛反映難度較大的課程［4］.由于課程具有“數(shù)學(xué)與物理相結(jié)合”的特點，這門課涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識面較廣，又與許多具體的物理問題、工程技術(shù)密切相關(guān)，加之近年來教學(xué)課時的壓縮，導(dǎo)致了本課程成為一門公認(rèn)的難教、難學(xué)的理論課程.學(xué)生們在學(xué)習(xí)時會練習(xí)求解相關(guān)數(shù)學(xué)方程的技巧，但是在題目做完、做對之后，卻往往不知道自己求解過程的物理圖像是什么，更不用說將其推廣到其他的物理問題上了，無法體會到該門工具課程的真正實用價值［5］.

本文利用數(shù)學(xué)物理方法的差分解法來求解連續(xù)性方程，討論缺陷對半導(dǎo)體材料中載流子運動的影響.借助Matlab強大的數(shù)值處理能力和GUI可視化功能［6-8］，分別演示了在局域光照和均勻全域光照的情況下，當(dāng)載流子擴散和復(fù)合運動并存時，缺陷周圍的載流子濃度如何隨時間演化，并討論了不同的復(fù)合參數(shù)及擴散系數(shù)等對載流子空間分布的影響，展示了數(shù)學(xué)工具與物理學(xué)問題的有機結(jié)合.

1　半導(dǎo)體中非平衡載流子的運動

光照可以在半導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生非平衡載流子，稱為非平衡載流子的光注入.一般光注入時，注入的非平衡載流子濃度低于平衡時的多數(shù)載流子濃度，卻遠高于平衡時的少數(shù)載流子濃度.因此實際上往往是非平衡少數(shù)載流子起著重要作用，相對而言非平衡多數(shù)載流子的影響則可以忽略，所以通常非平衡載流子都是指非平衡少數(shù)載流子.本文主要討論p型材料中非平衡載流子——電子的分布情況，n型材料可做類似討論.光照后，半導(dǎo)體受光面將產(chǎn)生高濃度的光生電子-空穴對，因而沿光照方向會出現(xiàn)電子和空穴的濃度梯度，并導(dǎo)致相應(yīng)的擴散流［9］，擴散長度由材料的少數(shù)載流子壽命和擴散系數(shù)決定.除擴散運動外，半導(dǎo)體內(nèi)還存在著復(fù)合運動，這兩者最終會達到一個平衡.而半導(dǎo)體中的雜質(zhì)和缺陷則會影響這一平衡的建立，它們除了影響非平衡載流子的壽命以外，也會影響半導(dǎo)體的光電特性.

圖1為本文所考慮的含點缺陷和線缺陷的半導(dǎo)體樣品，結(jié)合實驗中常用的測試條件，光照可分為局域光照和均勻全域光照兩種情況.為避免點缺陷和線缺陷間的相互影響，對樣品中點缺陷和線缺陷的行為分開討論.

圖1　含點缺陷和線缺陷的半導(dǎo)體樣品

2　連續(xù)性方程的差分化解法

連續(xù)性方程是半導(dǎo)體中少數(shù)載流子所遵守的基本運動方程.如圖1所示，在一塊p型半導(dǎo)體表面利用光注入產(chǎn)生非平衡載流子，那么光照后半導(dǎo)體的少數(shù)載流子將會同時作復(fù)合運動和擴散運動.單位體積內(nèi)載流子濃度隨時間的變化率滿足［2］

其中n表示電子濃度，n/τ是單位時間單位體積里復(fù)合的電子數(shù)，Dn是電子擴散系數(shù)，τ表示載流子復(fù)合率的倒數(shù)，為區(qū)分樣品中有無缺陷處不同的載流子復(fù)合率，分別用τb和τd表示無缺陷區(qū)和缺陷處的少子壽命，gn表示由光注入所引起的單位體積單位時間里電子濃度的變化.

通常實驗結(jié)果只能觀測平面上的載流子濃度分布，對應(yīng)此時的連續(xù)性方程為

由于樣品中有缺陷的存在，而缺陷會對載流子的空間分布造成影響，因此上述方程的解的解析表達式難以給出.采用數(shù)學(xué)物理方法中的差分解法來求解，以差商近似微商，可對問題進行離散運算.

利用中心差商，有［10］

則過剩載流子濃度表示為［11］

為確保方程（5）的收斂性，時間步長需選擇Δn/Δt＜10%.通過設(shè)定不同的缺陷位置、擴散系數(shù)和復(fù)合參數(shù)就可分析不同光照下的情形.

3　光照下缺陷行為的GUI演示

整個演示界面如圖2所示.左邊為光源與缺陷類型選擇及參數(shù)設(shè)置項，根據(jù)實際需求可選擇不同的光源和缺陷.在參數(shù)設(shè)置上，首先需要設(shè)置半導(dǎo)體樣品的尺寸和缺陷離坐標(biāo)原點的距離.對于不同的缺陷，則需要設(shè)定缺陷的尺寸以及缺陷內(nèi)外的少子壽命，同時給定樣品的擴散系數(shù)，最后設(shè)置演化時間，點擊“自定義演示”，就可以得到載流子空間分布演示.對載流子空間分布演示給出3維空間分布和2維平面投影，兩者相結(jié)合可以清晰地觀察缺陷對載流子分布的影響.為了方便教師的課堂展示，也可以采用“默認(rèn)演示”來快速設(shè)置參數(shù)和獲得演示結(jié)果.

3.1局域光照下點缺陷的影響

在局域光照下，系統(tǒng)默認(rèn)光照點位于坐標(biāo)原點.圖3給出了局域光照情形下，點缺陷對周圍載流子分布的影響.圖3（a）和圖3（b）分別對應(yīng)演化時間為10 ns和100 ns的載流子瞬態(tài)分布.在Matlab演示中，數(shù)值高低自動用不同顏色表示，如數(shù)值條所示.紅色代表較高載流子濃度，而藍色對應(yīng)較低載流子濃度.對比圖3（a）和3（b）可以看出，當(dāng)光注入剛開始時，注入光源的影響范圍較小，而且由于點缺陷和注入光源之間有一定間距，點缺陷并不能立刻對過剩載流子的分布造成影響，圖3（a）的投影可以視作為一個圓形.但經(jīng)過一段時間后，過剩載流子逐漸擴散到了缺陷點處，受缺陷點的復(fù)合，載流子濃度遠低于空間其他位置，在圖3（b）中可以觀察到一個凹坑，此時二維投影中載流子的分布也不再是軸對稱，而是存在一個點缺陷造成的“缺口”.

圖2　缺陷周圍載流子空間分布的時域演化GUI界面

3.2局域光照下線缺陷的影響

線缺陷是由半導(dǎo)體中的位錯或?qū)\晶引起的［12］，與點缺陷不同，線缺陷在二維平面上表現(xiàn)為一條狹長的細(xì)線.設(shè)置線缺陷長為50 μm，寬度為2 μm，圖4給出了不同擴散長度下線缺陷對載流子空間分布的影響.在擴散系數(shù)相同的情況下，擴散長度Ln由載流子壽命τb決定，壽命越長，擴散長度越長.為了更好的演示出缺陷的影響，演化時間設(shè)定為100 ns.

從圖4（a）和圖4（b）中可以發(fā)現(xiàn)：線缺陷的存在像在載流子的空間分布面上“切了一刀”，但還是有一部分載流子能夠到達缺陷背后.而且隨著擴散長度的增加，線缺陷影響的范圍更加明顯，這是因為擴散長度的增加將導(dǎo)致更多的載流子能夠擴散到線缺陷處，遭到線缺陷的復(fù)合，從而引起缺陷后面載流子濃度的顯著下降.而對比圖3和圖4，最明顯的區(qū)別是線缺陷的復(fù)合影響下，載流子濃度的峰值明顯地偏離了原點，當(dāng)擴散長度為10 μm時（圖4（b）），載流子的峰值在x軸負(fù)方向上偏移了約5 μm.雖然局域光照下點缺陷也會造成載流子峰位與原點的偏移，但在線缺陷影響下，偏移現(xiàn)象更加明顯.

3.3均勻全域光照情況下點缺陷的影響

與局域光照一樣，均勻全域光照也是常用的一種實驗光照條件.此時樣品表面全部受到均勻光照，若樣品表面無缺陷，則無過剩載流子的橫向運動.若有點缺陷或線缺陷時，因為缺陷處的載流子濃度低于周圍的載流子濃度，載流子會發(fā)生橫向擴散.圖5給出了均勻穩(wěn)態(tài)光照下，點缺陷對空間載流子分布的影響，點缺陷設(shè)置在坐標(biāo)原點，圖5（a）、圖5（b）分別代表演化時間為10 ns和100 ns時的載流子濃度分布圖.

從圖5（a）和圖5（b）中可以看到，點缺陷的存在使得缺陷周圍的載流子濃度產(chǎn)生了不同程度的下降，越靠近缺陷，過剩載流子濃度越小.和局域光照時載流子分布呈錐形面不同，均勻全域光照時過剩載流子濃度分布呈漏斗狀，無缺陷區(qū)域載流子濃度高，而缺陷處載流子濃度低.隨著演化時間增長，漏斗開口的面積變大，載流子像是通過點缺陷“漏掉”了.在時域PL實驗結(jié)果中［12］，平面上的點缺陷表現(xiàn)為一個黑點，隨時間延長黑點不斷變大，與模擬結(jié)果一致.

3.4均勻全域光照情況下線缺陷的影響

圖6展示了均勻全域光照情況下，線缺陷帶來的影響.線缺陷的尺寸定義與圖4中的一致，長為50 μm，寬度為2 μm.圖6（a）和（b）分別對應(yīng)擴散長度為3.16 μm和10 μm的載流子濃度圖，演化時間設(shè)置為100 ns.由于擴散長度的變化不大，因此圖6（a）和圖6（b）的結(jié)果較類似，但仔細(xì)分析缺陷處載流子濃度可以發(fā)現(xiàn)：圖6（a）中的缺陷處濃度約為光照處濃度的30%，但在圖6（b）中，缺陷處濃度降為了光照處濃度的20%，表明對于擴散長度越長的樣品，線缺陷造成的載流子復(fù)合影響越強.對比圖4與圖6可發(fā)現(xiàn)：均勻全域光照下，遠離缺陷處的載流子濃度遠高于缺陷附近的載流子濃度，線缺陷造成的復(fù)合像個線狀口徑的“漏斗”，在二維平面上投影成一個特別的“眼圖”.

圖3　局域光照下，不同演化時間點缺陷對載流子空間分布的影響

圖4　局域光照下，不同擴散長度樣品中線缺陷對載流子空間分布的影響，演化時間均為100 ns

圖5　均勻全域光照下，不同演化時間時點缺陷對載流子空間分布的影響

圖6　均勻全域光照下，不同擴散長度樣品中線缺陷對載流子空間分布的影響，演化時間均為100 ns

4　結(jié)論

本文借助Matlab中的GUI界面仿真了半導(dǎo)體材料中缺陷周圍的載流子濃度空間分布，利用微分方程的差分解法來求解連續(xù)性方程，將“半導(dǎo)體物理學(xué)”知識點與“數(shù)學(xué)物理方法”的應(yīng)用緊密結(jié)合.演示了不同光照時刻和不同擴散長度下，局域光照和均勻全域光照中點缺陷和線缺陷對過剩載流子濃度的空間分布帶來的影響.通過3維空間分布和2維平面投影的結(jié)果分析，可以讓學(xué)生更直觀和全面地理解缺陷對載流子運動帶來的影響.此舉能夠加深學(xué)生對于半導(dǎo)體物理中連續(xù)性方程的學(xué)習(xí)，使得學(xué)習(xí)過程不僅僅停留在方程表面，而能更深入理解方程本身所刻畫的模型以及相應(yīng)參數(shù)在模型中的作用，緊密聯(lián)系半導(dǎo)體物理的理論知識和實際應(yīng)用.

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The temporal evolution of carrier distribution around defects by GUI

XU Wei-kang，CHEN Feng-xiang，WANG Li-sheng
（Department of Physics Science and Technology，Wuhan University of Technology，Wuhan，Hubei 430070，China）

Even minor defects in semiconductor material will effectively affect its photoelectric properties，and different types of defects have different effects.In this paper，we use different methods of mathematical physics to solve continuity equation of semiconductor physics，and demonstrate the results with GUI tool by the Matlab software.The influences of defects on the spatial distribution of carrier under different illuminations，for example，local illumination and uniform global illumination，are shown in this GUI.After setting the related parameters and the subsequent demonstration，this GUI is helpful to guide the undergraduate students to understand the application of mathematical physics method，and allow them to gain a more intuitive learning experience in studying the semiconductor physics.

defects；carrier concentration；temporal evolution；diffusion length

O 483

A

1000-0712（2016）09-0024-06

2016-01-04；

2016-03-29

武漢理工大學(xué)教學(xué)研究項目（w2014080；w2015053）資助

陳鳳翔（1979—），女，湖北黃岡人，武漢理工大學(xué)理學(xué)院物理科學(xué)與技術(shù)系副教授，博士，主要從事半導(dǎo)體物理、數(shù)學(xué)物理方法的教學(xué)和高效太陽能電池的研究工作.