劉玫星

（湖南郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系，湖南長沙410015）

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解的端點(diǎn)問題數(shù)值處理方法研究

劉玫星

（湖南郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院經(jīng)濟(jì)管理系，湖南長沙410015）

經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（EMD）是由Huang等發(fā)展的一種新的數(shù)據(jù)分析方法，但在利用樣條插值獲得上下包絡(luò)過程中存在著棘手的端點(diǎn)問題。文章在該問題已有解決方法的基礎(chǔ)上，提出了基于極值點(diǎn)單調(diào)性一致的EMD端點(diǎn)問題處理方法。根據(jù)信號的極值序列查找與數(shù)據(jù)末端極值的差值和同時具備最小、單調(diào)性一致且在單調(diào)性內(nèi)的點(diǎn)數(shù)相等三個條件的極值序列，進(jìn)而構(gòu)造方程組進(jìn)行極值預(yù)測。通過與其他兩種方法的對比驗(yàn)證，證明了提出的方法可以有效抑制端點(diǎn)效應(yīng)。

EMD端點(diǎn)問題；極值點(diǎn)；單調(diào)性一致

1998年，Huang等人在瞬時頻率的研究中，提出了希爾伯特黃變換方法，即：HHT；隨后對該方法進(jìn)行了改進(jìn)，使其分解精度提高；接著對相關(guān)的準(zhǔn)則進(jìn)行了完善，給出了一種高尺度分辨率的改進(jìn)方法。該方法根據(jù)信號本身具有的特征時間尺度，第一次提出了本征模態(tài)函數(shù)（tmf）概念以及將信號分解為固有模態(tài)的方法，即：EMD方法［1］。隨著研究的深入，EMD方法被運(yùn)用到越來越多的領(lǐng)域中，EMD方法分解質(zhì)量也就受到廣泛的關(guān)注；EMD方法分解是用上下極值點(diǎn)的三次樣條插補(bǔ)擬合均值來獲得分解信號，但是采用三次樣條插補(bǔ)方法存在特殊的端點(diǎn)效應(yīng)，嚴(yán)重的會影響到信號分解的層數(shù)和端部信號的污染。由此，陳忠、鄭時雄提出了通過在其兩端添加極值點(diǎn)的方法來抑制端點(diǎn)效應(yīng)，該方法利用端點(diǎn)處三分之一數(shù)據(jù)時間間隔均值作為時間軸上的延伸和兩端點(diǎn)幅值或全局統(tǒng)計平均幅值作為附加極值，由于附加極值預(yù)測采用的是兩端點(diǎn)幅值或全局統(tǒng)計平均幅值，因此不能很好的體現(xiàn)附加極值的預(yù)測性［2］；劉慧婷等人采用了多項(xiàng)式擬合算法來處理EMD端點(diǎn)效應(yīng)，提出了附加極值預(yù)測方法［3］；還有一些學(xué)者利用徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測附加極值的方法［4］［5］［6］［7］，在信號的兩端分別預(yù)測下一個極大值和極小值，再進(jìn)行三次樣條曲線插補(bǔ)，該方法預(yù)測精確，但時間運(yùn)行太久；毛博，高斐等人用分段冪函數(shù)插值法代替原EMD方法算法中的三次樣條插值法［8］，該方法雖然從源頭解決了采用三次樣條插值法產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)，但其精度較差，且還產(chǎn)生了一些新的問題。上述研究方法中，主要存在時間和精度不能同時達(dá)到最優(yōu)的問題，因此本文基于附加極值的思想提出了使時間和精度能同時達(dá)到最優(yōu)的單調(diào)性一致的EMD端點(diǎn)附加極值預(yù)測方法，簡稱單調(diào)性算法。

1　EMD端點(diǎn)問題的極值點(diǎn)單調(diào)性處理方法研究

EMD方法［9］從原理上講是對一個信號進(jìn)行平穩(wěn)化處理，其結(jié)果是將信號中不同尺度的波動或趨勢逐級分解，產(chǎn)生一系列具有不同特征尺度的數(shù)據(jù)序列，每個序列成為1個固有模態(tài)函數(shù)（imf）。但是在分解過程中會有端點(diǎn)效應(yīng)的產(chǎn)生，針對端點(diǎn)效應(yīng)常見采用的有端點(diǎn)極值法、用全局統(tǒng)計平均幅值作為端點(diǎn)的附加極值法［2］、多項(xiàng)式擬合算法、對稱延拓算法和鏡像延拓基算法。在上述算法中對稱延拓和鏡像延拓是基于局部近似預(yù)測，而端點(diǎn)極值法、全局統(tǒng)計平均幅值作為端點(diǎn)的附加極值法和多項(xiàng)式擬合算法都是基于三次樣條插補(bǔ)算法。

信號可以分為周期信號和非周期信號，而非周期信號可以看作是周期無限大的周期信號，可以近似的認(rèn)為信號具有周期性，因此提出了對稱延拓算法和鏡像延拓基算法。而對稱延拓算法和鏡像延拓基算法只是基本的運(yùn)用信號具有周期性、計算簡單和時間短等特點(diǎn)，但并沒有去判斷和識別出與末端局部信號最近似的局部信號進(jìn)行對稱或鏡像，所以計算精度很低，因此本文提出基于信號極值點(diǎn)之間的相關(guān)性（單調(diào)性）來尋找最近似的局部信號，然后采用極值點(diǎn)的多項(xiàng)式擬合求解末端的下一個極大和極小值，具體方法如下：

1）提取信號x（t）的極大值pmax與極小值pmin，右端最近的一個極大pmax（end）與極小值pmin（end）；將對應(yīng)的極大值與極小值之差的絕對值相加得誤差集，即：并將誤差集從小到大排列；

2）求右端點(diǎn)最近的極大值與極小值的左邊的單調(diào)性情況，即：，與所求誤差集中的每一點(diǎn)（i）的左邊的單調(diào)性進(jìn)行比較，如果單調(diào)性與數(shù)量的個數(shù)（m1）一樣，則保留，否則刪除；

3）計算誤差集中的點(diǎn)（i）右邊第一個極值是否與左邊單調(diào)性一致的情況，即：，比較1-4四種情況的出現(xiàn)頻率，選擇出現(xiàn)頻率較高者，相差不大（＜3）認(rèn)為同等；

4）選擇單調(diào)性中點(diǎn)的個數(shù)（m1）與誤差集中的點(diǎn)的個數(shù)（m2）較小的數(shù)（m），構(gòu)造方程或方程組，即：

將方程（1），即：AX=B求解出的系數(shù)A代入方程（2）中，解出pmax（end+1），其坐標(biāo)由誤差集中最小誤差點(diǎn)坐標(biāo)和后一個坐標(biāo)差加上端點(diǎn)pmax（end）坐標(biāo)。右端極小值可以使用同樣的方法求得；將信號倒置后，采用同樣的方法可以得到左端極大值與極小值。

由于該方法是基于極值誤差和的方法尋找近似點(diǎn)得出的，部分篩選條件將過于嚴(yán)格，因此在數(shù)據(jù)很少時可能導(dǎo)致無解，這時將進(jìn)行如下處理：在步驟a提取出極大值pmax與極小值pmin時，右端的第一個極大pmax（end）與第一個極小值pmin（end）分別與剩余的極大值與極小值相減得到差值，兩差值的絕對值相加就得了誤差集，如下式并從小到大排列，再按照b，c，d步驟進(jìn)行求解，單調(diào)性算法流程如圖1。

圖1　單調(diào)性算法流程圖

2　方法論證

2.1三種方法的端點(diǎn)極值的預(yù)測比較

在經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解過程中常用來處理端點(diǎn)效應(yīng)的方法是三次樣條插補(bǔ)，其實(shí)質(zhì)是對信號兩端的極大值和極小值預(yù)測，其預(yù)測的極值與真實(shí)值越接近，其誤差就越?。?0］。所以通過比較預(yù)測兩端的極大值和極小值，可以得出端點(diǎn)效應(yīng)強(qiáng)與弱，因此下面將通過端點(diǎn)極值法、徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF和本文提出的單調(diào)一致性方法對信號兩端的極值進(jìn)行對比分析，并與真實(shí)值進(jìn)行比較。

設(shè)信號x（t）由調(diào)幅信號x1（t）和正弦信號x2（t）合成，即：

其信號如圖2所示。

圖2　信號x（t）圖

圖3　三種方法求得預(yù)測極值和實(shí)際極值的包絡(luò)線圖

如圖3是分別采用上述三種方法得到包絡(luò)線圖和實(shí)際包絡(luò)線圖。其中“.”代表實(shí)際值包絡(luò)線點(diǎn)；“*”點(diǎn)是由端點(diǎn)極值法得到極值再采用三次樣條插補(bǔ)得到點(diǎn)，從圖4中可以看出左端極大值和右端極小值所擬合得到的點(diǎn)較為靠近真實(shí)的值，而左端極小值和右端極大值擬合所得出來的點(diǎn)離真實(shí)值較遠(yuǎn)，其端點(diǎn)效應(yīng)較為強(qiáng)烈；“+”點(diǎn)指由徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF三次樣條插補(bǔ)曲線，其左右兩端的極小值所預(yù)測值的插值點(diǎn)離實(shí)際點(diǎn)較小的偏差，而兩端的極大值所預(yù)測值的插值點(diǎn)與真實(shí)結(jié)果十分靠近，其端點(diǎn)效應(yīng)較弱；“-”是由本文提出的單調(diào)一致性算法得出的結(jié)果，其左右兩端的極大值所預(yù)測值的插值點(diǎn)離實(shí)際點(diǎn)有較小的偏差，而兩端的極小值所預(yù)測值的插值點(diǎn)與真實(shí)結(jié)果基本一致，因此所帶來的端點(diǎn)效應(yīng)較弱。從整體上，單調(diào)性預(yù)測極值和徑向神經(jīng)網(wǎng)預(yù)測極值都比以數(shù)據(jù)端點(diǎn)作為極值點(diǎn)好，且單調(diào)性算法預(yù)測的極值與徑向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的極值具有相等的精度。

2.2實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

發(fā)生機(jī)械故障時，故障信息往往以調(diào)制形式存在于振動和噪聲中，調(diào)制信號反映了故障的特征信息［11］［12］。下面仿真常見的機(jī)械振動信號，信號是由基頻為7.5Hz，調(diào)制頻率15Hz，30Hz的調(diào)頻調(diào)幅信號和頻率為120Hz正弦信號疊加。以MATLAB14a為仿真軟件，win8系統(tǒng)，處理器為Intel（R）Core（TM）i5-2400，表達(dá)式為［13］：

圖4三種方法分解的結(jié)果比較圖

圖4是利用以數(shù)據(jù)端點(diǎn)作為極值點(diǎn)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓、單調(diào)性三種算法對該振動信號分解后的結(jié)果（圖中縱坐標(biāo)為幅值；橫坐標(biāo)為采樣點(diǎn)數(shù)）。從圖4（a）的分解結(jié)果可知，對于該仿真的振動信號，采用直接以數(shù)據(jù)端點(diǎn)作為極值點(diǎn)，雖然很好地抑制了分解得到的imf的端部特征，但是它實(shí)質(zhì)是強(qiáng)制扭曲了信號的端部特征，因此嚴(yán)重污染了信號。從圖4（b）的分解結(jié)果可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延RBF拓算法較好地抑制了端點(diǎn)效應(yīng)，還能很好分解出x1（t）與x2（t），但由于在每次循環(huán)中要利用該方法對原始數(shù)據(jù)序列的兩端進(jìn)行數(shù)據(jù)延拓，每次若延拓到下一個極值點(diǎn)，循環(huán)次數(shù)為從信號的末點(diǎn)到下一個極值點(diǎn)中間所有的點(diǎn)個數(shù)。但采樣率過高時則循環(huán)次數(shù)增加，運(yùn)算時間也會進(jìn)一步增加，由表1可知，循環(huán)次數(shù)太多造成了運(yùn)算速度太慢。從圖4（c）的分解結(jié)果可知，單調(diào)性方法對該振動信號的分析結(jié)果十分理想，不但能抑制端點(diǎn)效應(yīng)，還能將表達(dá)式x1（t）與x2（t）很好分解出來，而且時間很短，由表1可知。

表1　三種算法運(yùn)行時間

由端點(diǎn)數(shù)據(jù)為附加極值、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF、單調(diào)性三種方法來預(yù)測附加極值的比較中，能夠得出數(shù)據(jù)端點(diǎn)為附加極值點(diǎn)的方法抑制端點(diǎn)效應(yīng)非常有效果，但是在數(shù)據(jù)量少時，其附加極值的誤差帶來了分解層數(shù)的增加，產(chǎn)生不存在的im f分量；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)延拓算法，抑制端點(diǎn)效應(yīng)結(jié)果很好，沒有產(chǎn)生不存在的imf分量，但缺點(diǎn)卻十分的明顯，運(yùn)算速度太慢了；單調(diào)性方法能抑制端點(diǎn)效應(yīng)，沒有產(chǎn)生不存在的imf分量，運(yùn)算時間小于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)RBF的百分之一，其分解的精度和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相差甚小。所以不論從理論分析還是實(shí)驗(yàn)分析中可以看出該算法是一種能較好處理端點(diǎn)效應(yīng)的方法。

3　結(jié)論

本文基于信號周期性的特點(diǎn)，提出單調(diào)性一致算法，該方法能減弱經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解時所產(chǎn)生的端點(diǎn)效應(yīng)，并保證了端點(diǎn)局部信號完整性，保證了端點(diǎn)預(yù)測值與端點(diǎn)局部密切相關(guān)，由此保證了預(yù)測值的可靠性和高精度性。單調(diào)性算法本質(zhì)屬于對稱延拓算法和鏡像算法的改進(jìn)，所以單調(diào)性算法同時具有計算簡單和計算時間短的特性。

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Numericalprocessingmethod of endpoint issueof EMD

LIU Mei-xing
（DepartmentofEconomic Management，Hunan Postand Telecommunication College，Changsha，Hunan，China410015）

The EmpiricalMode Decomposition（EMD）is a newmethod for data analysis developed by Huang，etc.But there is a troublesome endpoint issue during the course of obtaining two envelops of the data with spline interpolation.A new endpoint issue processingmethod based on samemonotonicity of extreme points is proposed on the basis of existing algorithms.The difference values between theextremumsof data end are looked up according to theextremum sequencewhich satisfies the conditions simultaneously such as minimum value，same monotonicity and equal point count in the monotonicity zone.Then the extremums are predicted with constructed equation set.It is verified that the proposed method can restrain endpoint effectavailably by the comparison experiments with theother twomethods.

endpoint issue of EMD；extreme point；samemonotonicity

10.3969/j.issn.2095-7661.2016.03.022】

TN911.7

A

2095-7661（2016）03-0076-04

2016-06-25

劉玫星（1967-），女，湖南新化人，湖南郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院副教授，本科，研究方向：數(shù)據(jù)處理、智能算法。