方鐘波, 柴　艷

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

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具有Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì)*

方鐘波, 柴艷

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100)

本文中研究一類具有非齊次Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程解的爆破現(xiàn)象。對(duì)邊界流為線性源及線性吸收情形，利用微分不等式技巧得到解發(fā)生爆破時(shí)爆破時(shí)間下界估計(jì)值。

多孔體介質(zhì)方程；非局部源；Neumann邊界條件；爆破時(shí)間下界

引用格式：方鐘波, 柴艷. 具有Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程解的爆破時(shí)間下界估計(jì)[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(9): 129-132.

FANGZhong-Bo，CHAIYan.Lowerboundsestimatesoftheblow-uptimeforanonlinearnonlocalporousmediumequationwithNeumannboundarycondition[J].PeriodicalofOceanUniversityofChina, 2016, 46(9): 129-132.

考慮一類具有非局部源與非齊次Neumann邊界條件的多孔體介質(zhì)方程初邊值問題

ut=Δum+up∫Ωuqdx,(x,t)∈Ω×(0,T),

(1)

(2)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω,

(3)

其中:Ω?R3是具有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域;p≥0;q>0;p+q>m>1;k是常數(shù);ν是?Ω上的單位外法線向量;T是可能發(fā)生爆破的時(shí)間。

方程(1)描述流體力學(xué)、人口動(dòng)力學(xué)及生物群體力學(xué)等諸多領(lǐng)域中擴(kuò)散現(xiàn)象[1-2]。從流體力學(xué)角度來(lái)說(shuō)，描述牛頓流在多孔體介質(zhì)中的流動(dòng)，其中up∫Ωuqdx叫“非局部熱源”項(xiàng)，非線性邊界流(2)中系數(shù)k為正或負(fù)時(shí)分別稱為“線性源”或“線性吸收”邊界流。

對(duì)拋物型方程(組)解的爆破現(xiàn)象的研究已有許多文獻(xiàn)和專著，見文獻(xiàn)[3-4]及相關(guān)文獻(xiàn)。但是，這些文獻(xiàn)討論的問題是關(guān)于解的整體存在性與非存在性及漸近性質(zhì)相關(guān)的問題。最近，此類問題中爆破解的爆破時(shí)間上下界估計(jì)值的計(jì)算方面也引起了許多學(xué)者和專家的廣泛關(guān)注。其實(shí)，爆破時(shí)間上界估計(jì)方面已有較好的成果，比如Levine[5]介紹的凸性方法，Gao等[6]介紹的輔助函數(shù)法、極值原理和上下解方法相結(jié)合的方法等。相對(duì)而言，爆破時(shí)間下界估計(jì)更難。Song[7]研究了研究了具有非局部源項(xiàng)和吸收項(xiàng)的半線性擴(kuò)散方程

ut=Δu+∫Ωupdx-kuq, (x,t)∈Ω×(0,T),

其中p>q>1。他們利用微分不等式的技巧，在齊次Dirichlet邊界條件或齊次Neumann邊界條件下得到了爆破時(shí)間的下界。之后，Liu等[8]和Fang等[9]采用類似的方法，考慮了具有非局部源項(xiàng)和吸收項(xiàng)的擬線性拋物型方程，并得到了爆破時(shí)間下界估計(jì)值。

由上所知，具有非齊次Neumann邊界條件的非局部多孔體介質(zhì)方程初邊值問題(1)～(3)中爆破解的爆破時(shí)間下界估計(jì)的研究還未得到展開。此類問題的難度在于文獻(xiàn)[7-9]中采用的微分不等式技巧不再適用于問題(1)～(3)等。本文，對(duì)邊界流為線性源及線性吸收情形，利用改進(jìn)的微分不等式技巧得到爆破時(shí)間下界估計(jì)值。實(shí)際上，當(dāng)p+q>m>1且初始值充分大時(shí)，類似于文獻(xiàn)[10]方法易得問題(1)～(3)解在有限時(shí)刻T爆破。

注意到，由Sobolev型不等式的最優(yōu)化常數(shù)，導(dǎo)致所得的結(jié)果僅局限在三維空間，見文獻(xiàn)[13]。同時(shí)，此類問題的研究對(duì)于發(fā)展方程解的生命跨度的確定有著非常重要的意義。

1　當(dāng)k>0時(shí)爆破時(shí)間T的下界

定義輔助函數(shù)

η(t)=∫Ωuα(p+q-1)dx,

(4)

η′(t)=α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1utdx=

α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1[Δum+up∫Ωuqdx]dx=

kα(p+q-1)∫?Ωuα(p+q-1)dS-

mα(p+q-1)[α(p+q-1)-1]∫Ωuα(p+q-1)+m-3

(5)

由積分等式

div(uα(p+q-1)x)=3uα(p+q-1)+α(p+q-1)uα(p+q-1)-1(x·▽u)

可得

(6)

再由Schwarz不等式得

(7)

把(6)，(7)帶入(5)得

{mα(p+q-1)[α(p+q-1)-1]-

α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx。

(8)

利用H?lder不等式可知

(9)

∫Ωuα(p+q-1)+p-1dx ≤

(10)

(11)

又

(12)

把(9)-(12)帶入(8)有

(13)

其中

(14)

(15)

類似于[12]中(2.28)式的推導(dǎo)得

(16)

用H?lder不等式得

(17)

把(17)帶入(16)且應(yīng)用下列不等式

得

(18)

由(15)及(18)可知

∫Ωvα+1dx≤

(19)

∫Ωvα+1dx≤

(20)

其中κ1，κ2>0待定。由(20)可以得出

(21)

其中

(22)

記

則(22)式可簡(jiǎn)寫成

(23)

在(0,t)積分(23)得

其中

2　當(dāng)k≤0時(shí)爆破時(shí)間T的下界

對(duì)η(t)求導(dǎo)，并由(2)及k≤0，可得

η′(t)=α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1utdx=

α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)-1[Δum+up∫Ωuqdx]dx=

kα(p+q-1)∫?Ωuα(p+q-1)dS-

mα(p+q-1)[α(p+q-1)-

α(p+q-1)∫Ωuα(p+q-1)+p-1dx∫Ωuqdx≤

-mα(p+q-1)[α(p+q-1)-

(24)

類似于定理1的證明過程，可得

因此，可以建立下面的定理。

[1]Bebernes J ，Eberly D. Mathematical Problems from Combustion Theory [M]. New York：Springer-Verlag, 1989.

[2]Wu Z, Zhao J, Yin J，et al. Nonlinear Diffusion Equations [M].Singapore: World Scientific, 2001.

[3]Levine H A. The role of critical exponents in blow-up theorems [J]. SIAM Rev, 1990, 32: 262-288.

[4]Samarskii A A, Kurdyumov S P, Galaktionov V A , et al. Blow-up in Problems for Quasilinear Parabolic Equations [M]. Moscow: Nauka, 1987, Berlin: Walter de Gruyter, 1995.

[5]Levine H A. Nonexistence of global weak solutions to some properly and improperly posed problems of mathematical physics: The method of unbounded fourier coefficients [J]. Math Ann, 1975, 214: 205-220.

[6]Gao X, Ding J, Guo B Z. Blow up and global solutions for quasilinear parabolic equations with Neumann boundary conditions [J]. Applicable Analysis, 2009, 88: 183-191.

[7]Song J C. Lower bounds for the blow-up time in a non-local reaction-diffusion problem [J]. Applied Mathematics Letter, 2011,24: 793-796.

[8]Liu D, Mu C, Xin Q. Lower bounds estimate for the blow-up time of a nonlinear porous medium equation [J]. Acta Mathematica Scientia, 2012, 32B(3): 1206-1212.

[9]Fang Z B, Yang R, Chai Y. Lower bounds estimate for the blow-up time of a slow diffusion equation with nonlocal source and inner absorption [J]. Mathematical Problems in Engineering, 2014 ,42: ID764248: 6.

[10]Li F, Xie C. Global existence and blow-up for a nonlinear porous medium equation [J]. Appl Math Lett, 2003, 16: 185-192.

[11]Talenti G. Best constant in Sobolev inequality [J]. Ann Mat Pura Appl, 1976, 110(1): 353-372.

[12]Li Y, Liu Y , Lin C. Blow-up phenomena for some nonlinear parabolic problems under mixed boundary conditions [J]. Nonliner Anal Real World Appl, 2010, 11: 3815-3823.

AMSSubjectClassifications：35R45; 35K65

責(zé)任編輯陳呈超

Lower Bounds Estimates of the Blow-up Time for a Nonlinear NonlocalPorousMediumEquationwithNeumannBoundaryCondition

FANGZhong-Bo，CHAIYan

(SchoolofMathematicalSciences,OceanUniversityofChina,Qingdao266100,China)

Inthispaper,theblow-upphenomenaofanonlinearnonlocalporousmediumequationwithnonhomogeneousNeumannboundaryconditionareinvestigated.Byusingadifferentialinequalitytechnique,lowerboundsestimatesoftheblow-uptimeareobtainedwhenboundaryfluxislinearsourceorlinearabsorption.

porousmediumequation;nonlocalsource;Neumannboundarycondition;thelowerboundofblow-uptime

山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2012AM018)；中央高?；究蒲谢痦?xiàng)目(201362032)資助

2014-03-20；

2014-10-12

方鐘波(1968-)，男，教授。E-mail:fangzb7777@hotmail.com

O175

A

1672-5174(2016)09-129-04

10.16441/j.cnki.hdxb.20140082

SupportedbytheNaturalScienceFoundationofShandongProvinceofChina(ZR2012AM018)andtheFundamentalResearchFundsfortheCentralUniversity(201362032)