李東武　徐超

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院, 西安　710072)

?

基于時(shí)頻域交替法的遲滯非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析?

李東武徐超?

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院, 西安710072)

連接界面的黏滑、摩擦行為不僅是引起結(jié)構(gòu)剛度和阻尼非線(xiàn)性的主要原因,而且是結(jié)構(gòu)無(wú)源阻尼的主要來(lái)源.Iwan模型能夠較好地復(fù)現(xiàn)連接界面的黏滑、摩擦行為.本文采用時(shí)頻域交替法(AlternatingFrequency/TimeDomainMethod,AFT)研究含Iwan非線(xiàn)性模型的單自由度振子系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).時(shí)頻域交替法具有頻域法求解線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng)的高效性和時(shí)域法判斷非線(xiàn)性力的便捷性特點(diǎn),采用離散傅里葉變換和傅里葉逆變換,在頻域和時(shí)域內(nèi)分別求解系統(tǒng)響應(yīng)和對(duì)應(yīng)的非線(xiàn)性恢復(fù)力,再反復(fù)迭代計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).將時(shí)頻域交替法計(jì)算結(jié)果和中心差分法計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,并研究激勵(lì)幅值對(duì)系統(tǒng)非線(xiàn)性特征的影響.結(jié)果表明,時(shí)頻域交替法計(jì)算的結(jié)果與中心差分計(jì)算的結(jié)果具有較好的一致性,且求解效率較高,計(jì)算耗時(shí)減少50%;隨著激勵(lì)幅值的增加,系統(tǒng)的能量耗散增加,剛度降低,固有頻率降低.

連接,遲滯非線(xiàn)性,Iwan模型,時(shí)頻域交替法,穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

引言

航空、航天和機(jī)械等工程裝備系統(tǒng)中的部件大多是通過(guò)螺栓、鉚釘?shù)冗B接裝置裝配而成.當(dāng)連接結(jié)構(gòu)受到外部周期載荷激勵(lì)時(shí),連接結(jié)合面間會(huì)發(fā)生摩擦、滑移和間隙等非線(xiàn)性行為,這些非線(xiàn)性行為不僅是引起結(jié)構(gòu)振動(dòng)能量耗散和阻尼衰減的主要原因,而且還造成了連接結(jié)構(gòu)剛度和阻尼的非線(xiàn)性.連接面間的摩擦行為是一個(gè)非常復(fù)雜的物理現(xiàn)象,它是系統(tǒng)無(wú)源阻尼的主要來(lái)源[1].已有研究表明,在切向載荷作用下,連接界面的運(yùn)動(dòng)將經(jīng)歷從局部微觀滑移到宏觀相對(duì)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,切向恢復(fù)力與相對(duì)位移之間為非線(xiàn)性遲滯關(guān)系[2-3].為了描述界面的這種多尺度粘滑摩擦過(guò)程,國(guó)內(nèi)外學(xué)者已提出一些唯象的遲滯非線(xiàn)性模型,例如,美國(guó)sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室提出的四參數(shù)Iwan模型,德國(guó)斯圖加特大學(xué)提出的Valanis模型以及微分形式的Bouc-Wen模型等[4-5].其中,Iwan模型形式簡(jiǎn)單,模型參數(shù)具有一定的物理意義,被認(rèn)為是目前研究連接界面遲滯非線(xiàn)性粘滑摩擦行為的一種較好的模型.

Iwan遲滯非線(xiàn)性模型是一種不光滑模型,因此系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)求解較為復(fù)雜.目前常用的求解非線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的方法有兩種：第一種是時(shí)域法,比如中心差分法、Runge-Kutta法等直接積分方法.直接積分法用有限元法離散空間變量,用有限差分法離散時(shí)間變量,它適合于任何情況.這類(lèi)方法的優(yōu)點(diǎn)是只要時(shí)間步長(zhǎng)選擇合適,計(jì)算結(jié)果會(huì)有很高的精度,而且可以運(yùn)用于任意復(fù)雜的非線(xiàn)性系統(tǒng);缺點(diǎn)是在速度轉(zhuǎn)換點(diǎn)附近需要采用較小的步長(zhǎng)以保證計(jì)算結(jié)果的精度,導(dǎo)致計(jì)算過(guò)程所需的時(shí)間較長(zhǎng).第二種是頻域法,比如諧波平衡法[6].該方法先假設(shè)出系統(tǒng)響應(yīng)的諧波解,再代入振動(dòng)系統(tǒng)方程進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)求解未知參數(shù)來(lái)得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).這類(lèi)方法的特點(diǎn)是：低階諧波下計(jì)算效率較高但精度較差,隨著諧波階次的增加,計(jì)算精度變高但計(jì)算量迅速增大,計(jì)算效率降低.

時(shí)頻交替法(AlternatingFrequency/TimeDomainMethod)是一種求解復(fù)雜非線(xiàn)性系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的新方法,其求解過(guò)程融合了頻域中求解系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的高效性(使微分方程運(yùn)算變?yōu)閿?shù)值微分方程)和時(shí)域內(nèi)判斷非線(xiàn)性力的便捷性,并通過(guò)快速離散傅里葉正逆變換,將時(shí)域函數(shù)和頻域函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,經(jīng)過(guò)反復(fù)的迭代最終得到振動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).本文采用時(shí)頻域交替法來(lái)求解含Iwan非線(xiàn)性模型單自由度系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),首先給出了Iwan串-并聯(lián)模型的非線(xiàn)性力表達(dá)式,推導(dǎo)了時(shí)頻域交替法求解的具體公式和步驟,并對(duì)時(shí)頻域交替法求解計(jì)算的收斂性和效率進(jìn)行了分析研究.

1　Iwan遲滯非線(xiàn)性模型

圖1所示為Iwan串-并聯(lián)模型,它是由N個(gè)Jenkins單元并聯(lián)而成,Jenkins單元?jiǎng)t是由剛度為kn/N的線(xiàn)性彈簧和屈服力為fi?/N的阻尼滑塊串聯(lián)而成.在振動(dòng)過(guò)程中,如果只有部分Jenkins單元發(fā)生滑移,則稱(chēng)模型發(fā)生了微滑移,微滑移現(xiàn)象普遍存在,它是結(jié)構(gòu)無(wú)源阻尼的重要來(lái)源;如果所有Jenkins單元都發(fā)生滑移,則稱(chēng)模型發(fā)生了宏滑移.此時(shí)模型恢復(fù)力f 達(dá)到最大值fy(稱(chēng)為臨界宏觀滑移力).圖2為Iwan模型微觀滑動(dòng)時(shí)的力-位移關(guān)系曲線(xiàn)(遲滯回線(xiàn)),包括初始加載段oa(又稱(chēng)骨干曲線(xiàn))、卸載段abc和加載段cda.

圖1 Iwan模型Fig.1 Iwanmodel圖2 遲滯曲線(xiàn)Fig.2 Hysteresisloop

本文選用連續(xù)Iwan模型作為研究對(duì)象,“連續(xù)”是指模型中Jenkins單元的數(shù)目N趨于無(wú)窮,采用概率密度函數(shù)φ(f?)來(lái)定義阻尼滑塊的屈服力fi?.在螺栓連接模型中,結(jié)合面接觸壓強(qiáng)從螺栓連接處沿連接面展向呈線(xiàn)性單調(diào)遞減,而且模型屈服力和接觸壓強(qiáng)具有相同的分布形式[7-8],因此,屈服力fi?(i=1,2,…)在[0,fN]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布.假設(shè)Iwan模型發(fā)生宏觀滑移,則：

(1)

解得

fN=2fy

(2)

因此,根據(jù)均勻分布的定義可以得到屈服力的概率密度函數(shù)φ(f?)為

(3)

當(dāng)Iwan模型受到外激勵(lì)作用時(shí),其恢復(fù)力為

(4)

將式(3)代入式(4)得到恢復(fù)力函數(shù)：

(5)

(6)

(7)

上式中左右箭頭分別表示卸載和加載,A表示模型滑動(dòng)的最大位移量.

從模型的力-位移關(guān)系曲線(xiàn)圖2可以看出,Iwan模型的能量耗散為曲線(xiàn)所包絡(luò)的面積, 下面根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),來(lái)推導(dǎo)單位周期內(nèi)Iwan模型的能量耗散為：

(8)

將式(6)、(7)代入式(8)得微觀黏滑下的能量耗散為：

(9)

同理可得宏觀滑移下的能量耗散為：

(10)

2　時(shí)頻域交替法

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)中,頻域結(jié)果比時(shí)域結(jié)果包含更多的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息,在頻域中求解線(xiàn)性系統(tǒng)可以有效避免卷積計(jì)算[10-11],因此頻率法經(jīng)常被用來(lái)求解動(dòng)力學(xué)方程.通常情況下,非線(xiàn)性力是系統(tǒng)狀態(tài)軌跡函數(shù),它不是時(shí)間的顯式函數(shù),這就使得非線(xiàn)性力很難在頻域內(nèi)分析,但是它卻容易在時(shí)域內(nèi)計(jì)算獲得.時(shí)頻域交替法融合了時(shí)域法和頻域法的優(yōu)點(diǎn),利用了頻域法求解線(xiàn)性系統(tǒng)響應(yīng)的高效性和時(shí)域法計(jì)算非線(xiàn)性力的便捷性,通過(guò)快速傅里葉變換(FFT)將非線(xiàn)性力的時(shí)域函數(shù)轉(zhuǎn)換至頻域,求解得到系統(tǒng)的頻域穩(wěn)態(tài)響應(yīng),再將頻域響應(yīng)通過(guò)傅里葉逆變換轉(zhuǎn)換至?xí)r域,進(jìn)而得到系統(tǒng)的非線(xiàn)性力時(shí)域函數(shù),通過(guò)反復(fù)迭代最終得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.在該方法計(jì)算時(shí),需要將變量反復(fù)在時(shí)域和頻域間相互轉(zhuǎn)換.

圖3所示為單自由度振子系統(tǒng),其中m、k、c分別為系統(tǒng)振子質(zhì)量、剛度、阻尼,f(t)為外激勵(lì),x(t)為振子的位移響應(yīng),Iwan代指圖1所示的Iwan非線(xiàn)性模型.

圖3　含Iwan非線(xiàn)性模型的單自由度振子系統(tǒng)Fig. 3　Single DOF oscillator system with Iwan nonlinear model

圖3所示單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程為：

(11)

(12)

將其代入到式(11)得到頻域內(nèi)的振動(dòng)方程：

(-mω2+jωc+k)·x(ω)=

f(ω)-fn(ω,x(ω))

(13)

其中ω是指由快速傅里葉變換引入的離散頻率：

ω={ωk}

(14)

(15)

其中ΔT為采樣周期,N為快速傅里葉變換中時(shí)域函數(shù)的樣本數(shù)目,由于快速傅里葉變換后的頻域值關(guān)于ωN/2對(duì)稱(chēng),因此k的取值長(zhǎng)度為N/2+1.

(-mω2+jωc+k)·xi(ω)=

f(ω)-fn(ω,xi-1(ω))

(16)

在這個(gè)過(guò)程中,初始位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的獲取方法是：忽略非線(xiàn)性力的影響,將系統(tǒng)看作簡(jiǎn)單的線(xiàn)性系統(tǒng),通過(guò)時(shí)頻域交替法求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng).即

(-mω2+jωc+k)·x(ω)=f(ω)

(17)

算法計(jì)算過(guò)程如圖4所示。

圖4　時(shí)頻域交替法計(jì)算的流程圖Fig.4　Flow diagram of the calculation through AFT method

算法計(jì)算過(guò)程中的關(guān)鍵控制參數(shù)有采樣頻率、決定迭代收斂與否的控制參數(shù),考慮到算法計(jì)算精度和計(jì)算效率的要求,本文選擇采樣頻率為128Hz,也可選為256Hz;迭代收斂的控制參數(shù)由第4節(jié)詳細(xì)介紹.

3　數(shù)值算例

考慮兩種激勵(lì)幅值下的系統(tǒng)響應(yīng),第一種情況：f(t)=1.5sin(3t),時(shí)頻域交替法求解的結(jié)果如圖5、圖6所示 ：

圖5　模型微滑時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig. 5　Steady-state response in microslip

圖6　模型微滑時(shí)的遲滯曲線(xiàn)Fig. 6　Hysteresis loop in microslip

從圖6可以看出,在此種情形下,由于激勵(lì)幅值較小,使得非線(xiàn)性力的最大值沒(méi)有達(dá)到宏觀滑移力,Iwan非線(xiàn)性模型發(fā)生微滑移現(xiàn)象.表1列出了激勵(lì)幅值為1.5N時(shí)時(shí)頻域交替法和中心差分法所得結(jié)果的比較.

表1　模型微滑時(shí)不同方法所得結(jié)果的比較

第二種情況：f(t)=5sin(3t),結(jié)果下圖所示.

圖7　模型宏滑時(shí)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)Fig.7　Steady-state response in macroslip

圖8　模型宏滑時(shí)的遲滯曲線(xiàn)Fig. 8　Hysteresis loop in macroslip

當(dāng)激勵(lì)幅值增大后,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相應(yīng)增大,從而使Iwan模型中更多的Jenkins單元發(fā)生滑移;從圖8可以看出,此種情形下,非線(xiàn)性力的最大值達(dá)到宏觀滑移力,Iwan模型發(fā)生宏觀滑移.表2相較于表1結(jié)果誤差較為明顯,但此時(shí)計(jì)算精度仍很高.誤差原因可能是非線(xiàn)性力的增大使得其對(duì)結(jié)果的影響程度變大.

表2　模型宏滑時(shí)不同方法所得結(jié)果的比較

運(yùn)用中心差分法對(duì)時(shí)頻域交替法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,從上面兩組計(jì)算結(jié)果可以看出,時(shí)頻域交替法求得的單自由度振子系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)能與中心差分法的結(jié)果很好地吻合,說(shuō)明了時(shí)頻域交替算法適合求解此類(lèi)非線(xiàn)性問(wèn)題,而且計(jì)算的精度比較高.

下面通過(guò)求解系統(tǒng)的頻響曲線(xiàn)和能量耗散,進(jìn)一步研究Iwan非線(xiàn)性模型的特性.

從圖9中可以看出,隨著激勵(lì)幅值的增大,頻響曲線(xiàn)的峰值逐漸向左移動(dòng),而且頻響曲線(xiàn)出現(xiàn)明顯的軟化現(xiàn)象,說(shuō)明系統(tǒng)的固有頻率降低了.導(dǎo)致這種現(xiàn)象的本因是Iwan模型的非線(xiàn)性特性,具體表現(xiàn)為激勵(lì)幅值的增加使得Iwan模型中發(fā)生滑動(dòng)的Jenkins單元數(shù)增加,從而導(dǎo)致振子系統(tǒng)的剛度降低,固有頻率降低.在某些參數(shù)下,該模型的頻響曲線(xiàn)也會(huì)發(fā)生非線(xiàn)性跳躍和多值現(xiàn)象.

圖9　不同激勵(lì)幅值下的頻響曲線(xiàn)Fig.9　Frequency response diagrams with different excitation amplitudes

隨著激勵(lì)幅值的增大到一定程度,頻響曲線(xiàn)中的部分頻段內(nèi)的響應(yīng)就逐漸表現(xiàn)出線(xiàn)性系統(tǒng)的性質(zhì),即這一段內(nèi)的不同激勵(lì)下的頻響曲線(xiàn)重合了.

從圖10中可以看出,Iwan非線(xiàn)性模型的能量耗散隨著系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的逐漸增大而增大.微觀黏滑狀態(tài)下,非線(xiàn)性模型的能量耗散較小,且變化不大;宏觀滑移狀態(tài)下,非線(xiàn)性模型的能量耗散急劇增加.如果在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系下繪制能量耗散,則曲線(xiàn)的斜率為3,這與一些連接結(jié)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是一致的.

圖10　模型能量耗散隨響應(yīng)幅值的變化曲線(xiàn)Fig.10　Energy dissipation-amplitude relationships

4　時(shí)頻域交替法的收斂性、計(jì)算效率分析

在時(shí)頻域交替法計(jì)算過(guò)程中,如何控制程序的收斂是保證算法計(jì)算效率的關(guān)鍵.本文選擇的收斂性判別要求有兩個(gè),一是計(jì)算精度,包括兩種算法穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的相位差和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅值比較;另一個(gè)是計(jì)算效率,指計(jì)算所需時(shí)間的比較.

選用的收斂準(zhǔn)則為：取前后兩次迭代所得的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的一半長(zhǎng)度(為了保證響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng))進(jìn)行相對(duì)偏差的分析,記前一次迭代得到的位移響應(yīng)為數(shù)組A,后一次迭代得到的位移響應(yīng)為數(shù)組B.利用相對(duì)偏差的大小來(lái)判斷收斂性.相對(duì)偏差的定義為

(8)

選用激勵(lì)f(t)=20sin(0.25t)來(lái)進(jìn)行計(jì)算,取時(shí)間長(zhǎng)度6000s,對(duì)不同的相對(duì)偏差值所對(duì)應(yīng)的結(jié)果進(jìn)行比較.

表3　不同er的相對(duì)誤差比較

根據(jù)表3中數(shù)據(jù)的對(duì)比可以看出,相對(duì)偏差越小,時(shí)頻域交替法的計(jì)算精度越高、但是計(jì)算耗費(fèi)越大;本文選擇相對(duì)偏差er=0.1作為算法迭代收斂的準(zhǔn)則,這樣既可以滿(mǎn)足很高的計(jì)算精度,也能相對(duì)中心差分法而言提高計(jì)算效率.當(dāng)然,如果需要保證更高的精度,可以選擇更小的收斂準(zhǔn)則,但是計(jì)算耗費(fèi)則會(huì)很大.

此外,響應(yīng)幅值和相位存在的微小誤差可以通過(guò)調(diào)節(jié)采樣頻率進(jìn)行降低.

5　結(jié)論

1)本文推導(dǎo)了時(shí)頻域交替法求解含Iwan非線(xiàn)性模型單自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的具體公式和步驟.通過(guò)文中算例的驗(yàn)證及時(shí)頻域交替法收斂性和計(jì)算精度的分析,顯示出時(shí)頻域交替法計(jì)算的結(jié)果與中心差分法的結(jié)果具有很好的一致性,說(shuō)明了時(shí)頻域交替法在求解非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題上具有明顯的優(yōu)勢(shì),不僅能滿(mǎn)足較高的計(jì)算精度要求,而且求解效率較高,計(jì)算耗時(shí)減少約50%.

2)采用時(shí)頻域交替法求解計(jì)算,得到了單自由度振子系統(tǒng)受迫振動(dòng)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn),圖中表現(xiàn)出明顯的軟化特征,隨著激勵(lì)幅值的增加,系統(tǒng)的能量耗散增加,發(fā)生滑動(dòng)的Jenkins單元數(shù)隨之增加,系統(tǒng)剛度降低,固有頻率降低.

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*TheprojectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(11372246).

?CorrespondingauthorE-mail:chao_xu@nwpu.edu.cn

02June2014,revised29June2014.

ALTERNATINGTIME/FREQUENCYDOMAINMETHODFORCALCULATINGTHESTEADY-STATERESPONSEOFHYSTERESISNONLINEARVIBRATIONSYSTEMS?

LiDongwuXuChao?

(School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, ShanXi, Xian710072, China)

Stick-slipandfrictionofthejointinterfacepayasignificantrolenotonlyonstructurenonlinearstiffnessanddampingbutalsoonstructurepassivedamping.Iwanmodelprovidesapreferablerecurrenceofthestick-slipandfrictioncharacteristicsofthejointinterface.Thealternatingfrequency/timedomainmethod(AFT)isusedtostudythesteady-stateresponseofsingledegreeoffreedomoscillatorsystemcontainingIwannonlinearmodelinthispaper.Thismethodtakesbothadvantagesoftheeffectivenessofcalculatingresponseforlinearsystembyfrequencydomainmethodandtheeaseofevaluatingnonlinearforcebytimedomainmethod.ThediscreteFouriertransformalternatingfromthetimedomaintothefrequencydomainisappliedthroughiteratingtoobtainthesteady-stateresponseofthesystem.TheresultofAFTiscomparedwiththatfromthecentraldifferencemethod,andtheinfluenceofexcitationamplitudeonnonlinearcharacteristicisalsoexaminedinthispaper.Theresultsshowthatthesteady-stateresponsebyAFTmethodagreeswellwiththatofthecentraldifferencemethod.Moreover,theAFTmethodperformsbettercomputationalefficiency,asthetime-consumingisreducedby50percent.Inawhole,itisfoundthattheapplicationofhigherexcitationamplituderesultsintheincreaseofthesystemenergydissipationandthereducesstiffnessandnaturalfrequency.

joint,hysteresisnonlinear,Iwanmodel,alternatingfrequency/timedomainmethod,steady-stateresponse

E-mail:chao_xu@nwpu.edu.cn

10.6052/1672-6553-2015-043

2015-06-02收到第1稿,2015-06-29收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11372246)