張喜賢1，楊吉會(huì)

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有關(guān)Lagrange中值定理的幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例

張喜賢1，楊吉會(huì)2

（1. 大連鑒開(kāi)中學(xué)，遼寧 大連 116031；2. 沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng) 110866）

Lagrange中值定理是微積分學(xué)中最重要的定理之一，具有非常廣泛的應(yīng)用，其應(yīng)用結(jié)果非常深刻，通過(guò)幾個(gè)具體的應(yīng)用實(shí)例來(lái)說(shuō)明這個(gè)定理的重要價(jià)值．

極限；導(dǎo)數(shù)；Lagrange中值定理；不等式

1797年，Lagrange出版了其關(guān)于函數(shù)論的歷史性著作《解析函數(shù)論》，在這部著作中，首次給出了Lagrange中值定理，并用該定理推導(dǎo)出了帶有Lagrange型余項(xiàng)的Taylor展式[1]．然而，由于當(dāng)時(shí)微積分基礎(chǔ)的局限性，特別是函數(shù)極限定義的含糊不清，《解析函數(shù)論》中并沒(méi)有給出Lagrange中值定理的嚴(yán)格證明方法，Lagrange中值定理的更嚴(yán)格證明后來(lái)被Kauchy和Bonnet分別完成[2]．

Lagrange中值定理[3]設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則存在

Lagrange中值定理具有很明顯的幾何直觀解釋：若閉區(qū)間上的連續(xù)曲線弧上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于軸的切線，則這段弧上至少有一點(diǎn)，使曲線在該點(diǎn)處的切線平行于過(guò)兩端點(diǎn)的連線（弦）．基于這個(gè)直觀的解釋，通過(guò)構(gòu)造輔助函數(shù)，利用1637年Fermat的《求最大值和最小值的方法》中求函數(shù)極值的方法可以證明Lagrange中值定理[4]，這種證明方法是眾多證法中相對(duì)簡(jiǎn)單的一個(gè)．

Lagrange中值定理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛，涉及函數(shù)極限的計(jì)算、函數(shù)性態(tài)的描述、判斷函數(shù)方程根的存在性、不等式的證明、證明微積分中其它重要定理、判別級(jí)數(shù)斂散性等諸多方面．

1函數(shù)極限的計(jì)算

函數(shù)的極限概念是微積分中的核心概念，求函數(shù)極限是微積分中的一個(gè)基本問(wèn)題，通過(guò)應(yīng)用Lagrange中值定理，能夠解決一些復(fù)雜的極限計(jì)算問(wèn)題．

2函數(shù)性態(tài)的描述

函數(shù)的性態(tài)涉及函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、凸凹性、可微性、可積性以及函數(shù)的極值和拐點(diǎn)等諸多方面，利用Lagrange中值定理有時(shí)能夠很方便地對(duì)這些性態(tài)進(jìn)行研究．

3判斷函數(shù)方程根的存在性

函數(shù)方程根的存在性問(wèn)題一直是函數(shù)方程討論的重要內(nèi)容，這往往是構(gòu)造各種有效數(shù)值計(jì)算方法的前期基礎(chǔ)．利用Lagrange中值定理有時(shí)能夠很方便地解決函數(shù)方程根的存在性問(wèn)題．

4不等式的證明

不等式的證明方法多種多樣，利用Lagrange中值定理有時(shí)能夠證明某些應(yīng)用廣泛的不等式．

由Jensen不等式，也容易得到Holder不等式與Minkowski不等式等其它重要不等式[5]．

5 證明微積分中其它重要定理

利用Lagrange中值定理能夠得到微積分中其它重要的法則和定理，如在求極限中廣泛應(yīng)用的L′Hospital法則，聯(lián)系微分與積分的微積分基本定理等．

6 判別級(jí)數(shù)的斂散性

無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性是函數(shù)論中的重要問(wèn)題，在函數(shù)表示、函數(shù)逼近以及函數(shù)值的近似計(jì)算中有諸多應(yīng)用，利用Lagrange中值定理有時(shí)能夠研究無(wú)窮級(jí)數(shù)斂散性的問(wèn)題．

Lagrange中值定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用過(guò)程，是伴隨著微積分的成長(zhǎng)史不斷深化的過(guò)程，深刻地理解和掌握該定理的發(fā)展與應(yīng)用脈絡(luò)，對(duì)從全局上把握微積分具有重要意義[6-7]．至今，圍繞著Lagrange中值定理的研究仍在進(jìn)行，如Lagrange中值定理中的“中值點(diǎn)”漸進(jìn)性問(wèn)題等[8]，它的更多新應(yīng)用還有待被發(fā)現(xiàn)和總結(jié)．

[1] 吳文?。澜缰麛?shù)學(xué)家傳記（上集）[M]．北京：科學(xué)出版社，1995：700-718

[2] 梁宗巨．?dāng)?shù)學(xué)家傳略詞典[M]．濟(jì)南：山東教育出版社，1989：323-325

[3] Richard Courant，F(xiàn)ritz John．Introduction to Calculus and AnalysisⅠ[M]．New York：Springer-Verlag，1989：173-177

[4] 龔升，林立軍．簡(jiǎn)明微積分發(fā)展史[M]．長(zhǎng)沙：湖南教育出版社，2005：32-34

[5] Hardy G，Littlewood J E．Inequalities[M]．2th ed．Cambridge：Cambridge University Press，1988：21-26

[6] Kline M．Mathematical Thought From Ancient to Modern Times[M]．New York：Oxford University Press，1972：400-426

[7] 李文林．?dāng)?shù)學(xué)史教程[M]．北京：高等教育出版社，2000：176-195

[8] 馬醒花．五階拉格朗日中值定理中間點(diǎn)的漸近性質(zhì)[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2012，15（1）：51-52

Several application examples of Lagrange mean value theorem

ZHANG Xi-xian1，YANG Ji-hui2

（1. Dalian Jiankai Middle School，Dalian 116031，China；2. School of Science，Shenyang Agricultural University，Shenyang 110866，China）

The Lagrange mean value theorem is one of the most important theorems in calculus，and it has been applied widely，and the results of its application are very deep．The important value of the theorem was illustrated by several application examples．

limit；derivative；Lagrange mean value theorem；inequality

O172∶G642.0

A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.01.018

2015-09-10

沈陽(yáng)農(nóng)業(yè)大學(xué)博士后基金資助項(xiàng)目（770212025）

張喜賢（1972-），男，遼寧鳳城人，高級(jí)教師．E-mail：fczxx@163.com

楊吉會(huì)（1973-），男，遼寧法庫(kù)人，講師，博士，從事模糊規(guī)劃與決策研究．E-mail：yangjihui@163.com