馬建清

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研究性教學在復變函數(shù)課程教學中的應用

馬建清[1]

（武漢科技大學 理學院，湖北 武漢 430065）

研究性教學是我國高等教育教學改革的熱點之一，利用研究性教學討論了復變函數(shù)中的利用柯西積分公式，高階導數(shù)公式與留數(shù)定理求積分的區(qū)別和聯(lián)系，并且分析出這些方法之間的優(yōu)缺點，使學生對求積分有一個清楚的認識．

研究性教學；柯西積分公式；高階導數(shù)公式；留數(shù)定理

研究性教學是一種開放式的教學，在研究性教學的過程中，既發(fā)揮了教師的主導作用，又體現(xiàn)了學生的主體作用，并且激發(fā)了學生的學習興趣，增強了學生的創(chuàng)新能力[1-2]．復變函數(shù)作為高等數(shù)學的后續(xù)課程，理論性強，課時不足，學生學起來很困難．如果采用傳統(tǒng)的教學方式，教師講授，學生被動接受，學生感覺枯燥、難懂[3]．因此，在復變函數(shù)的教學中，需要教師嘗試采用多種方式教學，充分調(diào)動學生的學習積極性，力求達到良好的教學效果．本文以復變函數(shù)中的復變函數(shù)積分為例開展研究性教學，取得很好的教學效果．

復變函數(shù)積分是復變函數(shù)中的一個重要概念．教材[4-5]中的第三章對于各種類型的積分分別介紹了相應的計算方法，尤其對于函數(shù)沿著閉曲線的積分．當曲線內(nèi)有一個奇點時，可以分別用柯西積分公式和高階導數(shù)公式計算函數(shù)沿著閉曲線的積分；當曲線內(nèi)不止一個奇點時，可以先利用復合閉路定理，轉(zhuǎn)化為曲線內(nèi)有一個奇點的形式，然后再來求函數(shù)沿著閉曲線的積分．而在第五章介紹了留數(shù)之后，復變函數(shù)沿閉曲線的積分又可以用留數(shù)定理來求．但是柯西積分公式、高階導數(shù)公式與留數(shù)定理到底有什么區(qū)別和聯(lián)系，什么情況下用哪種方法好一些，學生往往很迷茫，有學生就此提出了問題．本文采用研究性教學，找出柯西積分公式、高階導數(shù)公式與留數(shù)定理之間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，并且分析出這些方法的優(yōu)缺點．

讓學生比較這２種方法，通過比較有學生給出了結(jié)論：留數(shù)定理事實上是把柯西積分公式中與相乘的因子用一個留數(shù)表示出來，其本質(zhì)是一樣的．

學生比較這２種方法，發(fā)現(xiàn)高階導數(shù)公式與留數(shù)定理在計算曲線內(nèi)的奇點是高階極點時本質(zhì)也是一樣的．但是利用留數(shù)定理時求留數(shù)必須要先弄清楚極點的階數(shù)，而高階導數(shù)公式則不需要．

有學生提出問題：既然柯西積分公式、高階導數(shù)公式與留數(shù)定理在上述情況下本質(zhì)是一樣的，有時甚至還更簡單，為什么還要提出留數(shù)定理．于是給出例1．