姜愛(ài)平

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線性代數(shù)中矩陣章節(jié)基本概念及性質(zhì)的教學(xué)方法探討

姜愛(ài)平

（寧夏大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，寧夏 銀川 750021）

線性代數(shù)中矩陣章節(jié)的基本概念及性質(zhì)較多且抽象，而基本概念及性質(zhì)的理解直接影響學(xué)生對(duì)本課程知識(shí)的掌握和學(xué)習(xí)興趣．結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從注重基本概念的應(yīng)用背景、重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用等方面將枯燥抽象的基本概念化為具體生動(dòng)的問(wèn)題，這對(duì)激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性，提高其實(shí)踐創(chuàng)新能力具有一定意義.

線性代數(shù)；矩陣；基本概念

線性代數(shù)是很多高校理工科、經(jīng)管和農(nóng)林等專(zhuān)業(yè)開(kāi)設(shè)的一門(mén)公共基礎(chǔ)課，該課程基本概念較多且抽象，知識(shí)具有較強(qiáng)的連貫性，這對(duì)大多數(shù)非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生而言，普遍感到學(xué)習(xí)較困難，學(xué)習(xí)興趣下降．另外，各高校進(jìn)行的教育教學(xué)改革，使得理論學(xué)時(shí)由64學(xué)時(shí)減少為32學(xué)時(shí)，這使得教學(xué)質(zhì)量難以保障[1-2]．線性代數(shù)這門(mén)課程主要借助行列式和矩陣等工具研究線性空間的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)，因此，矩陣章節(jié)知識(shí)點(diǎn)的掌握好壞，對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解至關(guān)重要．本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，針對(duì)矩陣章節(jié)重要基本概念及性質(zhì)的教學(xué)方法，從注重基本概念的背景知識(shí)，重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用等方面進(jìn)行探討，以期將枯燥抽象的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為生動(dòng)具體的實(shí)際問(wèn)題，既激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)新實(shí)踐能力．

1注重基本概念的應(yīng)用背景

線性代數(shù)課程中矩陣章節(jié)的一些基本概念有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用背景，若在講授這些基本概念之前，能從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，通過(guò)歸納總結(jié)，提煉成數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而解決問(wèn)題，并應(yīng)用到實(shí)際生活當(dāng)中，這將對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高課堂教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新能力等有很大幫助．

例1[3]假定某地區(qū)人口總數(shù)保持不變，每年有5%的農(nóng)村人口流入城鎮(zhèn)，有1%的城鎮(zhèn)人口流入農(nóng)村，求年后該地區(qū)的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口的比例，分析最終是否會(huì)趨于一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)．

例2[4]在通信或信號(hào)處理等相關(guān)領(lǐng)域，若規(guī)定1~26個(gè)數(shù)字與26個(gè)英文字母一一對(duì)應(yīng)，假設(shè)密鑰矩陣，已知接收信號(hào)為，求發(fā)出信號(hào)．

2重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用

任何一個(gè)學(xué)科的誕生和發(fā)展都離不開(kāi)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的出現(xiàn)和解決．因此，教師在授課之前應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多思考，理清為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念，有什么問(wèn)題需要解決，怎么解決等．將知識(shí)轉(zhuǎn)化為思考，讓學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，體會(huì)到思考和學(xué)習(xí)帶來(lái)的快樂(lè)，感受到學(xué)科發(fā)展的曲折，如此，方能達(dá)到教書(shū)育人的目的．如在學(xué)習(xí)行列式的定義之前，通過(guò)觀察二元一次線性方程組其解的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)其結(jié)構(gòu)復(fù)雜且具有一定的規(guī)律和特點(diǎn)，自然就會(huì)想到，若規(guī)定，則該方程組其解的表達(dá)式大為簡(jiǎn)化，即，，其中：為線性方程組系數(shù)所構(gòu)成的二階行列式，為中第列被常數(shù)項(xiàng)代替后形成的行列式．以此類(lèi)推，可以給出三階行列式的定義．針對(duì)四階行列式的展開(kāi)式項(xiàng)數(shù)的猜想，有2種不同的答案，即根據(jù)對(duì)角線法則得出的8項(xiàng)和觀察二階、三階行列式的展開(kāi)式得出的4！項(xiàng)．針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，依然可以通過(guò)解四元一次線性方程組，觀察其解的結(jié)構(gòu)，得出四階行列式的展開(kāi)式應(yīng)該是項(xiàng)．當(dāng)然，也可以通過(guò)逆序數(shù)和全排列等知識(shí)，得出同樣的結(jié)論．

對(duì)于矩陣的秩等基本概念的學(xué)習(xí)，課堂上教師可以設(shè)問(wèn)幾個(gè)問(wèn)題，如為什么要學(xué)習(xí)這個(gè)概念，哪些問(wèn)題需要解決等．實(shí)際上，對(duì)于元一次線性方程組，克拉默法則僅適用于方程個(gè)數(shù)等于未知元個(gè)數(shù)，且系數(shù)行列式時(shí)線性方程組解的判定，然而對(duì)于當(dāng)系數(shù)行列式情況和方程個(gè)數(shù)不等于未知元個(gè)數(shù)時(shí)方程組解的判定等問(wèn)題尚不清楚．同時(shí)，若矩陣，則相互等價(jià)，即它們的行階梯形矩陣非零行的行數(shù)是唯一不變的，這個(gè)參數(shù)其實(shí)就反映了矩陣的本質(zhì)屬性，就是后面要學(xué)習(xí)矩陣的秩這個(gè)概念．實(shí)際上，即使學(xué)習(xí)了矩陣的秩，掌握了線性方程組解的判定定理后，當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，各個(gè)解之間的關(guān)系以及解的結(jié)構(gòu)是什么等問(wèn)題仍不清楚，這就是需要學(xué)習(xí)向量組這一章的原因．所以，課堂上，尤其是在學(xué)習(xí)新的概念和定義之前，授課教師應(yīng)該循循善誘，因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生了解到學(xué)科知識(shí)的來(lái)龍去脈，前因后果，這在培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和知識(shí)的系統(tǒng)性等方面可起到事半功倍的效果．

3多角度深化基本概念及性質(zhì)

對(duì)于教材上的定義和性質(zhì)，可從不同角度舉一反三，深化知識(shí)，開(kāi)闊思路，最終學(xué)以致用．如二階行列式可看成是由其列元素為向量坐標(biāo)的２個(gè)向量所張成的平行四邊形的面積，三階行列式可看成由其列元素作為向量坐標(biāo)的３個(gè)向量張成的平行六面體的體積，依次類(lèi)推，階行列式可看成是由個(gè)向量張成的維平行多面體的體積[5]；文獻(xiàn)[6]中有關(guān)于施密特正交化（schimidt）數(shù)學(xué)公式，即

圖1 施密特正交化的幾何解釋

另外，對(duì)矩陣特征值和特征向量的定義也可進(jìn)一步地深入學(xué)習(xí)，由可知，若為實(shí)數(shù)，表明非零向量在變換的作用下伸長(zhǎng)或者壓縮，方向相反或者相同；若為復(fù)數(shù)，即，則表明非零向量在變換的作用下伸長(zhǎng)倍，同時(shí)旋轉(zhuǎn)角度．

除了從幾何角度進(jìn)行研究外，一一對(duì)應(yīng)的思想也可以輔助理解新的性質(zhì)，如矩陣與線性變換一一對(duì)應(yīng)，可通過(guò)分析研究線性變換所具有的性質(zhì)，來(lái)達(dá)到研究對(duì)應(yīng)矩陣的目的．

4重視基本概念中的“同”和“異”

類(lèi)比歸納是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)比較發(fā)現(xiàn)２種不同屬性事物的“同”和“異”，對(duì)于相同之處，進(jìn)行歸納總結(jié)，提煉形成抽象理論，對(duì)于“不同”之處，則分析研究其具體原因．通過(guò)長(zhǎng)期的思維訓(xùn)練，相信這對(duì)深入理解基本概念及其性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性具有很好的幫助作用[7-8]．如行列式的加法運(yùn)算與矩陣的加法運(yùn)算的“同”與“異”，相同之處是均為實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，不同之處在于前者僅對(duì)同一行（列）元素加法運(yùn)算，其他行（列）元素保持不變，而后者是對(duì)同型矩陣所有元素均進(jìn)行加法運(yùn)算；行列式的數(shù)乘運(yùn)算與矩陣的數(shù)乘運(yùn)算的“同”與“異”，相同之處是書(shū)寫(xiě)形式相同，不同之處在于行列式的數(shù)乘僅僅是對(duì)某一行（列）元素乘以該常數(shù)，而矩陣的數(shù)乘表示所有元素均乘以該常數(shù)；實(shí)數(shù)運(yùn)算所滿(mǎn)足的運(yùn)算規(guī)律（如交換律，結(jié)合律和分配律）與矩陣運(yùn)算滿(mǎn)足運(yùn)算律（結(jié)合律和分配律）之間的“同”與“異”；矩陣乘積的轉(zhuǎn)置運(yùn)算與矩陣乘積的逆運(yùn)算

5注重基本概念的歸納和推廣

在學(xué)習(xí)矩陣的線性運(yùn)算、乘法運(yùn)算和轉(zhuǎn)置運(yùn)算后，同濟(jì)大學(xué)編著的《線性代數(shù)》[6]在后續(xù)章節(jié)介紹了伴隨矩陣、方陣的行列式、逆矩陣以及矩陣的初等變換等基本概念，實(shí)際上伴隨矩陣、方陣的行列式、逆矩陣、矩陣的初等變換以及矩陣對(duì)角化等都可以理解為矩陣的運(yùn)算．由其運(yùn)算結(jié)果可知，矩陣運(yùn)算結(jié)果可以是數(shù)（如行矩陣左乘列矩陣、方陣的行列式），也可以是矩陣．矩陣的秩與向量組的秩（或最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)）、解空間的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)以及向量空間的維數(shù)等概念之間的關(guān)系，實(shí)際上屬于層層遞推，是概念的延伸和推廣．除此之外，由線性方程組解的判定定義也可直接推廣得到向量由向量組線性表示的判定定理．所以，教師在講授新概念的同時(shí)，若注重知識(shí)的連貫和銜接以及概念的外延，從某種程度上能有效地提高課堂效果，保障教學(xué)質(zhì)量．

線性代數(shù)課程主要內(nèi)容是借助行列式和矩陣等工具研究線性方程組解空間的結(jié)構(gòu)，探討線性空間及線性變換等基本性質(zhì)．而矩陣章節(jié)所涉及的基本概念和性質(zhì)多且抽象，學(xué)生不易理解．為此，本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)注重基本概念的應(yīng)用背景，重視基本概念在學(xué)科發(fā)展中的作用，多角度深化基本概念及性質(zhì)，重視基本概念中的“同”和“異”，注重基本概念的歸納和推廣等5個(gè)方面重視基本概念及其性質(zhì)的課堂講授和練習(xí)，這對(duì)提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)求知欲，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐創(chuàng)新能力具有一定的實(shí)際意義．

[1] 王建鵬，馬會(huì)禮．工科線性代數(shù)課程教學(xué)改革研究[J]．高師理科學(xué)刊，2015，35（1）：71-73

[2] 孫春濤，蹇紅．關(guān)于線性代數(shù)課程教學(xué)方法的探討[J]．教育教學(xué)論壇，2014（22）：70-71

[3] 李秀蘭，張紅玉．線性代數(shù)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J]．山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，26（4）：3-4

[4] 孫延修．線性代數(shù)教學(xué)方法的思考與探索[J]．高師理科學(xué)刊，2013，33（5）：103-105

[5] 陳佘喜．加強(qiáng)線性代數(shù)教學(xué)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力[J]．當(dāng)代教育理論與實(shí)踐，2013，5（4）：109-111

[6] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．工程數(shù)學(xué)·線性代數(shù)[M]．5版．北京：高等教育出版社，2007

[7] 張莉，周羚君．類(lèi)比方法在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2014，30（6）：67-69

[8] 李俊華，陳艷菊．淺談數(shù)學(xué)思想在線性代數(shù)概念教學(xué)中的應(yīng)用[J]．教育教學(xué)論壇，2015（10）：181-182

Research on the teaching method of the definition and properties about the matrix in linear algebra

JIANG Ai-ping

（School of Mathematics and Computer Science，Ningxia University，Yinchuan 750021，China）

The basic concepts and properties about the matrix in linear algebra are more abstract，which directly affect students to master this course knowledge and interest in learning．Try to change the abstract concept into specific problem in the way of paying attention to the application background of the concept，the role of concept in the subject development，etc．Which is interesting for stimulating students′ thirst for knowledge，training logical thinking and improving the practice innovation ability．

linear algebra；matrix；basic concept

O151.2∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.03.014

2015-11-01

寧夏大學(xué)教育教改項(xiàng)目

姜愛(ài)平（1981-），女，河南漯河人，副教授，碩士，從事灰色系統(tǒng)理論研究．E-mail：jiangaiping2000@126.com