佘梓航

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州　521041）

符號(hào)大O與符號(hào)小o的探究

佘梓航

（韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東潮州521041）

文章旨在介紹符號(hào)大O及符號(hào)小o的定義.通過比較它們的不同，指出學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)大O及小o會(huì)遇到的問題，并結(jié)合具體的例子探討如何解決這些問題.

高階無窮小；同階無窮??；符號(hào)大O；符號(hào)小o

1　引言

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是理科生重要的必修課程之一，而在高等數(shù)學(xué)中，極限理論扮演著舉足輕重的角色，它是微分學(xué)和積分學(xué)的基礎(chǔ).學(xué)生們學(xué)習(xí)極限理論的過程當(dāng)中，他們必然會(huì)接觸到高階無窮小量與同階無窮小量的知識(shí)，也因此會(huì)接觸到符號(hào)大O及符號(hào)小o（下文將簡稱為大O小o）.但由于“無窮小的比較”的現(xiàn)有定義有多種表達(dá)形式［1］，不同的老師對(duì)于“無窮小之比”的理解也不盡相同，這也在無形中導(dǎo)致了學(xué)生們對(duì)該理論的不理解.本文將先從現(xiàn)有定義對(duì)大O及小o進(jìn)行探討，指出現(xiàn)有定義存在的不足.介紹現(xiàn)有較為合理的定義［1］.同時(shí)，指出學(xué)生在學(xué)習(xí)它們時(shí)所遇到的問題，通過適當(dāng)?shù)睦优c說明解決這些問題.

2　大O與小o的定義

大O符號(hào)是由德國數(shù)論學(xué)家Paul Bachmann在1892年著作《解析數(shù)論》中首先引入［2］.之后在德國的另一位數(shù)學(xué)家Edmund Landau的著作中被推廣.由此為啟發(fā)，Edmund Landau在1909年又介紹了小o符號(hào)，因此它們有時(shí)又稱為Landau symbols.從20世紀(jì)50年代開始它們被應(yīng)用于應(yīng)用數(shù)學(xué)中的漸近分析.到如今已經(jīng)被數(shù)學(xué)家廣泛使用，大O符號(hào)一般用來刻畫被截?cái)嗟臒o窮級(jí)數(shù)，它描述的是函數(shù)數(shù)量級(jí)的漸近上界.小o符號(hào)比大O符號(hào)需要的條件更強(qiáng)，它代表的是收斂速度更快的函數(shù)類.下面將開始對(duì)大O及小o進(jìn)行討論.

華東師范大學(xué)《數(shù)學(xué)分析》（第四版，上冊(cè)）［3］中給出如下的定義：

則稱f為當(dāng)x→x0時(shí)的無窮小量.

3　學(xué)習(xí)大O小o會(huì)遇到的問題及解答

3.1現(xiàn)有定義的不嚴(yán)謹(jǐn)

首先，從定義本身的內(nèi)容講起，上述的定義并不是很嚴(yán)謹(jǐn).由定義1可以知道，當(dāng)x→0時(shí)，是無窮小量，但是根據(jù)定義2并不能比較 f（x）與 f（x）本身的關(guān)系.因?yàn)橹灰?dāng)x按照數(shù)列趨向于0，便會(huì)有（無論n多大）.由于分母不能夠?yàn)?，于是也無法判斷f（x）與 f（x）之前的關(guān)系（更多例子見文［4］）.但事實(shí)上 f（x）與 f（x）是同階無窮小量，于是必須適當(dāng)?shù)男薷囊幌略摱x，擴(kuò)大其外延使得可以滿足要求.文［1］提出了將無窮小量進(jìn)行分類，分為第1類無窮?。ㄔ赨o（x0）內(nèi) f（x）≠0）和第2類無窮?。o論δ多小，必有x1∈Uo（x0）使得 f（x1）=0），同時(shí)改進(jìn)了無窮小的相關(guān)定義，解決了該問題.利用文［1］中的定義進(jìn)行講解，能夠使得學(xué)生不會(huì)在思考中陷入混亂，從而更好的理解符號(hào)大O和小o的含義.

其次，符號(hào)小o和大O的定義出現(xiàn)的順序也容易讓學(xué)生產(chǎn)生誤解.從定義2中可以知道，小o代表的是高階無窮小量，而在同階無窮小量的定義出現(xiàn)后立刻出現(xiàn)大O的定義，容易讓別人誤以為大O便是代表同階無窮小.其實(shí)不然，大O并不等于同階無窮小.大O的定義中確實(shí)包含了同階無窮小量的定義，大O的適用范圍比同階無窮小的范圍大.因此，在教學(xué)過程中，可以先講解大O的定義，再從大O的定義中提煉出同階無窮小的定義，這樣會(huì)減少上述問題的發(fā)生.

3.2學(xué)生學(xué)習(xí)大O小o時(shí)遇到的問題

根據(jù)以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，大學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)大O小o時(shí)容易遇到以下的問題：

問題一：無窮小量中的x是否必須趨向于0？

問題二：小o代表高階無窮小，是否需要定義高階無窮大？

問題三：大O和同階無窮小有什么區(qū)別，是否可以只定義大O而不定義同階無窮小？

問題四：f（x）=O（g（x）（或o（g（x））中的“=”是否代表相等？

問題五：既然大O不是代表同階無窮小，那么大O與小o是否沒有聯(lián)系？

3.3學(xué)生遇到問題的解答

（1）問題一的解答

解答問題一，可以由定義直接解決.定義1～3都是利用Uo（x0）去進(jìn)行定義，x0是多少并沒有規(guī)定，也即x0可以是0或者∞，如 f（x）=x-2，在x→2時(shí)也是無窮小量.

（2）問題二的解答

在解答問題二之前，必須先解釋一下什么是無窮大量？無窮大量簡單來講就是以∞（+∞或-∞）為非正常極限的函數(shù)（包括數(shù)列）.如在x→0的時(shí)候便是無窮大量.其實(shí)，高階無窮大量的概念包含在高階無窮小量之中.根據(jù)定義2，如果存在，稱 f（x）為g（x）的高階無窮小量.假設(shè)在某個(gè)Uo（x0）內(nèi)， f（x）≠0，于是，上述的極限可以改為，也即說明了當(dāng) f（x）為g（x）的高階無窮小量時(shí)，g（x）則為f（x）的高階無窮大量，所以并不需要再定義高階無窮大量.

（3）問題三的解答

在3.1中已經(jīng)闡明了大O和同階無窮小的關(guān)系.從定義中也可以知道，對(duì)于x∈Uo（x0），大O的使用必須滿足，，M≥0；而同階無窮小必須滿足，其中K,L＞0.它們最大的不同在于可否為0.下面將通過一個(gè)例子來說明它們之間的不同.

例1當(dāng)x→0時(shí)， f（x）=x2+x，g（x）=x2，z（x）=x，試說明 f（x），g（x），z（x）之前的關(guān)系.

解：當(dāng)x→0時(shí)，g（x）=O（f（x），此時(shí)g（x）卻為 f（x）的高階無窮小量；

但是對(duì)于f（x）和z（x），f（x）=O（z（x），此時(shí)f（x）也是z（x）的同階無窮小量.

因此，由上述例1可以知道，大O和同階無窮小是不同的.如果 f（x）中包含有多項(xiàng)，大O強(qiáng)調(diào)的是在x→x0中影響最大的項(xiàng)，而同階無窮小量強(qiáng)調(diào)的是相同的收斂速度.大O在計(jì)算數(shù)學(xué)和計(jì)算科學(xué)方面用得非常的多，因此，不能只定義大O或同階無窮小的任意一個(gè).

（4）問題四的解答

f（x）=O（g（x）（或o（g（x））中的“=”并不代表相等，是表示屬于的意思.其實(shí)

因此，

也正由于O（g（x）和o（g（x）都是代表滿足條件的某類函數(shù)，因此大O和小o所代表的都是一種定性的關(guān)系.對(duì)于定量與定性的關(guān)系，文［5］通過泰勒公式的余項(xiàng)，對(duì)定性與定量進(jìn)行了說明，同樣也能夠?qū)栴}四進(jìn)行回答.

（5）問題五的解答

大O和小o之間肯定是有聯(lián)系的.其實(shí)，根據(jù)定義1～2，對(duì)任意的ε＞0，存在δ＞0，當(dāng)

4　總結(jié)

在符號(hào)大O與符號(hào)小o的學(xué)習(xí)中，雖然學(xué)生們會(huì)遇到各種各樣的問題.但是只要牢牢把握住它們的定義，通過適當(dāng)?shù)睦尤ミM(jìn)行比較，便可以清楚的區(qū)分高階無窮小、同階無窮小以及大O與小o的區(qū)別.另一個(gè)方面，對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的老師，必須加強(qiáng)在課堂教學(xué)中理論聯(lián)系實(shí)際的能力，通過現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用到的例子進(jìn)行講解，這樣能夠讓學(xué)生更好的理解.下面舉出例子可以供學(xué)生在課堂上討論，以便更好的區(qū)分大O與小o.

例2［6］已知當(dāng)x→a時(shí)， f（x）＞0.證明：

（a）o（o（f（x））=o（f（x）；（b）O（o（f（x））=o（f（x）；

（c）o（o（f（x））=o（f（x）；（d）o（f（x）+O（f（x）=O（f（x））

特別的，對(duì)于統(tǒng)計(jì)專業(yè)的學(xué)生，在概率論的學(xué)習(xí)中還將會(huì)遇到大OP以及小oP，下標(biāo)P表示依概率收斂（見文［7］）.它們會(huì)在大數(shù)定理和中心極限定理的證明中發(fā)揮重要的作用，同樣，在現(xiàn)在較為前沿的統(tǒng)計(jì)研究中也經(jīng)常用到符號(hào)OP及符號(hào)oP進(jìn)行證明，如：股票的協(xié)波動(dòng)率估計(jì)量.因此，統(tǒng)計(jì)專業(yè)的老師也可以適當(dāng)?shù)慕o學(xué)生們講解符號(hào)OP及符號(hào)oP在熱門問題中的應(yīng)用，從而達(dá)到既讓學(xué)生掌握符號(hào)大O與符號(hào)小o所代表的含義、又培養(yǎng)學(xué)生科研能力的效果.

［1］潘建輝，鄧志穎，楊春德.“無窮小的比較”的定義及其改進(jìn)［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2011，27（3）：204-208.

［2］WIKIPEDIA.Big O notation［EB/OL］.（2015-11-29）［2015-11-30］.https：//en.wikipedia.org/wiki/Big_O_notation.

［3］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第四版，上冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2010：60-64.

［4］龔冬保.高階無窮小與低階無窮小——無窮小比較的一個(gè)問題［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2000，3（3）：16.

［5］許紹元.泰勒公式的余項(xiàng)的定性與定量形式——談?wù)勗诖髮W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力［J］.韓山師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，35（3）：73-77.

［6］吉米諾維奇，李榮涷.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集［M］.李植，譯.北京：高等教育出版社，2010：47-48.

［7］茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2011：208-215.

The Discussion of BigONotation and SmalloNotation

SHE Zi-hang
（Shool of Mathematics and Statistics，Hanshan Normal University，Chaozhou，Guangdong，521041）

The aim of this paper is to introduce the definitions of the bigOnotation and the smallonotation.Their differences are compared to show some of the problems which the students encountered in learning bigOnotation and smallonotation.Solutions are discussed by using some examples.

infinitesimal of higher order；infinitesimal of the same order；bigOnotation；smallo notation

G 64；O 17

A

1007-6883（2016）03-0019-04

責(zé)任編輯朱本華

2015-12-02

佘梓航（1989-），男，廣東潮州人，韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院助教.