成冬元 馬恩榮

2016年高考，我區(qū)采用的考卷是教育部考試中心統(tǒng)一命制的新課標(biāo)全國(guó)Ⅲ卷（以下簡(jiǎn)稱全國(guó)Ⅲ卷）.相比2015年采用的新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷（以下簡(jiǎn)稱全國(guó)Ⅱ卷），今年的全國(guó)Ⅲ卷數(shù)學(xué)試題在試題的結(jié)構(gòu)、內(nèi)容、立意等方面保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上出現(xiàn)了一些新變化，“突出理性思維，考查實(shí)際應(yīng)用，關(guān)注社會(huì)發(fā)展，體現(xiàn)時(shí)代特征”是今年數(shù)學(xué)試題的主要特點(diǎn).深入分析數(shù)學(xué)試題的特點(diǎn)和變化，能夠?yàn)?017年廣西考生的復(fù)習(xí)備考提供有益的啟迪.

一、2016年全國(guó)Ⅲ卷數(shù)學(xué)試題評(píng)析

（一）試卷結(jié)構(gòu)

全國(guó)Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷包含第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分.第Ⅰ卷共有12道選擇題（每題5分），全部為必考內(nèi)容.第Ⅱ卷為非選擇題，含必考和選考兩大塊：必考內(nèi)容由4道填空題（每題5分）和5道解答題（每題12分）組成；選考內(nèi)容從選修系列4“幾何證明選講”“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”“不等式選講”3個(gè)內(nèi)容中各命制1道解答題（每題10分），考生從這3道解答題中任選一題作答，多做則按所做的第一題給分.

（二）試題分析

鑒于今年文、理科數(shù)學(xué)卷相似度頗高的實(shí)際，我們將首先綜合分析兩份試卷的考點(diǎn)共性（見(jiàn)下頁(yè)“分析表”），再詳細(xì)分析兩份試卷的命題立意.

1.從對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查來(lái)看，今年的文、理科數(shù)學(xué)卷均體現(xiàn)了《2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（理/文科）》（以下簡(jiǎn)稱考綱）的以下精神：“對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，既要全面又要突出重點(diǎn).對(duì)于支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體.注重學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合性，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面.”

綜觀近幾年高考試題，不刻意追求知識(shí)的覆蓋面，不回避重點(diǎn)知識(shí)、主干知識(shí)，已經(jīng)成為一種穩(wěn)定的考查方向，而且主干知識(shí)的分值亦基本穩(wěn)定.今年文、理科數(shù)學(xué)卷的考點(diǎn)仍主要分布在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面向量、解析幾何、立體幾何初步與空間向量、概率統(tǒng)計(jì)、三角函數(shù)等高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的九大知識(shí)板塊，凸顯了“數(shù)列+函數(shù)+不等式”“空間圖形+向量”“平面向量+三角函數(shù)”“計(jì)數(shù)原理+概率”“解幾+平面向量”“導(dǎo)數(shù)+函數(shù)+方程+不等式”“統(tǒng)計(jì)+算法+概率”七大知識(shí)板塊；而集合、簡(jiǎn)易邏輯、線性規(guī)劃、計(jì)數(shù)原理、復(fù)數(shù)、算法初步、統(tǒng)計(jì)、推理與證明（文科：框圖）等離散知識(shí)，或者在大題中作輔助支撐，或者在小題中單獨(dú)命題.與2015年全國(guó)Ⅱ卷中的數(shù)學(xué)試題相比，今年全國(guó)Ⅲ卷中的數(shù)學(xué)試題更加強(qiáng)化了新課程的內(nèi)容，對(duì)三視圖、算法、統(tǒng)計(jì)知識(shí)（折線圖、雷達(dá)圖、求回歸方程等）等內(nèi)容的考查難度加大.而且今年的文、理卷相似度頗高，均以考查高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)為主線：第Ⅰ卷前9題都是考查基本概念和公式，內(nèi)容來(lái)源于教材且高于教材.第Ⅱ卷填空題前3題都是難度較低的常規(guī)題.第Ⅱ卷解答題第17題為數(shù)列題；第18題為統(tǒng)計(jì)知識(shí)、折線圖、求回歸方程、用變形公式求相關(guān)系數(shù)，考查難度有所提高；第19題是立體幾何的線面平行與線面成角，考查難度不大，基本與往年持平.值得一提的是，第Ⅱ卷文、理同題的選做題第22題考查圓和三角形的知識(shí)，求角的大小，用共圓求弦的垂線，關(guān)聯(lián)到了三角形外角、同弧圓周角相等、四點(diǎn)共圓條件等知識(shí)，難度較大，我區(qū)考生的得分率普遍較低，理科難度為0.0566，文科難度為0.0097.

2.從對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查來(lái)看，文、理試題均體現(xiàn)了考綱的如下精神：“考查時(shí)要從學(xué)科整體意義和思想價(jià)值立意，要有明確的目的，加強(qiáng)針對(duì)性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測(cè)考生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度.”

對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，理科卷第11、16、17題涉及轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，文、理科卷同題的第24題與理科卷第21題考查了分類討論的思想，文科卷第4、9、10、11、12、13、14、15、20題則考查了數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)與方程的思想更是近年高考頻繁考查的內(nèi)容.

3.從對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查來(lái)看，文、理科試題均體現(xiàn)了考綱的如下精神：“對(duì)能力的考查，以思維能力為核心.全面考查各種能力，強(qiáng)調(diào)綜合性、應(yīng)用性，切合學(xué)生實(shí)際.”

數(shù)學(xué)能力包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)等.如文科卷第1、2、3、6、9、10、11、12、13、15、16、17、20、23、24題考查了運(yùn)算求解能力；第4、10、14、18、19、22題考查了空間想象能力；第4、8、18題考查了數(shù)據(jù)處理能力；第5、19、20、21、22題考查了推理能力；第4、18題還考查了抽象概括能力；等等.

高考結(jié)束后，很多一線教師感慨：“今年的高考數(shù)學(xué)試題突出理性思維，應(yīng)用意識(shí)考查多，得分不易呀！”的確，今年的高考數(shù)學(xué)題特別強(qiáng)化了應(yīng)用意識(shí)的考查，體現(xiàn)了高考“強(qiáng)調(diào)應(yīng)用性”的宗旨.而文、理科卷相似或完全相同的試題頗多（除了選考的3道題完全相同，另外完全相同的試題有9道，還有8道類似題），使我們感受到了文、理科之間的差別正在快速縮小.

（三）試題特點(diǎn)、亮點(diǎn)及解題思路點(diǎn)撥

1.主干知識(shí)?？汲Ｐ?三角函數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)和核心內(nèi)容，其重要地位在高考中不會(huì)改變，而且“?？汲Ｐ隆?

今年的全國(guó)Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷對(duì)解析幾何的考查增加了“參數(shù)方程與極坐標(biāo)”模塊的內(nèi)容，綜合性更強(qiáng)，如今年文、理科卷同題的選考題第23題.

高考原題：在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為=2.

（Ⅰ）寫(xiě)出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P在C1上，點(diǎn)Q在C2上，求的最小值及此時(shí)P的直角坐標(biāo).

試題分析：一般情況下，涉及橢圓上的點(diǎn)的最值問(wèn)題、定值問(wèn)題、軌跡問(wèn)題等，當(dāng)不好直接下手處理時(shí)，可考慮利用橢圓的參數(shù)方程進(jìn)行處理，比如通過(guò)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（），將其轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題進(jìn)行求解.針對(duì)上面的考題，我們可以利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系中的平方關(guān)系，將曲線C1的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；將公式與代入曲線C2的極坐標(biāo)方程，即可求出C2的直角坐標(biāo)方程；再利用參數(shù)方程表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離建立=d（）的三角函數(shù)表達(dá)式，便可求出的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo).

解：（Ⅰ）C1的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為x+y-4=0.

（Ⅱ）由題意，可設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為，因?yàn)镃1是直線，所以的最小值即P到C2的距離d（）的最小值，d（）==.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，d（）取最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為.

今年的全國(guó)Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷對(duì)立體幾何的考查發(fā)生了結(jié)構(gòu)性變化，命題重心相對(duì)偏移.以往立體幾何命題的老套路是“一半證明一半算，證明要用三垂線”，但隨著三垂線定理退出教科書(shū)，老套路勢(shì)必發(fā)生根本性變化，如理科第19題.

高考原題：如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

試題分析：通常情況下，我們會(huì)用向量法解決高考中的立體幾何問(wèn)題.針對(duì)上面的問(wèn)題，我們可取PB的中點(diǎn)T，結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形AMNT為平行四邊形，從而得到MN∥AT，再結(jié)合線面平行的判定定理可證MN∥平面PAB；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AD、AP所在直線分別為y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過(guò)求直線AN的方向向量與平面PMN法向量的夾角來(lái)處理AN與平面PMN所成角的正弦值.

今年全國(guó)Ⅲ卷數(shù)學(xué)卷對(duì)于統(tǒng)計(jì)概率的考查，與原來(lái)的“概率統(tǒng)計(jì)”相比，在命題立意上發(fā)生了相當(dāng)大的改變.以往高考數(shù)學(xué)總有一道概率解答題，并且一定是個(gè)體個(gè)數(shù)或概率計(jì)算，今年的試題卻注重考查考生的數(shù)據(jù)分析和處理能力，要求“會(huì)收集、整理、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問(wèn)題有用的信息，并做出判斷”.如今年文、理科卷同題的第18題，考查的是線性相關(guān)與線性回歸方程的求法及應(yīng)用，該題不僅回歸了教材（選修2-3，P79），還同時(shí)考查了考生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

高考原題：下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

我區(qū)考生在此題中的得分率非常低.由于最小二乘法往年高考考的次數(shù)少，且有關(guān)此部分的內(nèi)容在人教版教材里是安排在閱讀欄中的，所以相當(dāng)一部分教師認(rèn)為這是不考的內(nèi)容，在教學(xué)中不作要求，致使考生在這道題中得分率非常低，文科難度僅為0.0461，理科難度僅為0.0865.這道題從一個(gè)側(cè)面給我區(qū)高中數(shù)學(xué)老師們上了一課，敲了一次警鐘.許多老師還是把猜題作為重要的復(fù)習(xí)方式，主觀認(rèn)為我們廣西只是考全國(guó)Ⅱ卷，對(duì)全國(guó)Ⅰ卷（2015年全國(guó)Ⅰ卷曾有類似考題）出現(xiàn)過(guò)的考題不予重視，而且不重視數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)閱讀與數(shù)學(xué)運(yùn)算的復(fù)習(xí)，這樣是不行的.這道題體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)學(xué)的基本思想和新課標(biāo)的要求，希望引起老師們的重視.

今年全國(guó)Ⅲ卷對(duì)解析幾何的考查與往年高考題發(fā)生了相當(dāng)大的變化.比如作為壓軸題的文、理科同題第20題，它以拋物線為載體，難度也不像往年高考題那么難，其第（Ⅰ）小題甚至曾經(jīng)在各類教輔書(shū)中多次出現(xiàn)，可以說(shuō)“非常友好”.

高考原題：已知拋物線C：y2=2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn).

（Ⅰ）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程.

試題分析：數(shù)學(xué)知識(shí)的新陳代謝，是課程改革的必然.高考數(shù)學(xué)命題必然順應(yīng)這一變革.由于橢圓、雙曲線的準(zhǔn)線概念已不再引入教材，相關(guān)的許多知識(shí)無(wú)法鏈接，因而試題的結(jié)構(gòu)形式一定會(huì)有所變化.針對(duì)上面的考題，關(guān)于解析幾何中平行問(wèn)題的證明，通?？梢赞D(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率相等，或轉(zhuǎn)化為利用向量證明其平行；求軌跡方程的方法在高考中最常考的是直接法與代入法（相關(guān)點(diǎn)法），在利用代入法求解時(shí)，我們須找準(zhǔn)主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn).

解法一分析：（Ⅰ）設(shè)出與x軸垂直的兩條直線，得出A、B、P、Q、R的坐標(biāo)，然后通過(guò)證明直線AR與直線FQ的斜率相等即可證出結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D（x1，0），利用面積可求得x1，設(shè)AB的中點(diǎn)E（x，y），根椐AB與x軸是否垂直，分兩種情況結(jié)合kAB=kDE即可求解.

2.加強(qiáng)對(duì)閱讀理解能力的考查.閱讀理解能力是一種重要的能力，在今年的新課標(biāo)高考命題中，對(duì)文、圖解讀能力的考查得到了強(qiáng)化.要求考生通過(guò)閱讀文字或圖象、圖表、圖形，快速抓住問(wèn)題的本質(zhì)，提煉出隱藏在“文、圖”背后的數(shù)學(xué)問(wèn)題及解題規(guī)律.

首先是文字閱讀題.用文字創(chuàng)設(shè)生活情境，把數(shù)學(xué)問(wèn)題隱藏在生活情境中，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活的結(jié)合，如今年全國(guó)Ⅲ卷文科數(shù)學(xué)卷第5題.

高考原題：小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個(gè)字母，第二位是1，2，3，4，5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是

（A） （B） （C） （D）

試題分析：運(yùn)用古典概型計(jì)算公式求解，必須明確兩點(diǎn).第一，對(duì)于每個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)，所有可能出現(xiàn)的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)必須是有限個(gè)；第二，出現(xiàn)的各個(gè)不同的試驗(yàn)結(jié)果數(shù)其可能性大小必須是相同的.只有在同時(shí)滿足第一、第二的條件下，運(yùn)用古典概型計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算得出的結(jié)果才是正確的.針對(duì)上題，小敏所忘記的開(kāi)機(jī)密碼的前兩位數(shù)字的排列，共有3×5=15種可能，即（M，1），（M，2），（M，3），（M，4），（M，5），（I，1），（I，2），（I，3），（I，4），（I，5），（N，1），（N，2），（N，3），（N，4），（N，5），其中只有1種是正確的，因此所求概率P=.故選C.

其次是讀圖題.數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的科學(xué)，新課程比傳統(tǒng)課程更加注重讀圖與識(shí)圖，這里的圖，包括圖象、圖形、圖表等.如我們前面列舉的文、理科第18題，題目給出了一個(gè)折線圖和許多看似復(fù)雜的公式，考生讀題的時(shí)間長(zhǎng)，要在有限的時(shí)間內(nèi)讀懂試題并正確解答，這對(duì)考生的閱讀理解、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)的處理和運(yùn)算能力等是一次較為全面的檢驗(yàn)，同時(shí)還能考查考生的思維品質(zhì)和心理素質(zhì).一般說(shuō)來(lái)，讀圖題按其重要性可分為三個(gè)層次：第一個(gè)層次是各種函數(shù)的圖象變換、立體幾何中的圖形及翻折、平面解析幾何中的直線與曲線等；第二個(gè)層次是韋恩圖、程序框圖、三視圖、頻率分布直方圖、莖葉圖、平面區(qū)域圖等；第三個(gè)層次是單位圓中的三角函數(shù)線、頻率折線圖、正態(tài)分布曲線（理）、流程圖和結(jié)構(gòu)圖（文）等.如今年全國(guó)Ⅲ卷數(shù)學(xué)理科卷第7、文科卷第8題，考查的內(nèi)容相同，都是第二個(gè)層次的讀圖能力，程序框圖.

高考原題：執(zhí)行右圖的程序框圖，如果輸入的a=4，b=6，那么輸出的n=

（A）3 （B）4 （C）5 （D）6

試題分析：解決這種類型的題目需要注意三點(diǎn).第一，先明確是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)還是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，再根據(jù)各自的特點(diǎn)執(zhí)行循環(huán)體；第二，要明確圖中的累計(jì)變量，明確每一次執(zhí)行循環(huán)體前和執(zhí)行循環(huán)體后，變量的值發(fā)生的變化；第三，要明確循環(huán)體終止的條件是什么，會(huì)判斷什么時(shí)候終止循環(huán)體.因此，第一次循環(huán)，得a=2，b=4，a=6，s=6，n=1；第二次循環(huán)，得a=-2，b=6，a=4，s=10，n=2；第三次循環(huán)，得a=2，b=4，a=6，s=16，n=3；第四次循環(huán)，得a=-2，b=6，a=4，s=20>16，n=4，退出循環(huán)，輸出n=4，故選B.

往年?？嫉亩嗝骟w三視圖問(wèn)題，在今年轉(zhuǎn)換成了求體積的問(wèn)題，靈活性很強(qiáng)，如內(nèi)容相同的理科卷第9題、文科卷第10題.

高考原題：如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為

（A）18+36

（B）54+18

（C）90

（D）81

試題分析：由三視圖可知，該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積S=2×3×6+2×3×3+2×3×3=54+18，故選B.

3.對(duì)應(yīng)用意識(shí)的考查得到突顯.對(duì)應(yīng)用意識(shí)的考查，一直是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)熱點(diǎn).今年的高考數(shù)學(xué)卷遵照“貼近生活、背景公平、控制難度”的命題原則，合理選取命題素材，重視現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問(wèn)題，創(chuàng)新題型設(shè)計(jì)，綜合、靈活地考查基礎(chǔ)知識(shí)，突出考查考生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的重要作用和應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)了高考改革加強(qiáng)應(yīng)用性的趨勢(shì)特點(diǎn)，有利于落實(shí)數(shù)學(xué)新課程理念.例如文、理科卷同題的第4題在設(shè)問(wèn)方式上進(jìn)行創(chuàng)新，以人們普遍關(guān)注的旅游城市天氣問(wèn)題為背景，要求根據(jù)氣溫統(tǒng)計(jì)雷達(dá)圖，對(duì)該地區(qū)氣溫情況作出正確敘述，考查了考生識(shí)圖能力和抽象概括能力，而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的問(wèn)題的應(yīng)用意識(shí)也得到了突顯.

高考原題：某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是

（A）各月的平均最低氣溫都在0℃以上

（B）七月的平均溫差比一月的平均溫差大

（C）三月和十一月的平均最高氣溫基本相同

（D）平均最高氣溫高于20℃的月份有5個(gè)

試題分析：本題以某旅游城市的氣溫為題材，考查了考生對(duì)雷達(dá)圖的理解，以及對(duì)數(shù)據(jù)的分析和處理能力.本題突破了以往對(duì)概念的記憶和散點(diǎn)圖的繪圖考查方式，引入高中教材中少有的雷達(dá)圖，既符合考綱要求，立意上又有所創(chuàng)新.從題設(shè)中提供的信息及圖中標(biāo)注的數(shù)據(jù)可以看出：深色的圖案是一年十二個(gè)月中各個(gè)月份的平均最低氣溫，淺灰圖案是一年十二個(gè)月中各個(gè)月份的平均最高氣溫，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷可知D是唯一表述錯(cuò)誤的選項(xiàng).解答本題出錯(cuò)的可能原因有兩種：一是對(duì)圖形中的線條認(rèn)識(shí)不明確，找不到解決問(wèn)題的方法；第二，估計(jì)每個(gè)月的平均溫差時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

二、2017年廣西高考數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考建議

全國(guó)高考試題一直緊扣課本和考綱，淡化人為技巧和細(xì)枝末節(jié)問(wèn)題，注重知識(shí)形成過(guò)程，著重考查考生的思維能力和解決問(wèn)題能力.2016年的高考試卷向我們傳遞出這樣一個(gè)信息：高考數(shù)學(xué)試題在降低起點(diǎn)的同時(shí)，強(qiáng)調(diào)能力立意；在立足基礎(chǔ)的同時(shí)，體現(xiàn)呈現(xiàn)方式的創(chuàng)新；在突出導(dǎo)向的同時(shí)，確保甄別功能；在繼承傳統(tǒng)的同時(shí)，彰顯課程理念.這就為我們的一線教學(xué)和復(fù)習(xí)備考指明了方向.

（一）統(tǒng)籌謀劃高中三年的課時(shí)安排，重視新授課教學(xué)，扎實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的基本能力

高考的區(qū)分首先體現(xiàn)在基本功方面，而基本功的培養(yǎng)主要靠新授課.為此，我們需要認(rèn)真研究課標(biāo)的要求，厘清教材中滲透的思想方法，吃透學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理，處理好教學(xué)內(nèi)容過(guò)程與結(jié)果、直觀與抽象、直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系：課堂教學(xué)應(yīng)以學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，關(guān)注全體學(xué)生的感受，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，課程內(nèi)容的呈現(xiàn)要體現(xiàn)層次性和多樣性；在教學(xué)過(guò)程中，要抓住數(shù)學(xué)的核心概念，以前后一致、貫穿始終的數(shù)學(xué)思想為主線，給學(xué)生足夠的時(shí)間體會(huì)知識(shí)的形成過(guò)程，注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法；課時(shí)練習(xí)要符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，與學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)、思維水平相匹配.總之，高中三年應(yīng)統(tǒng)籌謀劃，持續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力，強(qiáng)化其符號(hào)意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，鼓勵(lì)其質(zhì)疑與創(chuàng)新.教師尤其要舍得花時(shí)間研究各種版本的教材，在提高新授課的教學(xué)效益下功夫.就目前高中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，適當(dāng)拉長(zhǎng)新授課時(shí)間，縮短復(fù)習(xí)課時(shí)間是我個(gè)人的一點(diǎn)想法，而這需要勇氣和智慧.

（二）主體主導(dǎo)并重，優(yōu)化復(fù)習(xí)過(guò)程

高考的主角是學(xué)生，在復(fù)習(xí)課上無(wú)視學(xué)生感受的“滿堂灌”只能在短期內(nèi)對(duì)復(fù)習(xí)少許內(nèi)容有效，但對(duì)持久性的全面復(fù)習(xí)是無(wú)能為力的.以學(xué)生為主體，就是要在復(fù)習(xí)教學(xué)中貫徹落實(shí)這樣的思想：在教師的引導(dǎo)、組織下，學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)而非被動(dòng)接受，能動(dòng)思考而非機(jī)械模仿.進(jìn)一步地講，在復(fù)習(xí)課上，全體學(xué)生都應(yīng)有充分的時(shí)間進(jìn)行思考、體悟、運(yùn)算，多數(shù)學(xué)生都要參與互動(dòng)、交流、評(píng)價(jià)；教師要注意肯定學(xué)生的想法，哪怕其方法幼稚、繁瑣、不嚴(yán)密，會(huì)走一些彎路，甚至?xí)绊懙秸麄€(gè)班級(jí)的復(fù)習(xí)進(jìn)程，但只要貼近學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，教師都要注意引導(dǎo)，并對(duì)癥下藥幫助學(xué)生克服自身存在的問(wèn)題，完善學(xué)生復(fù)習(xí)、思考和解題的過(guò)程.以學(xué)生為主體并不是說(shuō)不要教師的講授，相反地，對(duì)于知識(shí)的聯(lián)系性、結(jié)構(gòu)性、思想性，問(wèn)題的變式、一題多解和多題一解，教師的啟發(fā)式引導(dǎo)都是不可或缺的，至少在這一點(diǎn)上可以顯示出“教學(xué)”優(yōu)于“自學(xué)”.此外，我們還要深入研究第一、第二輪復(fù)習(xí)的目標(biāo)定位，明確各考點(diǎn)在每輪復(fù)習(xí)中的復(fù)習(xí)深度和廣度.

1.第一輪復(fù)習(xí)要回歸教材，夯實(shí)基礎(chǔ)，這絕不是一句空話.教材是高考試題的重要來(lái)源之一，每年高考試題中的不少選擇題、填空題，在教材中都有原型.此外，教師還應(yīng)認(rèn)真研究課標(biāo)、考綱和全國(guó)卷，對(duì)不同的內(nèi)容做出不同的復(fù)習(xí)處理.

（1）對(duì)于那些只作基本要求的，比如集合、復(fù)數(shù)等，就不要拓寬、加深.不少?gòu)?fù)習(xí)資料在這部分內(nèi)容中費(fèi)時(shí)較多，這是不可取的.比如今年全國(guó)Ⅲ卷文科卷第2題“若z=4+3i，則=（ ）”，給出了4個(gè)選項(xiàng)“（A）1；（B）-1；（C）+i；（D）-i”.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算，只需從形式上理解為關(guān)于虛數(shù)單位“i”的多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)；復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式的乘法相類似，只是在結(jié)果中把i2換成-1；復(fù)數(shù)除法可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算的分母有理化；復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義可依平面向量的加、減法的幾何意義進(jìn)行理解.

（2）對(duì)于三角、數(shù)列、立幾、概率統(tǒng)計(jì)、圓錐曲線等內(nèi)容要注意歸類，務(wù)必使學(xué)生完全掌握.如今年全國(guó)Ⅲ卷文科卷第6題“若tan，則cos2=（ ）”，給出了4個(gè)選項(xiàng)“（A）-；（B）-；（C）；（D）”，計(jì)算cos2===即可.一般地說(shuō)，三角函數(shù)求值有兩類：一是“給角求值”，此時(shí)需將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過(guò)相消或相約消去非特殊角，進(jìn)而求出三角函數(shù)值；二是“給值求值”，關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系.通過(guò)研究今年高考全國(guó)Ⅲ卷我們發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)這部分在解答題中沒(méi)有出現(xiàn)，在客觀題（指選擇題與填空題中）中卻有三道小題，這值得重視.此外，有些綜合題其實(shí)也是由新教材中的例、習(xí)題引申、變化而來(lái)，這些例、習(xí)題是編者經(jīng)反復(fù)推敲篩選出來(lái)的精品，具有典型性、示范性和針對(duì)性，包含了重要的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法，所以回歸教材是提高備考效率的有效途徑.

需要注意的是，回歸教材并不等同于重新學(xué)習(xí)教材，而是要吃透教材、用活教材，站在思想與方法、聯(lián)系與區(qū)別的高度去把握教材中的概念、定義、定理、公式、例題和習(xí)題，多做演變與適當(dāng)拓展.例如等差數(shù)列、一次函數(shù)、直線等幾個(gè)概念都可以用函數(shù)（特殊的對(duì)應(yīng)）的概念來(lái)統(tǒng)一，等差數(shù)列可視為特殊的函數(shù).如在等差數(shù)列{an}中，已知兩項(xiàng)an，am，求公差，可化為已知一次函數(shù)圖像上兩點(diǎn)（n，an），（m，am），求出直線的斜率k=即可，這樣復(fù)習(xí)會(huì)使知識(shí)脈絡(luò)更加清晰，思維品質(zhì)也會(huì)隨之得到提升.

2.第二輪復(fù)習(xí)應(yīng)特別突出思想性和整體性，以有效應(yīng)對(duì)高考對(duì)考生數(shù)學(xué)能力的要求.

關(guān)于數(shù)學(xué)思想的明晰，宜在第二輪復(fù)習(xí)起步時(shí)展開(kāi)，并在后續(xù)復(fù)習(xí)中不斷強(qiáng)化.數(shù)學(xué)思想不同于數(shù)學(xué)技巧：數(shù)學(xué)技巧很難復(fù)制，既不容易掌握，也不容易保持；數(shù)學(xué)思想?yún)s是容易領(lǐng)會(huì)的，盡管學(xué)生領(lǐng)悟的程度會(huì)有所不同，盡管它是形式上的，但它和解題活動(dòng)聯(lián)系起來(lái)后會(huì)變得非常實(shí)用.

突出整體性，就是多角度思考，站在整體的高度審視和解決問(wèn)題，先解決主干問(wèn)題，再處理細(xì)枝末節(jié)問(wèn)題.

3.專題復(fù)習(xí)適度拓展延伸，力求高屋建瓴.

高考命題專家多數(shù)是高校教授，作為大學(xué)教師當(dāng)然希望考生具備一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ).比如今年全國(guó)Ⅲ卷理科卷第12題“定義‘規(guī)范01數(shù)列如下：共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意k≤2m，a1，a2，…，ak中的0個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).若m=4，則不同的‘規(guī)范01數(shù)列共有（ ）”，這是今年理科高考數(shù)學(xué)選擇題的最后一道題，背景是競(jìng)賽中曾經(jīng)的熱點(diǎn)問(wèn)題——卡特蘭（Catlan）數(shù)問(wèn)題，給出了4個(gè)選項(xiàng)“（A）18個(gè)；（B）16個(gè)；（C）14個(gè)；（D）12個(gè)”.由于涉及的情形相對(duì)簡(jiǎn)單，對(duì)考生來(lái)說(shuō)選擇列舉方式便可拿到滿分.但是，此題其實(shí)具有一定的高等數(shù)學(xué)背景.教師在復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)可作如下拓展：本題中的“規(guī)范01數(shù)列”個(gè)數(shù)就是卡特蘭數(shù)Cm=C，取m=0，可得C4=C=14.這樣計(jì)算，會(huì)比列舉方式簡(jiǎn)便得多.卡特蘭數(shù)來(lái)源于卡特蘭解決凸n+2邊形的剖分時(shí)得到的數(shù)列Cm.在數(shù)學(xué)競(jìng)賽、信息學(xué)競(jìng)賽、組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)編程等方面，關(guān)于卡特蘭數(shù)會(huì)有其不同側(cè)面的介紹.卡特蘭問(wèn)題的解決過(guò)程應(yīng)用了大量的映射方法，堪稱計(jì)數(shù)的映射方法的典范.典型的卡特蘭數(shù)問(wèn)題有進(jìn)出棧問(wèn)題、購(gòu)票找零問(wèn)題、圓內(nèi)連弦問(wèn)題、括號(hào)表達(dá)式問(wèn)題等等.

當(dāng)然，此類題的解答原則上是不需要高等數(shù)學(xué)知識(shí)的.如果考生具備高等數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單知識(shí)，解答起來(lái)會(huì)比較簡(jiǎn)單.即使是用高等數(shù)學(xué)的解法，高考中也是允許的.在生源基礎(chǔ)好的學(xué)?；虬嗉?jí)，或者針對(duì)少數(shù)接受能力比較強(qiáng)的學(xué)生，高三的復(fù)習(xí)可以適度延伸，這也符合“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的基本課程理念.通常可延伸的內(nèi)容指的是高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系非常密切的內(nèi)容，比如數(shù)列中的單調(diào)有界數(shù)列的極限存在性定理，微積分中的中值定理，圓錐曲線中的切線與法線、極點(diǎn)與極線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等.延伸的關(guān)鍵是“適度”，一定要按照學(xué)生的接受能力作介紹和補(bǔ)充.這里的“適度”，不僅是指補(bǔ)充內(nèi)容的范圍、深度的“適度”，也包括參與學(xué)生的范圍的“適度”.補(bǔ)充一些高等數(shù)學(xué)初步知識(shí)，讓學(xué)生有一些體驗(yàn)和理解，可以達(dá)到高屋建瓴的效果.

（三）研究數(shù)學(xué)高考，探索科學(xué)的備考策略

我們研究數(shù)學(xué)高考，可以為科學(xué)備考打基礎(chǔ).如何做到科學(xué)備考呢？

首先要研讀課標(biāo)、考綱及考試說(shuō)明，要輕其所輕、重其所重，正確指導(dǎo)高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí).要重視課本，從高考命題者的角度研究課本，注意哪些內(nèi)容降低了要求、哪些內(nèi)容淡化了要求、哪些內(nèi)容提高了要求，并善于從課本中發(fā)現(xiàn)高考命題的素材，對(duì)課本中的好題進(jìn)行深入挖掘，通過(guò)變式或改編來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的能力.

其次，通過(guò)對(duì)高考試題的研究，指導(dǎo)學(xué)生科學(xué)解題.平常解題，志在求知，避免“解題套路”.考場(chǎng)解題，志在得分，應(yīng)做到：遇到熟悉的問(wèn)題，先考慮“套”“搬”“借”；遇上生疏的創(chuàng)新題，再考慮“試”“探”“猜”.解選擇題、填空題可“不擇手段”，小題小解；解解答題可用分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)思考，從已知到可知，從未知到需知，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，注意觀察比較，合情推理，大膽猜想，小心求證.

再次，高考作為一種選拔性考試，有其自身特點(diǎn)，與我們平時(shí)的考試大異其趣，如何指導(dǎo)學(xué)生跨越這兩種考試、順利應(yīng)對(duì)，這也是需要我們老師認(rèn)真研究的.比如高考試題對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的考查、解決新情境問(wèn)題能力的考查力度都是平時(shí)的考試所不能企及的.平時(shí)考試的創(chuàng)新性試題極少，試題也不夠大氣，學(xué)生如何跨越這兩種考試？又比如，高考難易題的分值并不是難題的分?jǐn)?shù)就多出許多，學(xué)生如何分配解答難易題的用時(shí)，難題要不要放棄？再比如，如何組織答案才會(huì)多得分，除了答題的規(guī)范性以外，還有怎樣的答題技巧？高校教師主導(dǎo)的命題組命制的高考試題往往有高等數(shù)學(xué)的背景、競(jìng)賽題的影子，如何應(yīng)對(duì)這樣的考題？筆者從備考實(shí)踐出發(fā)，提出上述問(wèn)題，與各位同仁商榷.

有道是“有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦關(guān)終屬楚；苦心人，天不負(fù)，臥薪嘗膽，三千越甲可吞吳”.祝愿2017年的學(xué)子高考順利通關(guān)！

（責(zé)編 白聰敏）