◇　江蘇　姚成龍

◇　山東　孫　飛

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微元法在高中物理解題中的應(yīng)用

◇江蘇姚成龍

在一個物理過程中有一個變化的物理量,這樣可能會給我們的做題帶來不便,這時可以試著把這個物理過程分割為無數(shù)多個很小的過程，即所謂的微元.在每一個很小的過程中這個變化的物理量近似是不變的,然后在每一小段中求出這個物理量對時間或位移等的積累,再對這些積累量進行求和就可以得到這個物理量在整個過程中對時間或位移等的積累,這就是微元法．實際上也就是高等數(shù)學(xué)中的微積分的思想的應(yīng)用．高中物理中很多習(xí)題看似“山窮水盡疑無路”,但如果用微元法的思想來分析就會“柳暗花明又一村”．實際上高中物理中根據(jù)v-t圖象與坐標(biāo)軸的面積求位移的方法就是微元法．

1　電磁感應(yīng)中的微元法

圖1

(1) 如圖1所示,固定于水平面上的金屬框架abcd,處在豎直向下的勻強磁場中．金屬棒MN沿框架以速度v向右做勻速運動．框架的ab與dc平行,bc與ab、dc垂直．MN與bc的長度均為l,在運動過程中MN始終與bc平行,且與框架保持良好接觸．磁場的磁感應(yīng)強度為B．請根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,證明金屬棒MN中的感應(yīng)電動勢E=Blv.

圖2

(2) 為進一步研究導(dǎo)體做切割磁感線運動的過程,現(xiàn)構(gòu)建如下情景: 金屬棒a和b, 2棒質(zhì)量都為m,電阻分別為Ra和Rb，如圖2所示,a棒從h高處自靜止沿弧形軌道下滑,2導(dǎo)軌間距為L,通過C點進入軌道的水平部分,該水平部分存在豎直向下的勻強磁場,磁感應(yīng)強度大小為B．(下滑時棒始終保持與導(dǎo)軌垂直)

(ⅰ) 若金屬棒b固定于軌道的水平部分,且a棒始終沒有跟b棒相碰,求a棒上最終產(chǎn)生的焦耳熱(不計一切摩擦)．

(ⅱ) 若金屬棒b解除固定,靜止于軌道水平部分,要使ab不相碰,b棒至少距離C點多遠．

圖3

即

2　運動中的微元法

在一個運動過程中,物體在某方向上的速度在時間上的積累就是這個方向上的位移,如果在這個方向上物體做變速運動,那么我們就可以運用微元法來求解位移．

圖4

(1) 若勻強電場方向水平向左,使小球在空間中做直線運動,求小球在空間中做直線運動的速度大小和方向;

(2) 若勻強電場在xOy平面內(nèi)的任意方向,確定小球在xOy平面內(nèi)做直線運動的速度大小的范圍;

(3) 若勻強電場方向豎直向下,將小球從O點由靜止釋放,求小球運動過程中距x軸的最大距離．

圖5

(2) 小球做直線運動的條件為洛侖茲力與電場力和重力的合力為一對平衡力．當(dāng)電場在xOy平面內(nèi)方向任意時,電場力與重力合力最大值為2mg,最小值為0,則BQvmax=2mg,BQvmin=0,得0

(3) 設(shè)小球運動到最低位置時下落高度為H,此時速度最大為v0,方向水平,任意時刻v沿x軸正向、y軸負向的分速度分別為vx、vy，與vy對應(yīng)的洛侖茲力水平分力方向沿x軸正向,F洛x=BQvy,小球由靜止釋放到最低點的過程中,應(yīng)用動量定理得

BQH=mv0-0.

3　微元法的變形——面積法

教材中講解了由v-t圖象求位移的方法——面積法,由面積法的推導(dǎo)過程我們可以看出,這實際上就是運用的微元法思想．我們還可以延伸一下,用面積法根據(jù)F-t圖象求沖量,根據(jù)F-x圖象求功等．這種方法在高考中也多有涉及．

圖6

(1) 請畫出F隨x變化的示意圖;并根據(jù)F-x的圖象求物塊沿x軸從O點運動到位置x的過程中彈力所做的功．

(2) 物塊由x1向右運動到x3，然后由x3返回到x2，在這個過程中，(ⅰ) 求彈力所做的功，并據(jù)此求彈性勢能的變化量; (ⅱ) 求滑動摩擦力所做的功，并與彈力做功比較,說明為什么不存在與摩擦力對應(yīng)的“摩擦力勢能”的概念．

圖7

(ⅱ) 在此過程中摩擦力做功由Ff=μFN,Wf=-Ffs,得Wf=-μmg(2x3-x2-x1).因為摩擦力做功與路程成正比,而非像彈簧彈力做功一樣與路徑無關(guān),而只與初末位置有關(guān),所以無“摩擦勢能”的概念．

微元法由于用到了微積分的思想,比較新穎,能夠引導(dǎo)學(xué)生對已知物理規(guī)律的再思考,從而起到鞏固知識、加深認識和提高能力的作用，同時也是近年來高考中經(jīng)常涉及的方法,希望引起同學(xué)們的重視．

1　構(gòu)建1個知識網(wǎng)絡(luò)——解題的知識依托

2　內(nèi)化2種模型——化繁為簡的有效途徑

模型繩模型桿模型實例球與繩連接、水流星、翻滾過山車等球與桿連接、球過豎直的圓形管道,套在圓環(huán)上的物體等圖示在最高點受力重力、彈力F彈向下或等于0,即mg+F彈=mv2/R重力,彈力F彈向下、向上或等于0,即mg±F彈=mv2/R恰好過最高點F彈=0,mg=mv2/R,v=Rg,即在最高點速度不能為0v=0,mg=F彈,在最高點速度可為0

3　銘記2個特點——這是快速解題的切入點

1) 向心力一定指向圓心,而只有做勻速圓周運動的物體的合力才始終指向圓心．

圖1

A小球A的合力小于小球B的合力;

B小球A與框架間可能沒有摩擦力;

C小球B與框架間可能沒有摩擦力;

D圓形框架以更大的角速度轉(zhuǎn)動,小球B受到的摩擦力一定增大

由于合力提供向心力,依據(jù)向心力表達式F=mrω2,已知2球質(zhì)量、運動半徑和角速度都相同,可知向心力相同,即合力相同,故選項A錯誤．小球A受到重力和彈力的合力不可能垂直指向OO′軸,故一定存在摩擦力,而B球的重力和彈力的合力可能垂直指向OO′軸,故B球摩擦力可能為0,故選項B錯誤,選項C正確．由于不知道B是否受到摩擦力,故而無法判定圓形框架以更大的角速度轉(zhuǎn)動時,小球B受到的摩擦力的變化情況,故選項D錯誤．

圖2

(1) 若要小球離開錐面,則小球的角速度ω0至少為多大?

(2) 若細線與豎直方向的夾角為60°,則小球的角速度ω′為多大?

FTcosθ=mg,FTsinθ=mω2·lsinθ．

圖3

(1)若要小球剛好離開錐面,則小球受到重力和細線拉力如圖3所示．小球做勻速圓周運動的軌跡圓在水平面上,故向心力水平．

圖4

A小球的質(zhì)量為aR/b;

B當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮镽/b;

Cv2=c時,在最高點桿對小球彈力方向向上;

D若v2=2b,則在最高點桿對小球彈力大小為2a

4　突破3個題型

4.1圓周運動的臨界極值問題

(1) 若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω1時,細線AB上的張力為0,而細線AC與豎直方向的夾角仍為37°,求角速度ω1的大小;

(2) 若裝置勻速轉(zhuǎn)動的角速度為ω2時,細線AB剛好豎直,且張力為0,求此時角速度ω2的大小;

(3) 裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動,試通過計算，在圖6的坐標(biāo)中畫出細線AC上張力FT隨角速度的平方ω2變化的關(guān)系圖象．

圖5　　　　　　　　　　　圖6

FTcosθ=mg,FT=mg/cosθ=12.5 N.

ω1≤ω≤ω2時細線AB松弛, 細線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運動需要的向心力

FTsinα=mω2lsinα,FT=mω2l.ω>ω2時,細線AB在豎直方向繃直,仍然由細線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運動需要的向心力，則

FTsinθ′=mω2lsinθ′,

圖7

即

FT=mω2l.

4.2圓周運動中的連接體問題

圖8

4.3圓周運動的多過程問題

圖9

A2釘子間的距離為繩長的1/6;

Bt=10.5 s時細繩拉力的大小為6 N;

Ct=14 s時細繩拉力的大小為10 N;

D細繩第3次碰釘子到第4次碰釘子的時間間隔為3 s

(作者單位：山東省棗莊市臺兒莊區(qū)職業(yè)中專)

江蘇省江陰市山觀高級中學(xué))

◇山東孫飛