周 煥 芹

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

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【自然科學(xué)基礎(chǔ)理論研究】

基于非線性混沌系統(tǒng)的圖像加密技術(shù)

周 煥 芹

(渭南師范學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，陜西 渭南 714099)

利用冪函數(shù)和正切函數(shù)替代線性函數(shù)給出了一種基于非線性混沌序列的快速圖像加密算法。通過對其結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行試驗分析，給出了一個一次一密的數(shù)字圖像加密算法。實驗結(jié)果表明,該圖像加密算法不但具有較大的密鑰空間,而且安全性較高,同時保持不錯的效率。

信息加密；非線性混沌序列；XOR

0　引言

隨著信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的飛速發(fā)展,各種各樣的數(shù)字圖像在網(wǎng)絡(luò)上越來越多地進(jìn)行傳輸。其中,有很多的圖像信息非常重要,它們小到有可能涉及個人的隱私，大到可能涉及國家的安全,其價值無法衡量。另外,由于網(wǎng)絡(luò)的普及,使得任何人都有可能接觸到其中的部分信息,因此在網(wǎng)絡(luò)上傳輸數(shù)字圖像的安全性便尤為重要,從而對數(shù)字圖像進(jìn)行加密或隱藏就成了重要的研究課題。

圖像具有表達(dá)直觀、所含信息量大等特點,因而圖像信息在存儲和傳輸過程中的安全問題就顯得非常重要。近年來,為了解決數(shù)字圖像的安全問題,典型的手段有信息隱藏與偽裝技術(shù)[1-4],其中有幾個重要課題:(1) 數(shù)字圖像的加密技術(shù); (2) 數(shù)字圖像的分存技術(shù); (3) 數(shù)字圖像的隱藏技術(shù); (4) 數(shù)字圖像的水印技術(shù)。其中，加密技術(shù)中最主要的是數(shù)字圖像的置亂技術(shù)。已有的數(shù)字圖像的置亂技術(shù)主要有基于Arnold變換的、FASS 曲線的、Gray 碼變換的、Conway“游戲”的、仿射模變換的、基于三角函數(shù)的等等。[5-10]

混沌系統(tǒng)具有許多重要特性，例如對初始條件和系統(tǒng)參數(shù)的極端敏感性、拓?fù)鋫鬟f性、周期點的稠密性、偽隨機性等等?；煦绗F(xiàn)象是在確定性的非線性系統(tǒng)中不需要附加任何隨機因素便可以出現(xiàn)的一種內(nèi)在隨機性，因此其偽隨機行為能夠準(zhǔn)確再生。這些特性與密碼學(xué)中要求的擴散、混合和隨機特性相吻合，因此在加密算法中混沌有著廣泛的應(yīng)用。

本文提出了一種基于非線性混沌序列的數(shù)字圖像加密算法，數(shù)字實驗表明，該方法思想簡單易于實現(xiàn)，加密效果較好，抗攻擊性較強，安全性較好。

1　基本原理

1.1一維Logistic混沌映射分析

由一維Logistic混沌映射生成混沌序列,Logistic混沌映射可以表示為：

an+1=F(an)=λan(1-an)，λ∈(0,4)，n=1,2,…

(1)

其中：初值a0和參數(shù)λ都可以用來作為密鑰。

1.2非線性混沌系統(tǒng)的設(shè)計

為了克服上述缺點，利用非線性函數(shù)設(shè)計出一種新的混沌算法。為了提高安全性，最好使用非線性函數(shù)去改變密鑰空間的連續(xù)性，因此利用冪函數(shù)(1-x)β和正切函數(shù)tanx替代線性函數(shù)。非線性混沌系統(tǒng)可以定義為[3]

an+1=λtan(αan)(1-an)β。

(2)

當(dāng)α∈(0,1.4],β∈[5,43]或α∈(1.4,1.5],β∈[9,38]或α∈(1.5,1.57],β∈[3,15]時該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。

圖1　非線性混沌序列的分布圖

1.3算法思想

首先,利用公式(2)生成混沌圖像,并對原始圖像和此混沌圖像進(jìn)行二維離散小波變換[11-14]；

其次,對由小波變換所得的低頻和高頻信息分別進(jìn)行線性插值；

最后,利用二維離散小波逆變換重構(gòu)圖像，從而得到加密圖像。

這里加密的密鑰可以選取為:生成混沌矩陣的初始值、線性插值時的融合參數(shù)，以及迭代次數(shù)等等。

1.4加密算法

Step1：輸入加密密鑰迭代次數(shù)times、混沌序列的初始值α,β和融合參數(shù)t；

Step2：輸入原始圖像，大小為M×N；

Step3：利用公式(2)獲得M×N的一維混沌序列，并將其轉(zhuǎn)換為M×N的矩陣，生成混沌矩陣，通過排序變換將每一行的N個值由小到大排序，生成b1,b2,…,bN，并確定ai在b1,b2,…,bN中的位置編號，形成地址集合G1={g1,g2,…,gN}，反復(fù)操作M次，便生成混沌矩陣CI：

Step4：對原始圖像SI和混沌圖像CI分別進(jìn)行二維離散小波變換，分別得到原始圖像SI的小波變換系數(shù)SLLC,SLHC,SHLC,SHHC和混沌圖像CI的小波變換系數(shù)CLLC,CLHC,CHLC,CHHC；

Step5：對Step4中所得的SI的小波變換系數(shù)和CI的小波變換系數(shù)通過融合系數(shù)t利用公式(3)進(jìn)行融合，得到融合圖像。

MI=tSI+(1-t)CI；

(3)

Step6：利用二維離散小波逆變換對Step5所得的融合結(jié)果進(jìn)行重構(gòu)，得到加密圖像EI；

Step7：返回Step3直到迭代結(jié)束。

2　試驗結(jié)果與分析

2.1加密和恢復(fù)實例

圖2是基于本文算法給出的數(shù)字圖像加密和恢復(fù)的實例。其中,選取Lena圖(256×256)為原始圖像，迭代次數(shù)times=3，混沌序列的初始值分別取α=1.4,β=8,融合參數(shù)t=0.1；對原始圖像Lena圖和生成的混沌圖像CI應(yīng)用Daubecchies小波變換(db1)。圖2a表示原始圖像及其直方圖,圖2b表示Step3生成的混沌圖像及其直方圖,圖2c表示加密后的圖像及其直方圖,圖2d表示恢復(fù)圖像及其直方圖。

由圖2可以看出該算法具有較好的加密和恢復(fù)效果。

a. 原始圖像及其直方圖 b. 混沌圖像及其直方圖

c. 加密圖像及其直方圖d. 恢復(fù)圖像及其直方圖

圖2數(shù)字圖像加密和恢復(fù)實例

2.2客觀評價準(zhǔn)則

傳統(tǒng)的客觀評價方法用恢復(fù)圖像偏離原始圖像的誤差來衡量恢復(fù)圖像的質(zhì)量，最常用的有均方根誤差RMSE(Root Mean Squared Error)和峰值信噪比PSNR(Peak Signal to Noise Ratio)[15]。

均方根誤差RMSE的表達(dá)式為

(4)

均方根誤差RMSE越小，便說明兩幅圖像越相像。

峰值信噪比PSNR的表達(dá)式為

(5)

峰值信噪比PSNR越大，說明圖像的保真度越好，兩幅圖像越相似。

峰值信噪比PSNR本質(zhì)上與均方根誤差RMSE相同，其關(guān)系表達(dá)式為

(6)

利用本文算法恢復(fù)圖像與原始秘密圖像的峰值信噪比PSNR為279.17，由此可知，兩幅圖像的保真度較好，兩幅圖像非常像；RMSE為均方根誤差2.805e-12，從而可以得出算法的恢復(fù)效果較好。

2.3噪聲攻擊

數(shù)字圖像在網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)倪^程中，經(jīng)常會受到各種各樣的攻擊,如受到某種干擾而含有各種噪聲。圖3a對秘密圖像添加了密度為0.5%的高斯噪聲后的恢復(fù)圖像; 圖3b為對秘密圖像添加了1%的高斯噪聲后的恢復(fù)圖像；圖3c為對秘密圖像添加了0.5%的椒鹽噪聲后的恢復(fù)圖像; 圖3d為對秘密圖像添加了1%椒鹽噪聲后的恢復(fù)圖像。

從圖3可以看出，該算法對高斯噪聲和乘性椒鹽噪聲具有較好的穩(wěn)健性。

a.添加密度為0.5%　　　　b. 添加1%的高斯噪聲

c. 添加0.5%椒鹽噪聲　　　d. 添加1%椒鹽噪聲

3　結(jié)語

本文給出了一種基于非線性混沌圖像的數(shù)字圖像加密算法，該算法思想簡單，易于編程，具有較好的安全性，且恢復(fù)圖像質(zhì)量較高。另外，可以利用不同的混沌系統(tǒng)生成混沌圖像，且融合參數(shù)t可以利用混沌序列，以增加密鑰空間。

[1] Kumsawat P,Attkitmongcol K,Srikaew A,et al. Wavelet-based image watermarking using the genetic algorithm[J].Knowledge-based intelligent information and engineering systems 8th International Conference,KES2004. Proceedings (Lecture Notes in Artificial Intelligence),2004,(3):643-649.

[2] Bao P,Ma Xiaohu. Image adaptive watermarking using wavelet domain singular value decomposition[J].IEEE Trans.on Circuits and Systems for Video Technology,2005,15(1):96-102.

[3] Haojiang Gao,Yisheng Zhang,Shuyun Liang,et al. A new chaotic algorithm for image encryption[J].Chaos,Solitons and Fractals,2006,29:393-399.

[4] Zhang Lin-hua,Liao Xiao-feng,Wang Xue-bing. An image encryption approach based on chaotic maps[J].Chaos,Solitons and Fractals,2005,24(3):759-765.

[5] 黃麗芳.基于混沌系統(tǒng)的新型 DNA混合圖像加密算法研究[J].九江學(xué)院學(xué)報 (自然科學(xué)版),2016,31(1):77-79.

[6] 樂鴻輝，李濤，石磊．應(yīng)用Henon超混沌系統(tǒng)改進(jìn)的圖像加密[J]．計算機應(yīng)用，2011，31(7):1909-1916．

[7] 翟依依，王光義.基于Tent混沌序列的數(shù)字圖像加密方法[J]．現(xiàn)代電子技術(shù)，2014，37(12):73-77．

[8] 劉樂鵬，張雪鋒.基于混沌和位運算的圖像加密算法[J]．計算機應(yīng)用，2013，33(4):1070-1073．

[9] 王雅慶，周尚波.基于分?jǐn)?shù)階陳氏混沌系統(tǒng)的圖像加密算法[J]．計算機應(yīng)用，2013，33(4):1043-1046．

[10] 丁瑋，閆偉齊，齊東旭.基于Arnold變換的數(shù)字圖像置亂技術(shù)[J]．計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2001，13(4):338-341．

[11] Barni M,Bartolini F,Cappellini V,et al. A DCT-domain System for robust Image Watermarking[J]. Signal Processing，1998,66(3):352-357.

[12] Kunder D,Hatzinkos D. A Robust Digital Image Watermarking Method Using Wavelet-based Fusion[J].In international Conference on Image rocessing,1997,(3):544-547.

[13] 徐晨,趙瑞珍,甘小冰.小波分析應(yīng)用算法[M].北京:科學(xué)出版社，2004.

[14] 葛哲學(xué)，沙威.小波分析理論與MATLABR2007實現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社，2007.

[15] 孫兆林. MATLAB 6.X 圖像處理[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.192-197.

【責(zé)任編輯牛懷崗】

The Technology of Image Encrypting Based on Non-linear Chaotic System

ZHOU Huan-qin

(School of Mathematics and Physics,Weinan Normal University,Weinan 714099,China)

This paper presents a new non-linear chaotic algorithm which uses power function and tangent function instead of linear function. Its structural parameters are obtained by experimental analysis. And an image encryption algorithm in a one-time-one password system is designed. The experimental results demonstrate that the image encryption algorithm based on non-linear chaotic algorithm shows advantages of large key space and high-level security,while maintaining acceptable efficiency.

information encryption; non-linear chaotic sequence; XOR

TP391.41

A

1009-5128(2016)12-0014-05

2016-04-15

渭南師范學(xué)院特色學(xué)科建設(shè)資助項目：數(shù)學(xué)方法在秦東經(jīng)濟社會發(fā)展中的應(yīng)用(14TSXK02);渭南市科技局科研基金資助項目：量子信息論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究(2014KYJ-4)

周煥芹(1962—)，女,陜西澄城人,渭南師范學(xué)院數(shù)理學(xué)院教授,主要從事數(shù)字圖像處理及函數(shù)論研究。