黃玲花

(廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧　530003)

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一個(gè)共軛梯度優(yōu)化方法及其在工程中的應(yīng)用*

黃玲花

(廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院 信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 南寧530003)

給出一個(gè)三項(xiàng)共軛梯度方法，該方法具有如下特點(diǎn)：1)搜索方向在不需要任何線搜索的條件下具有充分下降性；2)搜索方向具有自動(dòng)屬于一個(gè)信賴(lài)域的特點(diǎn)；3)新方法不但擁有梯度值信息還擁有函數(shù)值信息；4)方法對(duì)一般函數(shù)擁有全局收斂性.數(shù)值檢驗(yàn)結(jié)果表明新方法更具競(jìng)爭(zhēng)性.

共軛梯度；充分下降；收斂性

0　引言

(1)

其中f(x):Rn→R是連續(xù)可微函數(shù).無(wú)約束最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)源于眾多實(shí)際問(wèn)題，具有廣泛的應(yīng)用背景，此問(wèn)題的求解方法有很多種：牛頓法、擬牛頓法、信賴(lài)域方法和共軛梯度法等等，這些優(yōu)化方法能為求解其他優(yōu)化問(wèn)題提供強(qiáng)有力的理論支持.共軛梯度方法具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)量小和高效率的特點(diǎn)，因而被廣泛應(yīng)用.該方法的迭代公式是：xk+1=xk+αkdk,k=0, 1, 2,…

其中xk稱(chēng)為第k次迭代點(diǎn)，αk>0是由線搜索產(chǎn)生的步長(zhǎng)，dk是搜索方向，定義形式為

(2)

其中g(shù)k=▽f(xk)和gk+1=▽f(xk+1)是函數(shù)f(x)在xk和xk+1的梯度值，‖·‖表示歐式向量范數(shù).該方法數(shù)值表現(xiàn)優(yōu)越特別適合大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題，也常常被人們用于實(shí)際的問(wèn)題中，是研究最為熱門(mén)的共軛梯度公式之一.但是PRP方法的收斂性不理想，對(duì)于一般函數(shù)在弱Wolfe-Powell線搜索下的全局收斂性一直沒(méi)有得到證明，是一個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題.鑒于此，許多學(xué)者希望發(fā)現(xiàn)數(shù)值表現(xiàn)能與PRP相媲美同時(shí)收斂性質(zhì)又比它優(yōu)越的方法，許多成果可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8-15]等.研究發(fā)現(xiàn)，該方法在非精確線搜索下對(duì)一般函數(shù)收斂性不好的一個(gè)主要原因在于它不能保證充分下降性，充分下降性是指對(duì)所有k，式(3)的不等式成立

(3)

研究發(fā)現(xiàn)該性質(zhì)在收斂性的理論分析中起著重要作用.基于PRP方法，為保證(3)關(guān)系式的成立，Zhang[16]等給出了一個(gè)三項(xiàng)共軛梯度方法，方向?yàn)?/p>

(4)

(5)

(6)

其中δ∈(0,1/2),σ∈(δ,1)，受(6)的啟發(fā)，Yuan[17]等給出了下面的共軛梯度方向

(7)

(8)

容易看出新公式不但擁有梯度值還擁有函數(shù)值信息.

1　算法

算法1(修改的共軛梯度算法)

步驟0：給定x0∈Rn，c∈(0,1),δ∈(0,1/2),σ∈(δ,1)和終止參數(shù)ε>0.令d0=-g0=-▽f(x0)，

置k：= 0.

步驟1：若‖gk‖≤ε，停止.

步驟2：尋找滿(mǎn)足(5)和(6)的步長(zhǎng)αk.

步驟3：令xk+1=xk+αkdk,如果‖gk+1‖≤ε，停止.

步驟4：利用公式(8)計(jì)算搜索方向.

步驟5：置k：=k+1，轉(zhuǎn)步驟2.

2　充分下降性、信賴(lài)域性質(zhì)和全局收斂性分析

下面證明修改的三項(xiàng)公式方向具有充分下降性和信賴(lài)域的性質(zhì).

引理1 對(duì)k≥0，修改的三項(xiàng)公式的搜索方向滿(mǎn)足

(9)

(10)

(9)成立.對(duì)于關(guān)系式(10)，根據(jù)(8)式，當(dāng)k=0，(10)顯然成立，當(dāng)k≥1時(shí)，我們有

因此(10)成立.證畢.

假設(shè)條件(A)：i) 水平集Ω={x∈Rn:f(x)≤f(x0)}有界.

ii)f在Ω上有下界且連續(xù)可微，它的梯度g滿(mǎn)足Lipschitz條件，即存在常數(shù)L>0滿(mǎn)足

‖g(x)-g(y)‖≤L‖x-y‖,?x,y∈Ω

(11)

證明：根據(jù)WWP線搜索的關(guān)系式(6)和Lipschitz條件(11)，得到

(12)

3　數(shù)值結(jié)果

為了驗(yàn)證算法的有效性，給出數(shù)值檢驗(yàn)結(jié)果，檢驗(yàn)函數(shù)是在工程領(lǐng)域經(jīng)常用到的Benchmark問(wèn)題，這些問(wèn)題列舉如下.

1)Spherefunction.

2)Schwefel'sfunction.

3)Rastriginfunction.

4)Schwefelfunction.

x*=(-420.9678,-420.9678,…，-420.9678),fSch(x*)=0

5)Griewankfunction.

上述的Benchmark問(wèn)題可從下述的網(wǎng)站中找到：http://www.cs.cmu.edu/afs/cs/project/jair/pub/volume24/ortizboyer05a-html/node6.html

實(shí)際計(jì)算中，參數(shù)選取如下：c=0.5,ε=10-5,δ=0.1,σ=0.9,停止準(zhǔn)則采用Himmeblau準(zhǔn)則：

表1　算法1的數(shù)值結(jié)果

從表1結(jié)果可以看出，對(duì)給定的終止條件，算法1能大部分成功求解，這說(shuō)明了方法的有效性.但是對(duì)一些問(wèn)題，數(shù)值表現(xiàn)不是很理想，這說(shuō)明方法具有待改進(jìn)的地方.特別是初始點(diǎn)的選擇方面，有待進(jìn)一步的研究.

上述Benchmark問(wèn)題是工程中的常用問(wèn)題，我們利用這些問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證方法的有效性，目的是為了證實(shí)算法在實(shí)際領(lǐng)域中具有一定的應(yīng)用背景.當(dāng)然還有其他更多的應(yīng)用問(wèn)題有待進(jìn)一步研究和探討.

4　結(jié)論

本文給出一個(gè)修改的三項(xiàng)PRP方法，證明了方法對(duì)一般函數(shù)在WWP線搜索下具有全局收斂性，并給出了數(shù)值檢驗(yàn)結(jié)果，相對(duì)于通常的PRP方法和三項(xiàng)PRP方法可得出如下結(jié)論：

1)與通常的PRP方法相比較，新方法不但具有充分下降性，還具有信賴(lài)域的特點(diǎn)，同時(shí)能保證對(duì)一般函數(shù)在WWP線搜索下的全局收斂性，數(shù)值結(jié)果也具有競(jìng)爭(zhēng)性；

2)與通常的三項(xiàng)PRP方法相比較，新方法具有了信賴(lài)域的特點(diǎn)且對(duì)一般函數(shù)在WWP線搜索下的全局收斂性，同時(shí)擁有梯度值信息和函數(shù)值信息；

3)與文章Yuan[17]相比較，將方法推廣到一般的光滑優(yōu)化方法中，且兩種方法所具有的函數(shù)值信息不同.

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[責(zé)任編輯蘇琴][責(zé)任校對(duì)黃祖賓]

A Conjugate Gradient Optimization Method and Its Applications in Engineer

HUANG Ling-hua

(DepartmentofMathematicsandStatistics,GuangxiUniversityofFinanceandEconomics,Nanning530003,China)

In this paper, a conjugate gradient method is proposed. The given method possess the following features: 1) The search direction possesses the sufficient descent property; 2) The search direction belongs to a trust region;3) The new method has not only the gradient value but also function value;4) The presented method has the global convergence for general functions. Numerical results turns out the new method is more competitive to the normal method.

conjugate gradient；sufficient descent；trust region；convergence

2016-03-20.

廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室項(xiàng)目開(kāi)放性課題(2014SYS05)；國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目資助(11161003).

黃玲花(1965-)，女，廣西財(cái)經(jīng)學(xué)院信息與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，研究方向:應(yīng)用數(shù)學(xué).

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1673-8462(2016)02-0063-05