李晶+馮立康+孔婷婷

摘 要： 對于理工類專業(yè)的大學生來說，“線性代數與空間解析幾何”是一門極其重要的數學基礎課程，這門課程不僅包含的內容比較多，而且整本書的邏輯性與抽象性非常強.因此，學生在學習“線性代數與空間解析幾何”的過程中經常會遇到各種問題，為了更深入地理解這門學科，本文從以下三個方面進行講解：定理中“充要條件”的深入理解；向量組的線性相關性；特征值與特征向量的概念及性質的靈活應用.

關鍵詞： 線性代數 充要條件 線性相關性 特征值與特征向量

一、引言

“線性代數與空間解析幾何”這門學科的教學目的是培養(yǎng)學生的能力，比如空間聯想、抽象思維、創(chuàng)造性思維、邏輯思維和自學等，而培養(yǎng)這些能力的前提條件是先讓學生理解基本概念和掌握基本理論，學會分析問題、解決問題的基本方法；最主要的是能夠充分了解各部分知識的結構及其內在聯系；充分利用所學基礎恰當地進行推理證明，快速計算；充分將所學知識運用到解決簡單的實際問題中.但是在教學過程中，經常有學生反映“線性代數與空間解析幾何”這門學科內容的層次太多，學起來比較難，找不到內容的核心，更不能將所學知識聯系起來.為了解決這一問題，下面我們將結合教學經驗，闡述“線性代數與空間解析幾何”這門學科中常見的問題，針對這些問題給出幾點建議.

二、知識體系

“線性代數與空間解析幾何”這門課程的知識網絡是：行列式，矩陣及相應的運算，向量、向量空間及歐式空間，線性方程組（分為齊次線性方程組和非齊次線性方程組），特征值和特征向量的相關內容，相似矩陣，二次型等.這門課程實際上是將代數與幾何融為一體，具有數形結合的特點，代數為幾何做鋪墊.與此同時，代數又在原有幾何空間的基礎上進行了拓展，課程重點在“線性代數”上.“線性代數”研究的核心內容是討論線性方程組何時有解；若有解，討論其解是否唯一；若解不唯一，那么討論其解的結構并研究方程組的解法.這門學科中之所以包含其他內容，是因為其他內容為解方程組提供了便利.行列式作為常用的數學工具，為解方程組做了鋪墊——克拉默法則，但是克拉默法則本身又具有一定的局限性：它只能解決含有n個方程n個未知數的線性方程組解的問題.為了能更好地解決線性方程組的有關問題，我們又引入了矩陣的知識，進而了解了矩陣的初等變換，而矩陣的初等變換為解決線性方程組提供了非常便利的條件.那么在教學過程中，對于“線性代數與空間解析幾何”這門學科來說具體有哪些問題呢？下面將一一列舉.

三、“線性代數與空間解析幾何”中常見的問題

1.定理中“充要條件”的深入理解

數學學習過程中，“充要條件”經常會出現在各種題型中，尤其是在一些證明題中.“充要條件”包含了兩層含義，一個是充分性，一個是必要性，“充要條件”的證明實際上是一個雙向證明的過程，這對大多數學生來說并不難理解，但是，由于對這一定義理解得不夠透徹，導致學生在證明“充要條件”的過程中容易混淆充分性及必要性的證明方向.本文將從定義、證明、性質及其對應的應用等方面闡述“充要條件”的深層含義.

四、結論

本文重點介紹了“線性代數與空間解析幾何”教學中遇到的幾個常見的問題，主要集中在三個方面：對定理中出現的“充要條件”字眼的深入理解；對向量組的線性相關性的討論；特征值與特征向量的概念及其性質的靈活應用.“線性代數與空間解析幾何”是一門基礎學科，在各種代數分支中占據首要地位.由于這門學科比較抽象，學生普遍抓不住重點，多數同學只是掌握了代數方面的計算方法，卻忽略了這門學科的基礎概念和性質的應用，以及它們的內在聯系和用途.要想真正學好數學，對定義和定理的深入剖析至關重要.

參考文獻：

[1]于朝霞，張?zhí)K梅等.線性代數與空間解析幾何（第二版）.北京：高等教育出版社，2016.

[2]徐榮.《線性代數》課程學習技巧探討.中國教創(chuàng)新導刊，2011（2）：27-28.

[3]馬柏林，鄧愛珍.線性代數與解析幾何.科學出版社，2001.