李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，鄭州 450046)

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廣義的Cauchy型Taylor公式中中值點(diǎn)的漸近性

李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，鄭州 450046)

研究當(dāng)區(qū)間長度趨于零時(shí)，廣義的Cauchy型Taylor公式中中值點(diǎn)的漸近性。

廣義的；Cauchy型Taylor公式；中值點(diǎn)；漸近性

0　引言

文獻(xiàn)[1]得到了一個(gè)高階導(dǎo)數(shù)形式的、廣義的Cauchy型Taylor公式。本文研究該公式中中值點(diǎn)的漸近性質(zhì)。首先，引述廣義的Cauchy型Taylor公式。

定理1[1](ⅰ)若f(k)(x)(k=1,2,…,n)與g(k)(x)(k=1,2,…,m)分別在[a,b]上連續(xù)；(ⅱ)f(n+1)(x)與g(m+1)(x)在(a,b)內(nèi)存在，且g(m+1)(x)≠0，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ζ，使得下列廣義的Cauchy型Taylor公式成立

其中f(0)(a)=f(a)，g(0)(a)=g(a),而ζ稱為中值點(diǎn)。

由定理1可知，若(ⅰ)f(k)(x)(k=1,2,…,n)與g(k)(x)(k=1,2,…,m)分別在U(a)內(nèi)連續(xù)；(ⅱ)f(n+1)(x)與g(m+1)(x)在U0(a)內(nèi)存在，且g(m+1)(x)≠0，則?∈U(a)，至少存在一點(diǎn)ζ∈(a,x)或ζ∈(x,a)，使得下列式子成立

(1)

本文研究當(dāng)x→a時(shí)，ζ的變化規(guī)律.

1　主要定理

定理2若(ⅰ)f(k)(x)(k=1,2,…,n)與g(k)(x)(k=1,2,…,m)分別在U(a)內(nèi)連續(xù)；

(ⅱ)f(n+1)(x)在U0(a)內(nèi)存在，g(m+1)(x)在U(a)內(nèi)存在，g(m+1)(x)≠0，且g(m+1)(x)在a點(diǎn)連續(xù)；

證明構(gòu)造函數(shù)

連續(xù)使用n+1次L′Hospital法則可得

(2)

連續(xù)使用m+1次L′Hospital法則可得

(3)

由(2)、(3)式得

(4)

另一方面，由Taylor公式得

其中，η介于a與 之間。

由(1)式及上式得

(5)

則由(5)式得

(6)

由(4)、(6)式得

定理3若(ⅰ)f(k)(x)(k=1,2,…,n)與g(k)(x)(k=1,2,…,m)分別在U(a)內(nèi)連續(xù)；

(ⅱ)f(n+1)(x)在U0(a)內(nèi)存在，g(m+1)(x)在U(a)內(nèi)存在，g(m+1)(x)≠0,且g(m+1)(x)在a點(diǎn)連續(xù)；

取F(x)為定理2中所設(shè)，根據(jù)定理?xiàng)l件，連續(xù)使用n+1次L′Hospital法則可得

(7)

連續(xù)使用m+1次L′Hospital法則可得

(8)

由(7)、(8)式得

(9)

另一方面，由定理2的證明過程可知

(10)

由(9)、(10)式得

推論在定理3的條件下，(1)式中的ζ滿足

由定理3得

[1]蘇翎，趙振華，董建.一個(gè)廣義的Cauchy型的Taylor公式[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009(21)：214-216.

(責(zé)任編輯趙冰)

Asymptotic properties of median point of Generalized Taylor formula of Cauchy form

LI Dong-hui

(School of Mathematics and Statistics，Henan Institnte of Education, Zhengzhou, 450046,China)

The paper studies the asymptotic properties of median point of generalized Taylor formula of Cauchy form, as interval length goes to zero.

generalized; Taylor formula of Cauchy form; median point; asymptotic properties

2016-03-05

李冬輝(1963—)，男，河南許昌人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

10.13783/j.cnki.cnki.cn41-1275/g4.2016.04.024

O172.2

A

1008-3715(2016)04-0117-03