華青

一、比的認(rèn)識

“比”是數(shù)學(xué)中的一個重要概念，其概念實質(zhì)是對兩個數(shù)量進(jìn)行比較，表示兩個數(shù)量間的倍數(shù)關(guān)系。這兩個數(shù)可以是同類量，也可以是不同類量?！氨取笨梢员硎緸閮蓚€同類量的比，表示的是它們之間的倍數(shù)關(guān)系，比如，一面紅旗長15cm，寬10cm，我們可以說長和寬的比是15比10，即15∶10，也可以說寬和長的比是10比15，即10∶15。比還可以表示兩個不同類量的比，表示的是第三種量，比如，90分鐘繞地球42252km，也可以用“比”來表示路程與時間的關(guān)系，表示單位時間所行的路程（即速度）。

比和除法、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，但又不完全等同，“比”更強(qiáng)調(diào)的是量與量之間的倍比關(guān)系的直接描述，有時并不關(guān)注具體比值是多少，而除法、分?jǐn)?shù)更多的是強(qiáng)調(diào)兩個量之間的一種運(yùn)算關(guān)系，通常也會關(guān)注運(yùn)算的結(jié)果。此外，我們用“比”可以同時表示兩個、三個甚至更多的量之間的倍比關(guān)系，而除法、分?jǐn)?shù)一般只能表示兩個量之間的倍比關(guān)系?！氨取辈粌H表示相除，更是一種關(guān)系！因此，現(xiàn)行新教材將“比”從分?jǐn)?shù)除法單元脫離，獨立成為一個單元，以突出量與量之間的關(guān)系。

比，也是對“平均分”方法的延伸和發(fā)展，例如，把12張畫按2∶1分給兩位同學(xué)，實際上就是把總量平均分成（2+1）份，而如果按1∶1分配，就是平均分。在解決的過程中，可以實際操作，列表解決，按每次2張1張分發(fā)；也可以畫圖后，按整數(shù)問題來解決，先求每份是多少，再求各自的幾份；當(dāng)然按照分?jǐn)?shù)問題來解決，把總數(shù)看成“整體”，先求各自占整體的幾分之幾，再求是多少也是可以的。

“比”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個重要概念，讓學(xué)生真正理解比的意義，具有一定難度。

1. 透過份數(shù)理解比

如“按1∶4的比配制一瓶500 mL的稀釋液”，指的就是“濃縮液體積有1份，水的體積有4份，稀釋液的體積有5份”；“每個橡皮艇上有1名救生員和7名游客”，也就是說“救生員和游客的人數(shù)比是1∶7”，將兩個數(shù)量關(guān)系用比的形式加以抽象概括。由此可以明白，透過份數(shù)來學(xué)習(xí)“比”這一概念，為解決問題積淀了豐富的表象，為正確解答按比分配問題提供清晰的解題思路。

2. 分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化理解“比”

“女生人數(shù)是男生的1倍”，即女生人數(shù)是男生人數(shù)的，發(fā)現(xiàn)男、女生人數(shù)的比是4∶5。借助分?jǐn)?shù)的意義，進(jìn)一步認(rèn)清兩個量之間的關(guān)系，將分?jǐn)?shù)靈活轉(zhuǎn)化為比。

二、學(xué)生已有經(jīng)驗的分析

目前，教材把“比”的內(nèi)容放在六年級，在對“比”進(jìn)行系統(tǒng)學(xué)習(xí)前，學(xué)生已經(jīng)有了除法、分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。那么，六年級學(xué)生對“比”有哪些認(rèn)識呢？

（一）生活中關(guān)于“比”經(jīng)驗的積累

談起“比”學(xué)生并不覺得陌生，因為生活中常常遇到。比如在前測中學(xué)生提到的：

A. 吹泡泡的液體中，水和洗潔精的比是2∶3。

B. 社團(tuán)的男、女生之間的人數(shù)比是24∶25。

C. 沖泡燕麥片時，燕麥和水之間量的最佳比是1∶6。

D. 金龍魚調(diào)和油中大豆油、玉米油、菜籽油的比是1∶1∶1。

E.足球賽中，甲、乙兩隊的進(jìn)球分之比為2∶3。

以上事例中，學(xué)生都提及了“比”，可見生活中學(xué)生有不斷接觸“比”的機(jī)會，至少學(xué)生清楚“比”的外在表征形式，事例A、B、C、D都是對“比”的正確感知。當(dāng)然，生活語言時常還沖擊著數(shù)學(xué)表達(dá)，學(xué)生頭腦中生活中的籃球比分，如事例E，雖然形式上雷同，但是意義上卻截然不同，學(xué)生無法從本質(zhì)上區(qū)分，容易被生活語言“負(fù)遷移”。

（二）知識學(xué)習(xí)過程中積累的比經(jīng)驗

本單元內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘除法的基礎(chǔ)上安排的，從學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容來看，學(xué)生已經(jīng)掌握了除法的意義、分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系、分?jǐn)?shù)乘除法的計算以及解答有關(guān)分?jǐn)?shù)乘除法的實際問題等知識，這些是學(xué)習(xí)“比”不可缺少的知識基礎(chǔ)。

1. 份數(shù)經(jīng)驗

通過低段對倍數(shù)的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生“按黃球是紅球的3倍取球”，學(xué)生能夠輕松羅列出各種方法，如取紅球1份黃球3份，取紅球2份黃球6份，取紅球3份黃球9份……從份數(shù)的角度來思考，發(fā)現(xiàn)不管怎么取，只要符合黃球、紅球個數(shù)比為3∶1，滿足這樣的倍數(shù)關(guān)系即可。又如，“班級女生人數(shù)是男生人數(shù)的倍”，從理解的簡潔性上考慮，我們常常默認(rèn)男生人數(shù)為4份，女生人數(shù)為3份，在這樣轉(zhuǎn)化理解的過程中，也開始隱約滲透“比”的意義。

2. 除法概念經(jīng)驗

比與除法、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系，所以應(yīng)當(dāng)充分利用學(xué)生原有的知識基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系相關(guān)知識進(jìn)行類比和推理。例如，“2本本子8元，3本本子12元，4本本子16元……”我們可以利用“總價÷數(shù)量=單價”中的商不變性質(zhì)研究總價與數(shù)量之間的關(guān)系。在這樣的變化中，什么沒有變？是總價與數(shù)量的比，都是4∶1，也可以說成數(shù)量與總價的比沒有發(fā)生變化，都是1∶4。當(dāng)然“比”也可以與分?jǐn)?shù)建立這樣的聯(lián)系。

比的前項、后項、比值與除法中的被除數(shù)、除數(shù)、商以及分?jǐn)?shù)的分子、分母、分?jǐn)?shù)值形成對應(yīng)關(guān)系等，通過學(xué)生自己的思考、分析、解答，這不僅有利于加深對比的意義的理解，也能加深對除法與分?jǐn)?shù)概念的理解，促進(jìn)比與除法、分?jǐn)?shù)的知識之間的融會貫通。

三、前測的意圖及習(xí)題

從上述的分析來看，學(xué)生對于“比”的生活感觸還是較為寬廣的，但是就每個個體而言，對生活中的“比”是否人人都有這樣的數(shù)學(xué)直覺，他們當(dāng)中存在著怎樣的差異呢？為了更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)并掌握“比”的概念及聯(lián)系轉(zhuǎn)化的方法，我們試圖通過前測了解學(xué)生以下幾方面的現(xiàn)實起點，從而為教學(xué)提供有利資源和借鑒。

第一，學(xué)生能否正確聯(lián)想到生活中的比？

第二，學(xué)生能否由倍數(shù)、除法、分?jǐn)?shù)聯(lián)想到比的意義？

第三，學(xué)生是否理解比的意義中所包含的兩個量的倍比對應(yīng)關(guān)系？

第四，面對生活情境，學(xué)生是否能真正區(qū)分相差關(guān)系與倍比關(guān)系？

基于這樣的意圖，又為了便于操作，我們設(shè)計了如下三個習(xí)題及相應(yīng)的問題。

測試題1：

（1）生活中，你聽說過或者看到過幾比幾嗎？請舉例說明。

（2）調(diào)制一杯糖水，里面有比嗎？如果有，會是誰和誰的比呢？

（測試意圖：檢測學(xué)生對“比”的直覺，即了解學(xué)生對生活中的各個“比”的認(rèn)知度，主要看學(xué)生能否在生活中回憶尋找到“比”，在這些“比”之中，球場的比分，數(shù)學(xué)意義的比又占多大比例。）

測試題2：

（1）這一杯飲料中糖與水的比是1∶10。你知道它的意思嗎？能不能用我們學(xué)過的知識來解釋一下？

（2）如果我放3勺糖，應(yīng)該放多少水？如果再加1勺糖呢？應(yīng)該放多少水？

（3）上面的飲料中，糖與水的具體數(shù)量不斷地在變，什么沒有變？

[測試意圖：（1）了解學(xué)生能否對“比”有正確的意義理解，能否嘗試通過已經(jīng)習(xí)得的知識來解決新問題。（2）能否解決具體數(shù)量不斷地在變而引起另一個量變化的問題。（3）了解學(xué)生能否深入思考，發(fā)現(xiàn)在變化的過程中不變的量。]

測試題3：下圖中這兩個1∶10表示的意義一樣嗎？有什么區(qū)別？

（測試意圖：以賽場的比分沖擊對“比”的認(rèn)識，從學(xué)生真實的想法中，洞察學(xué)生能否區(qū)分相差關(guān)系與倍比關(guān)系，從數(shù)學(xué)“比”的本質(zhì)出發(fā)，避免生活經(jīng)驗的負(fù)遷移。）

四、測試要求和數(shù)據(jù)統(tǒng)計

（一）測試的對象

六年級學(xué)生100人，在六年級第一學(xué)期，學(xué)生學(xué)習(xí)該內(nèi)容前一周。（為了對比研究，也可以選五年級第二學(xué)期末的學(xué)生進(jìn)行檢測）

（二）測試的方法

測試題均采用筆試，逐題測試，對于第3題部分學(xué)生采用面試方式進(jìn)行，要求學(xué)生到場操作，并做好摘錄。

（三）數(shù)據(jù)統(tǒng)計

每個測試題需要統(tǒng)計的數(shù)據(jù)：

測試題1：①列舉比賽比分的人數(shù)及比例；②列舉數(shù)學(xué)意義比的人數(shù)及比例；③正確理解糖水中比的人數(shù)及比例。

測試題2：①能正確理解比的人數(shù)及比例；②能正確解答實際問題的人數(shù)和比例；③能正確理解倍比對應(yīng)關(guān)系的人數(shù)及比例。

測試題3：正確區(qū)分比的本質(zhì)的人數(shù)及比例。

五、測試結(jié)果分析和教學(xué)建議

（一）測試結(jié)果

我們選擇了城區(qū)優(yōu)秀學(xué)校，隨機(jī)抽樣100名學(xué)生進(jìn)行筆試，結(jié)果如下。

第1題：

（1）列舉生活中的比。

（2）糖水中的比。

在正確表述的94名學(xué)生中，能正確理解糖和水的比的有53人，占53%，正確理解糖和糖水比的有6人，占6%，能正確理解兩者關(guān)系的有35人，占35%。

第2題：

（1）用學(xué)過的知識來解釋糖∶水為1∶10。

在知其然知其所以然的93名學(xué)生中，大多采取了份數(shù)理解策略，能表達(dá)清楚兩者之間倍比對應(yīng)關(guān)系。

（2）放3勺糖，對應(yīng)放多少水？如果再加1勺糖呢？應(yīng)該放多少水？

在錯誤解答的同學(xué)中，對糖的數(shù)量改變引起水的數(shù)量變化之間關(guān)系理解錯誤的有28位，占28%；有15位同學(xué)表示解答具體問題有困難。

（3）糖與水的具體數(shù)量不斷地在變，什么沒有變？

參與調(diào)查的同學(xué)中，有93人，占93%，提到了糖占糖水的比重未變。

第3題：糖與水的比1∶10和賽場比分1∶10，表示的意義一樣嗎？

（二）測試結(jié)果分析

根據(jù)檢測結(jié)果可以得出如下幾點結(jié)論。

第一，六年級的學(xué)生絕大多數(shù)有了“比”的潛意識，碰到生活中（ ）∶（ ）這樣的表征形式，能首先聯(lián)想到比。學(xué)生的爭論焦點就是賽場比分是否符合數(shù)學(xué)研究的比，這也是本節(jié)課需要達(dá)成的目標(biāo)，即學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度，從比的意義出發(fā)重新定義比。（建議保留學(xué)生的困惑與爭論）

第二，在研究糖與糖水“比”的過程中，學(xué)生會從字面上聯(lián)想，比較自然地聯(lián)想到“糖與水”“糖與糖水”的比，而“水與糖水”的比，對學(xué)生來說是比較難考慮到的，建議增加追問環(huán)節(jié)，還可以有不一樣的比嗎？突破這一思考的盲區(qū)。

第三，從對“比”的實際意義理解、解答實際問題來看，學(xué)生對于比表征的倍比對應(yīng)關(guān)系還是有著相對清晰認(rèn)識的。有85%的學(xué)生已經(jīng)掌握了將糖看作1份，根據(jù)水是糖的10倍，糖擴(kuò)大3倍，水應(yīng)該擴(kuò)大30倍的邏輯思維來分析具體問題，說明學(xué)生能聯(lián)系倍數(shù)、商不變性質(zhì)來解決實際問題。通過對錯誤解答學(xué)生的采訪，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生審題不清“如果再加1勺糖呢”，到底最終有多少勺糖？建議題目可以更加開放一些，如“如果（ ），需要加多少水？”

第四，面對數(shù)學(xué)意義的“比”和賽場上的“比分”，有96%的學(xué)生都能正確辨析數(shù)學(xué)意義中的比，其中85%的學(xué)生還能站在數(shù)學(xué)的角度解釋判斷依據(jù)，說明六年級學(xué)生已有一定的思辨能力。從學(xué)生的思辨過程看，學(xué)生會聯(lián)想到倍數(shù)關(guān)系、對應(yīng)關(guān)系、部分占整體的分?jǐn)?shù)意義等方面，這樣對比的正確區(qū)分有很大幫助。這也剛好修正測試題1中學(xué)生的想法，從疑問出發(fā)進(jìn)行研究，解決疑問并產(chǎn)生新的疑問，在學(xué)習(xí)中逐步理解、建構(gòu)概念，辨析本質(zhì)含義。

（三）教學(xué)建議

根據(jù)前測數(shù)據(jù)分析，我們對“比”一課的教學(xué)提出如下幾條建議。

1. 理解“比”的現(xiàn)實背景，逐步抽象“比”

雖然學(xué)生對“比”并不陌生，但是對于“比”產(chǎn)生的必要性，學(xué)生體會不夠深入。教學(xué)時，可以從學(xué)生的生活經(jīng)驗和學(xué)習(xí)經(jīng)驗入手，理解“比”的現(xiàn)實背景，通過具體情境來引發(fā)學(xué)生的思考討論，并逐步抽象出“比”的概念，理解“比”的意義。安排情境時，建議由同類量的“比”逐步比較不同類量的“比”，結(jié)合各自情境理解實際意義。

2. 自主學(xué)習(xí)類比推理，抽象概括“比”

在教學(xué)時，應(yīng)充分利用學(xué)生原有的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，開展觀察、實驗、猜想、驗證等活動，引導(dǎo)學(xué)生用“相當(dāng)于”一詞來說明比、除法、分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，進(jìn)行類比和推理，促使原有知識的重新建構(gòu)，加強(qiáng)知識之間的聯(lián)系。

3. 交流討論數(shù)學(xué)思辨，深刻理解“比”

學(xué)生有豐富的“比”的生活經(jīng)驗、知識基礎(chǔ)，也具備一定的數(shù)學(xué)辨析能力，可以采用學(xué)生自主交流討論的形式來突破教學(xué)難點，增加辨析賽場比分的機(jī)會，讓學(xué)生聯(lián)系生活實際用舉例子的方法來證明自己的觀點，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，為提煉“比”的意義做準(zhǔn)備。還可以在遷移學(xué)習(xí)的過程中，組織學(xué)生對“比的各部分與除法、分?jǐn)?shù)之間各部分間的關(guān)系”和“比的后項可以是0嗎”展開討論，幫助學(xué)生進(jìn)一步明確比與分?jǐn)?shù)、除法之間的關(guān)系，使學(xué)生對“比”的認(rèn)識更加透徹，認(rèn)識結(jié)構(gòu)得以進(jìn)一步完善。

4. 對比拓展，實現(xiàn)有意義遷移

在后繼的學(xué)習(xí)中，可以補(bǔ)充更多現(xiàn)實意義的場景，比如電子表的顯示時刻，同樣無法表示兩個數(shù)相除的關(guān)系，在不斷對比中，加深對“比”的認(rèn)識；練習(xí)中可以適當(dāng)滲透用“比”來描述三個量之間關(guān)系的情況，拓寬對“比”意義的理解。

同時，“比”來源于生活，也應(yīng)該應(yīng)用于生活，生活中令人賞心悅目的“黃金比”，可以作為對“比”的意義深入理解的輔助，“黃金比”圖片欣賞，也為學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，拓展知識面，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力。

（浙江省杭州市學(xué)軍小學(xué) 310012）