沈百軍

一、加法的認(rèn)識

合久必分、分久必合，合與分是世界上兩種基本存在形態(tài)。從數(shù)學(xué)的角度來分析，合所對應(yīng)的是加法，分所對應(yīng)的是減法，其中等數(shù)量的合就是乘法，等數(shù)量的分就是除法。再從運(yùn)算的關(guān)系來看，減法是加法的逆運(yùn)算，除法是乘法的逆運(yùn)算，由此可知加法是最為基礎(chǔ)的運(yùn)算，是其他運(yùn)算的基石。

按照集合論的觀點(diǎn)，兩個自然數(shù)a和b相加的和為a+b，是指如果a和b分別是互不相交的兩個集合A和B的基數(shù)，那么，a和b所代表的集合A、B是互不相交的，而a+b則是并集A∪B的基數(shù)（《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》第26頁）。在小學(xué)階段，加法的含義就是指兩部分的合并，也可以說加法是對一類客觀現(xiàn)實(shí)中具有合并現(xiàn)象的數(shù)學(xué)化表征。例如，左手有3顆糖果，右手有2顆糖果，合起來是5顆，寫成數(shù)學(xué)算式就是3+2=5。小學(xué)生建立加法概念需要借助具體的生活情境和操作活動，孔企平老師在《小學(xué)數(shù)學(xué)課程和教學(xué)論》一書中說得非常明確，具體情境是小學(xué)生理解加減法的基礎(chǔ)，當(dāng)一個數(shù)的運(yùn)算與代表情境中的物體相聯(lián)系時，才能在學(xué)生的頭腦中獲得真正的意義。

二、學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)的分析

現(xiàn)行教材都把“加法的認(rèn)識”這一內(nèi)容放在一年級上冊，緊接在“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”之后進(jìn)行的教學(xué)。一年級剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生大多是六周歲半左右，那么，這一年齡段的學(xué)生對加法有哪些認(rèn)識呢？

（一）生活中關(guān)于加法經(jīng)驗(yàn)的積累

加法作為一種生活現(xiàn)象司空見慣，隨處可見，兒童的成長過程中經(jīng)常會遇到并經(jīng)歷具有加法含義的活動。嬰兒從出生到上小學(xué)的六年多時間中，天天會遇到具有加法意義的生活現(xiàn)象，如：

現(xiàn)象1：家里有爸爸、媽媽和小貝，今天外婆來了，家里就多了一個人。

現(xiàn)象2：小貝已經(jīng)有2輛玩具車了，今天叔叔又送給他一輛嶄新的玩具車，現(xiàn)在有3輛玩具車了。

現(xiàn)象3：小貝喜歡畫畫，上午畫了3個小動物，下午又畫了2個小動物，數(shù)一數(shù)，總共畫了5個小動物。

上述現(xiàn)象都是兩部分的合并，也就是都具有加法結(jié)構(gòu)的模型。孩子從出生到上幼兒園常常會遇到或發(fā)生類似與加法有關(guān)的事情，學(xué)生在不知不覺中已經(jīng)積累了關(guān)于加法的直觀感知，至少能夠正確判斷多了還是少了。

（二）知識學(xué)習(xí)過程中積累的加法經(jīng)驗(yàn)

盡管上小學(xué)之前，兒童還沒有明確的要求需要學(xué)習(xí)一定的知識和技能，但受望子成龍、望女成鳳的思想觀念影響，讓孩子盡早地識字認(rèn)數(shù)、會數(shù)數(shù)、會做加減運(yùn)算是多數(shù)家長的殷切期望，因此學(xué)生的學(xué)習(xí)已經(jīng)先于學(xué)校教育而開始。

首先，多數(shù)兒童在上學(xué)前學(xué)會了數(shù)數(shù)，尤其是能夠指著具體的實(shí)物進(jìn)行點(diǎn)數(shù)，也就積累了最為原始的加法運(yùn)算的能力。

其次，在幼兒園孩子要認(rèn)識很多圖形，做很多活動和基礎(chǔ)性的練習(xí)，從中會有不少與加法運(yùn)算有關(guān)的內(nèi)容，如：

湊數(shù)活動：小朋友心中想好一個確定的數(shù)，然后從1～10這十張撲克牌中找出兩張，使得兩張牌的點(diǎn)數(shù)正好湊成心中確定的數(shù)。

打靶游戲：在靶上標(biāo)出1～5這五個數(shù)字，小朋友用沙包打靶兩次，并把兩次打中的分?jǐn)?shù)加起來作為最后的成績。

6以內(nèi)的加減運(yùn)算練習(xí)：小朋友吃掉5瓶果奶，還剩下1瓶果奶，活動室里原來有幾瓶果奶？

[注：以上活動和習(xí)題均出自浙江省《幼兒園課程指導(dǎo)》編寫委員會編寫的《大班教育活動設(shè)計(jì)（上冊）》，新時代出版社出版。]

三、前測的意圖及習(xí)題

從上述的分析來看，學(xué)生有比較豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和知識儲備，但就每個個體而言，對加法的感知是否如上所說，他們當(dāng)中存在著怎樣的差異呢？為了更好地幫助學(xué)生學(xué)習(xí)并建構(gòu)加法的概念及基本的運(yùn)算技能，我們試圖通過前測了解學(xué)生以下幾個方面的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，從而為教學(xué)提供有利的資源和借鑒。

第一，學(xué)生面對兩部分合并的情境時，會自覺運(yùn)用加法計(jì)算的占多大比例？

第二，學(xué)生正確進(jìn)行10以內(nèi)加法運(yùn)算的比例如何？

第三，學(xué)生對加法含義的理解達(dá)到何種程度？能否用具體的動作和直觀圖示進(jìn)行表征？

第四，面對具體的現(xiàn)實(shí)情境，學(xué)生能否借助加法運(yùn)算進(jìn)行解答？

基于這樣的意圖，為了便于操作，我們設(shè)計(jì)了如下前測題：

四、測試要求和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

（一）測試的對象

一年級學(xué)生120人，在開學(xué)初第一周或第二周完成。（為了對比研究，可以選幼兒園大班學(xué)生進(jìn)行測試）

（二）測試的方法

統(tǒng)一采用面試。先做好測試題課件（包括錄音），逐一對學(xué)生進(jìn)行面試，有條件的可以錄像，但不要對學(xué)生產(chǎn)生影響。

（三）數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

每個測試題需要統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)：

測試題1：（1）正確說出大、小猴子數(shù)量的人數(shù)及比例；（2）正確說出結(jié)果是6只的人數(shù)及所占的比例。

測試題2：（1）正確表述題意并算出結(jié)果的人數(shù)及比例；（2）在同一情境下不同算法的人數(shù)和比例。

測試題3：（1）口算結(jié)果正確的人數(shù)及比例；（2）會正確表征兩部分之和的人數(shù)及比例。

測試題4：（1）正確判斷是否夠的人數(shù)及比例；（2）不同方法解決這個問題的人數(shù)及比例。

五、測試結(jié)果分析和教學(xué)建議

（一）測試結(jié)果（一年級剛?cè)雽W(xué)初）

我們選擇了城區(qū)中心小學(xué)和鄉(xiāng)鎮(zhèn)小學(xué)共6所120名剛?cè)雽W(xué)的一年級新生進(jìn)行了前測，其結(jié)果如下：

測試題1：課件出示靜態(tài)圖：左邊4只小猴子，右邊2只大猴子。

（1）你看到了什么？

（2）課件中變化猴子的位置，問學(xué)生總數(shù)是否變了，為什么？

絕大多數(shù)學(xué)生還能正確說出不變的原因：只是猴子的位置變了，還是6只（或者4小2大）猴子，少數(shù)學(xué)生因?yàn)椴焕斫狻翱倲?shù)”的含義，未能正確回答。

測試題2：課件出示5個學(xué)生，動態(tài)演示又來了2個學(xué)生。

（1）用語言表述：你看到了什么？

（2）你是怎么算的？

測試題3：口答2加3等于多少？請用身邊的實(shí)物或是動作來表示2加3。

（1）120人正確回答結(jié)果是5的，占100%。

（2）用身邊的實(shí)物或動作表示2+3的如下表所示：

測試題4：小明的媽媽有3元錢，小明的爸爸有5元錢。他們要買一本7元錢的圖畫書給小明，夠嗎？（有課件和語音）

（1）有119人回答錢夠了，占99.2%。

（2）在119人中，有23人是通過數(shù)的方法獲知還多出1元；有82人是通過先加（3+5=8），然后與7比較，認(rèn)為多出1元；還有12人通過計(jì)算（3+4=7）比父母的總錢少1元來判斷的；只有2人不會說其中的原因。

（二）測試結(jié)果分析

第一，一年級剛?cè)雽W(xué)的學(xué)生已經(jīng)具備了簡單的加法運(yùn)算能力，特別是5以內(nèi)數(shù)的加法正確率很高。

第二，一年級新生對加法有了比較全面的直觀理解：一是知道兩部分合并可以用加法來計(jì)算；二是對一個加法算式能用不同的直觀圖示來表征，初步具備了數(shù)學(xué)符號化的意識；三是在面對具體問題時，多數(shù)學(xué)生已經(jīng)具備了先加再比的策略意識。

第三，在計(jì)算5+2、3+5等算式時，尚有20%左右的學(xué)生采用了數(shù)的方法，而且從1開始數(shù)的占到一半左右。

第四，學(xué)生對加法意義的理解是淺層次的，對加法所具有的高度抽象性和概括性的認(rèn)識還不夠深入。

第五，通過對幼兒園大班兒童的前測，兩者之間的差距不是很大，主要在兩個方面存在一些差異：一是一年級新生在表達(dá)上要稍稍高出大班兒童，如第二題，看課件演示能正確表述過程并說出結(jié)果是7人的，一年級新生高達(dá)83.3%以上，而大班兒童只有41.7%。二是一年級新生在解決具體問題（如測試題4）時，直接用算式解決的比例要高于大班兒童。

第六，城區(qū)學(xué)校、鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校和山區(qū)學(xué)校之間沒有明顯的差異。

（三）教學(xué)建議

根據(jù)前測數(shù)據(jù)分析，我們對加法初步認(rèn)識一課的教學(xué)提出如下建議。

第一，這是一節(jié)以建立“加法”概念為主的概念教學(xué)課，而非很多教師認(rèn)為的加法計(jì)算教學(xué)課。

第二，這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生在豐富的現(xiàn)實(shí)情境中真正理解加法的含義，而不是進(jìn)行加法算法的探究。在具體計(jì)算時，只需要引導(dǎo)學(xué)生正確數(shù)就可以了。如3+1，就是在3的基礎(chǔ)上繼續(xù)往下數(shù)得到4；同理，4+2就是在4的基礎(chǔ)上繼續(xù)往下數(shù)到6。

第三，應(yīng)該讓學(xué)生理解加法算式的表征作用，初步感受數(shù)學(xué)抽象的魅力。要讓一年級學(xué)生經(jīng)歷一個從具體情境到抽象算式的歸納抽象過程，還要讓學(xué)生展開想象，看到算式能想到不同的具體情境，從而比較深刻地理解加法的本質(zhì)含義。教師需要為學(xué)生提供不同的素材（如靜態(tài)的：左邊3個蘋果右邊1個蘋果，樹上3只猴子樹下1只猴子；還可以是動態(tài)的：停車場原來有3輛汽車，又開來了1輛汽車），讓學(xué)生表達(dá)并寫出算式“3+1=4”，然后根據(jù)算式“3+1=4”來編類似的故事情境（如媽媽給我3顆奶糖，爸爸又給了我1顆，我一共得到了4顆奶糖）。有了這樣豐富而完整的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，學(xué)生才能漸漸體會數(shù)學(xué)算式不再只是一個算式，而是具有豐富的內(nèi)涵，也逐漸體悟到數(shù)學(xué)的高度抽象性。這樣的學(xué)習(xí)過程，不僅學(xué)到了知識，而且還很好地滲透了數(shù)學(xué)思想方法，讓小學(xué)生從小經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)歸納和數(shù)學(xué)演繹，而這些正是最為基本的數(shù)學(xué)思想方法。

第四，一年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要動手、動眼、動口、動腦，創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生主動參與，特別是要把學(xué)生看到的、動手做的表達(dá)出來，表達(dá)的方式除了用語言，還要用表象和抽象的符號和算式。表達(dá)的過程就是思維內(nèi)化的過程，也是學(xué)生思考不斷深入的過程。

（浙江省寧波市鄞州區(qū)東裕小學(xué) 315100）