賈小麗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》前言部分指出：“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”，這強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)作為一種文化的重要性。當(dāng)前，數(shù)學(xué)教育還存在不少突出問題，重知識講授、輕文化闡釋的現(xiàn)象還比較普遍。教師把數(shù)學(xué)知識看作一種工具，為使學(xué)生正確熟練地掌握這種工具，通常采用的教學(xué)方法是“告知”和“示范”，這樣便失去了知識發(fā)生與發(fā)展的“過程性”“多樣性”以及與其他學(xué)科的“關(guān)聯(lián)性”，而“過程性”“多樣性”“關(guān)聯(lián)性”正是“變教為學(xué)”所倡導(dǎo)的“文化性”的重要體現(xiàn)。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“文化性”是相對于“工具性”而言的，[1]“文化性”的引入就是試圖改變對數(shù)學(xué)教學(xué)單一“工具性”的認(rèn)識。

“變教為學(xué)”倡導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行文化滲透，文化的精髓依附在數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程中，而不是知識的附庸，它在呈現(xiàn)形式上可以作為數(shù)學(xué)知識的具體情境，甚至是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容，使其成為學(xué)生數(shù)學(xué)活動和數(shù)學(xué)思考的具體對象。以“小數(shù)”為例，小數(shù)是依據(jù)人的需求與主觀意愿所發(fā)明的，它所蘊含的學(xué)習(xí)內(nèi)容及需要經(jīng)歷的學(xué)習(xí)活動，主要包括小數(shù)發(fā)生過程中所體現(xiàn)的必要性、發(fā)展過程中形式的多樣性和形成過程中表達(dá)方式的統(tǒng)一性、與其他知識聯(lián)系的廣泛性。[2]這些學(xué)習(xí)活動體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的“文化性”。

一、小數(shù)產(chǎn)生的必要性

隨著社會的發(fā)展，對數(shù)量表示的精確程度的要求逐漸提高。只用整數(shù)表示數(shù)量已不能滿足人們的需要，于是在所表示的數(shù)量的末尾附上“有余”“有奇”或“強(qiáng)”“弱”等字，以表示該數(shù)量與實際量之間的差異，當(dāng)需要用數(shù)來較為精確地表明這種差異的時候，就慢慢地形成了兩種表示方法：一種是用分?jǐn)?shù)來表示不足整數(shù)的剩余部分；另一種是發(fā)展度量衡系統(tǒng)，采用更小的度量衡單位來表示有關(guān)的量。[3]什么是度量衡？度量衡就是長度、容量和重量單位。起始的度量單位是比較大的，度量的結(jié)果比較粗疏，隨著社會的需要才慢慢精細(xì)起來，人們逐漸制定了一批越來越小的度量衡單位。魏晉時期數(shù)學(xué)家劉徽當(dāng)時在長度記法中采用的單位名稱為：丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽，單位在逐漸地減小，相鄰兩單位之間的進(jìn)率為10。雖然我國歷史上也有過非十進(jìn)的度量衡單位，如《漢書·律歷志》載有重量單位：石、鈞、斤、兩、銖，其進(jìn)制是1石=4鈞，1鈞=30斤，1斤=16兩，1兩=24銖，但十進(jìn)制的度量衡單位還是占主要地位的。由于我國很早就使用十進(jìn)制計數(shù)法，所以在度量衡的單位上也采用十進(jìn)制，這為小數(shù)的出現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)。

有了十進(jìn)制計數(shù)法、十進(jìn)制度量衡單位這樣的客觀基礎(chǔ)，又由于中算家研究的多為應(yīng)用題，所以解題結(jié)果都是有單位名稱的數(shù)，當(dāng)運算時遇到非整數(shù)問題，為使書寫形式簡潔而不提及小單位名稱，小數(shù)的概念就逐漸形成了。開始，人們在數(shù)字的后面加上小單位名稱，由于制造出太多的小單位無論在記憶上還是書寫上都較麻煩，如劉徽當(dāng)時就對“忽”以下的單位不再命名，稱為“微數(shù)”，相當(dāng)于現(xiàn)在的小數(shù)部分。實際上，只要在十進(jìn)制度量衡單位中認(rèn)定一個作為基本單位，那這個單位后面的數(shù)便是小數(shù)的各位數(shù)了。后來，人們逐漸用“分、厘、毫”這樣的單位來統(tǒng)一代表小數(shù)部分，如“分”代表小數(shù)十分位上的數(shù)，“厘”代表百分位上的數(shù)，“毫”代表千分位上的數(shù)。為進(jìn)一步追求形式的簡潔，人們逐漸把“分、厘、毫”等單位舍去，想辦法來區(qū)分整數(shù)部分和小數(shù)部分，經(jīng)過不斷的演變，慢慢地才使用今天的“小數(shù)點”來區(qū)分整數(shù)部分和小數(shù)部分?，F(xiàn)在所說的小數(shù)，其完整名稱應(yīng)為十進(jìn)小數(shù)，小數(shù)的出現(xiàn)標(biāo)志著十進(jìn)制計數(shù)法從整數(shù)擴(kuò)展到了非整數(shù)，使整數(shù)與非整數(shù)在形式上獲得了統(tǒng)一，所以說小數(shù)的本質(zhì)是十進(jìn)制數(shù)，它是整數(shù)的延伸，[4]如果以1為基本單位，向大的方向延伸就可以得到10、100、1000……向小的方向延伸就得到了0.1、0.01、0.001……因此在小數(shù)初步認(rèn)識時，可溝通其與整數(shù)的聯(lián)系，而不涉及與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系。

二、小數(shù)形式的多樣性

小數(shù)的表示由產(chǎn)生到現(xiàn)在的相對統(tǒng)一，經(jīng)歷了漫長的歷程，可以用王安石的一句詩來形容“看似平凡最崎崛，成如容易卻艱辛”。

在中國，小數(shù)的寫法主要有四種：第一種是依次給小數(shù)部分寫上名稱，一般情況下“分”代表小數(shù)十分位上的數(shù)，“厘”代表百分位上的數(shù)，“毫”代表千分位上的數(shù)。如公元400年左右《孫子算經(jīng)》卷下第二題：“今有丁一千五百萬，出兵四十萬，問幾丁科一兵？答曰：三十七丁五分。”答案中的“五分”指的是0.5丁，“丁”應(yīng)該是以整數(shù)計算的，不過作為數(shù)學(xué)答案，可以用小數(shù)來表示其精確計算的結(jié)果。這里是用“分”來專門表示小數(shù)的，“五分”有了明顯的小數(shù)概念。再如，古代計錢以“文”為最小單位，在《夏侯陽算經(jīng)》卷中“分祿料”記有：“新官分得五貫八百八十九文二分一厘六毫，舊官分得一貫四百七十二文三分四毫”，這里出現(xiàn)了“文”以下的小單位“分、厘、毫”，正是為了表達(dá)運算結(jié)果的精確性，二分一厘六毫就是0.216文，三分四毫就是0.304文。

第二種是在整數(shù)的個位下面注以單位名稱，南宋數(shù)學(xué)家秦九韶就把0.5尺寫成如圖1的形式，把4.608石寫成如圖2的形式，這里的“尺”“石”就成了整數(shù)部分和小數(shù)部分的分界，實質(zhì)上起到小數(shù)點的作用。

第三種是用位置來區(qū)分，南朝劉宋天文學(xué)家何承天在其編著的《宋書》律歷志部分，就已經(jīng)大量敘述了像十一萬八千二百九十六二十五（118296.25）、九萬四千三百五十七（94300.57）這樣的數(shù)，他是用小數(shù)部分比整數(shù)部分小一號的字體來表示的。此外，劉瑾在《律呂成書》（約1300年）中采用小數(shù)部分比整數(shù)部分降低一位的寫法，圖3是書中對小數(shù)106368.6312的記法，這是世界上最早的小數(shù)表示法。

第四種是在整數(shù)部分和小數(shù)部分間插入字，唐中宗天文學(xué)家南宮說在其《神龍歷》（705年）中把365.2448寫為三百六十五日余二十四奇四十八，這里的“余”字有小數(shù)點的意思。此外，丁巨也曾在整數(shù)與第一位小數(shù)之間插入一個“余”字，用來表示小數(shù)點。

由于中國使用算籌和大寫數(shù)字來表示數(shù)，因此主要用單位名稱來表示小數(shù)點，要出現(xiàn)現(xiàn)代形式的小數(shù)點是不大可能的。清代由于大量翻譯西方著作，西方的小數(shù)點也隨之引進(jìn)我國。康熙年間的《數(shù)理精蘊》（1723年）中已經(jīng)出現(xiàn)了現(xiàn)代的小數(shù)點，但還不是現(xiàn)代記法，如把52.43記作五二·四三。印度—阿拉伯?dāng)?shù)字最早出現(xiàn)在由美國傳教士狄考文和鄒立文合譯的《筆算數(shù)學(xué)》中，后由于封建保守思想，曾一度改回用漢字一、二、三，直到辛亥革命后印度—阿拉伯?dāng)?shù)字才在我國正式通行。小數(shù)在當(dāng)時表示的形式多樣，如12.3可表示為一二·三，一二.三，12·3，12.3。到20世紀(jì)20年代才形成今天的統(tǒng)一寫法，1925年出版的《數(shù)學(xué)辭典》中規(guī)定：“數(shù)字橫寫，小數(shù)點為小圓點，位置在個位右下方?！?/p>

隨著中國早期的十進(jìn)小數(shù)傳入印度并漸漸在世界傳播，其他國家開始陸續(xù)創(chuàng)造小數(shù)的表示方法，國外對小數(shù)符號的設(shè)計種類繁多。古印度數(shù)學(xué)家將小數(shù)部分的各數(shù)分別用圓圈圈出，如42.56表示為42⑤⑥。印度人將中國用文字分厘毫的表示法改為用圓圈圈出，這可以很明顯地區(qū)別出小數(shù)部分。1530年，德國數(shù)學(xué)家Rudolff用一條直豎線來隔開整數(shù)部分和小數(shù)部分，如36.75寫成36|75，這條豎線已經(jīng)蘊含著小數(shù)的概念。1585年，荷蘭工程師Stevin編寫的《論十進(jìn)小數(shù)》首次系統(tǒng)地論述了十進(jìn)小數(shù)的理論，書中開篇宣稱“本書教你如何進(jìn)行所有計算，這些計算只須用全體整數(shù)而無須用分?jǐn)?shù)就可以完成”，并給出小數(shù)的定義：“小數(shù)是基于十進(jìn)制而發(fā)明的一種算術(shù)，它使用普通的阿拉伯?dāng)?shù)字即可記載任何數(shù)，并且在人類事務(wù)中的所有運算可以完全不用分?jǐn)?shù)而只用整數(shù)來進(jìn)行。”[5]Stevin創(chuàng)造了小數(shù)的表示方法，他首先用一個符號☉把整數(shù)部分和小數(shù)部分分開，然后把①②③④⑤寫在數(shù)字的后方或上方來表示整數(shù)后邊的部分，例如8☉9①3②7③表示8.937。

1592年，瑞士數(shù)學(xué)家Burgi用一個空心小圓圈把整數(shù)部分和小數(shù)部分分開，比如把36.548表示為36。548。意大利數(shù)學(xué)家Clavius在《星盤》一書中首次使用了現(xiàn)代意義的小數(shù)點，即把小數(shù)點作為整數(shù)部分與小數(shù)部分分界的記號，他在后來1608年《代數(shù)學(xué)》中更明確地使用這種小數(shù)點，這就是用“點”表示小數(shù)記法的開始。1617年，英國數(shù)學(xué)家Napier在《小數(shù)計算法》中用“逗號”把整數(shù)與小數(shù)部分分開。英國數(shù)學(xué)家Briggs在1624年《對數(shù)算術(shù)》中又創(chuàng)立了一種小數(shù)符號，他在小數(shù)部分下面畫一條線，如把3.45寫成345，這條橫線雖然后來在歐洲小數(shù)記號中逐漸消失，但卻在中國一些財務(wù)記賬中被使用過，一般是在元以下的角分處畫上一條水平線。

現(xiàn)在世界上小數(shù)點的使用還沒有統(tǒng)一，歐洲大陸派（德、法、俄等）用逗號“，”作為小數(shù)點；英美派則用實心圓點“.”作為小數(shù)點，中國使用英美派記法。

三、小數(shù)與其他學(xué)科的聯(lián)系

小數(shù)在文學(xué)、經(jīng)濟(jì)、自然科學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用性。戰(zhàn)國末期楚國大才子宋玉在《登徒子好色賦》中描述了一位女子：“增之一分則太長，減之一分則太短?！彼]有直接描述這位女子的身高，而是從側(cè)面夸贊其身高恰到好處：再高一分就太高，再矮一分則又顯得太矮。那“一分”是多高呢？按照今天的度量標(biāo)準(zhǔn)，1尺≈0.333米，而1尺=100分，因此1分≈0.00333米。對于人的身高說，0.00333米的差異幾乎難以察覺，通過宋玉這番帶有夸張色彩的描述，可以想象到這個女子留給宋玉的印象很完美。俗語“一畝三分地”用小數(shù)表示是1.3畝，清朝時的皇帝為顯示對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的重視，每年到先農(nóng)壇耕地，其親耕的面積恰好是一畝三分。為什么定為“一畝三分”？有一種說法是中國古代把數(shù)字一三五七九看作陽數(shù)，一和三為陽數(shù)中最小的兩個數(shù)，皇帝既要親耕又不能太勞累，所以定個最小面積作為耕田。后來人們將個人利益或個人勢力范圍稱為“一畝三分地”。

在經(jīng)濟(jì)生活里，小數(shù)發(fā)揮著重要作用，如商品銷售中的尾數(shù)定價策略，即制定非整數(shù)價格，以零頭數(shù)結(jié)尾。這樣給人的感覺首先是便宜，易于接受，如標(biāo)價99.98元的商品和100.08元的商品，雖然僅相差0.1元，但前者使人感覺還不到100元，后者卻使人認(rèn)為100多元；其次是精確，帶有尾數(shù)的定價使消費者認(rèn)為商品定價是非常認(rèn)真、精確的，連幾角幾分都算得如此清楚，進(jìn)而產(chǎn)生一種信任感。

在自然科學(xué)中，小數(shù)有著舉足輕重的作用，如果不給予重視，那么重大發(fā)明也許會擦肩而過，或者造成重大損失。電話機(jī)發(fā)明者貝爾曾說，他是借助科學(xué)家萊斯的試驗而成功發(fā)明電話機(jī)的。原來，萊斯在貝爾之前已經(jīng)研制出一種利用電流進(jìn)行傳聲的裝置，但是這個裝置僅能單向傳送，不能雙向交談。當(dāng)貝爾發(fā)現(xiàn)了萊斯裝置中的不足后，經(jīng)過分析研究，最后只將萊斯裝置上的一顆螺絲往里擰了半圈，也就是0.0005米，話聲就能相互傳遞了。就這樣，0.0005米的細(xì)微之差，誕生了世界上第一部真正的電話機(jī)。這個結(jié)果令萊斯瞠目結(jié)舌，雖然他突破了電流傳聲技術(shù)，但卻在離成功發(fā)明電話機(jī)0.0005米的地方失敗了。

四、“小數(shù)的初步認(rèn)識”學(xué)習(xí)活動單

在“變教為學(xué)”的背景下，以“改變教學(xué)單一的工具性，使數(shù)學(xué)教學(xué)呈現(xiàn)文化性”為出發(fā)點，設(shè)計了“小數(shù)的初步認(rèn)識”學(xué)習(xí)活動單。

活動一：一袋牛奶的價格是1元9角8分，你有其他的表示方法嗎？自己試試寫出來，然后與同伴交流。

活動二：你認(rèn)為哪一種方法最好？把自己的想法說給同伴聽。

活動三：請你嘗試讀一讀1.98、0.50、1.06，說一說你發(fā)現(xiàn)了什么？

活動四：你認(rèn)為小數(shù)和整數(shù)的相同點和不同點是什么？先獨立思考，再與同伴交流。

活動五：利用小數(shù)表示“一畝三分地”（1畝=10分），讀一讀你寫的小數(shù)，并說說你對這個詞語的看法。

活動六：生活中“小數(shù)”無處不在，請你課后找一找，記錄下來，并和同伴分享。

活動設(shè)計說明：活動一的目的是讓學(xué)生用不同的方法來表示1元9角8分，從而經(jīng)歷小數(shù)的產(chǎn)生過程，感受小數(shù)產(chǎn)生的必要性?；顒佣亲寣W(xué)生對不同的小數(shù)表示方法進(jìn)行理解與比較，在比較的過程中感悟小數(shù)形式的多樣性，體會現(xiàn)在小數(shù)表示方法的簡潔性?；顒尤ㄟ^讓學(xué)生自己嘗試讀小數(shù)，從中發(fā)現(xiàn)小數(shù)和整數(shù)在讀法上有哪些區(qū)別?；顒铀氖菤w納與概括的思考過程，使學(xué)生體會小數(shù)的本質(zhì)是整數(shù)的延伸，都是十進(jìn)制數(shù)。活動五是將小數(shù)與語文中的詞語建立聯(lián)系，同時將中華傳統(tǒng)文化也滲透到了數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生既可以體會數(shù)學(xué)與其他學(xué)科存在著聯(lián)系，也可以領(lǐng)略到中華傳統(tǒng)文化的魅力?；顒恿亲寣W(xué)生尋找生活中的小數(shù)，將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系在一起，旨在讓學(xué)生善于觀察生活，帶著問題走入課堂，帶著問題走出課堂。

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（河北省成安縣第一中學(xué) 056700）