孫小菱?陳銀蓮

〔摘要〕近年來，錯(cuò)誤樣例成為國內(nèi)外樣例學(xué)習(xí)研究中備受關(guān)注的一個(gè)新方向。文章介紹了錯(cuò)誤樣例的概念，理論基礎(chǔ)，以及在國內(nèi)外數(shù)學(xué)領(lǐng)域中已有的研究成果，同時(shí)，提出錯(cuò)誤樣例對我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示。

〔關(guān)鍵詞〕樣例學(xué)習(xí)；錯(cuò)誤樣例；數(shù)學(xué)錯(cuò)誤；認(rèn)知負(fù)荷

〔中圖分類號〕G44 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕A 〔文章編號〕1671-2684（2016）20-0009-03

樣例學(xué)習(xí)就是“從例子中學(xué)（Learning from worked examples）”，是指一般呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者至少兩個(gè)以上加工過的例子，讓其從中習(xí)得隱含的規(guī)則或深層知識，以此遷移來解決新問題的學(xué)習(xí)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，樣例學(xué)習(xí)已經(jīng)被普遍證實(shí)是一種非常有效的學(xué)習(xí)方式，尤其是在好的樣例設(shè)計(jì)以及學(xué)習(xí)者積極主動(dòng)地自我解釋樣例的時(shí)候，可以減輕學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，提高學(xué)習(xí)效果。

樣例學(xué)習(xí)的樣例一般都被傳統(tǒng)地認(rèn)為是正確的樣例，但即便我們學(xué)習(xí)的是正確樣例，也有可能導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)產(chǎn)生錯(cuò)誤的知識。在樣例學(xué)習(xí)中，除了可以對正確樣例進(jìn)行設(shè)計(jì)之外，還可以在樣例組合中加入適量的錯(cuò)誤樣例，可以加強(qiáng)學(xué)生對正、誤樣例的對比，從而避免錯(cuò)誤發(fā)生，提高樣例的學(xué)習(xí)效果，這也是一個(gè)好的學(xué)習(xí)方法。同時(shí)，在樣例的解題步驟中設(shè)置錯(cuò)誤，可以加深學(xué)習(xí)者對樣例的思考，誘發(fā)學(xué)習(xí)者產(chǎn)生更多的自我解釋活動(dòng)，增加相關(guān)認(rèn)知負(fù)荷，從而能提高學(xué)習(xí)遷移的效果。眾多理論和實(shí)證研究表明錯(cuò)誤樣例可以提高學(xué)習(xí)效果。因此，近年來，錯(cuò)誤樣例成為國內(nèi)外樣例學(xué)習(xí)研究中備受關(guān)注的一個(gè)新方向。

數(shù)學(xué)學(xué)科本身強(qiáng)調(diào)邏輯思辨性與知識的精確性，而在學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)錯(cuò)誤又不可避免，因此，使用錯(cuò)誤樣例教學(xué)的優(yōu)勢明顯。錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)是將錯(cuò)誤分析融入到學(xué)習(xí)資料設(shè)計(jì)中，而補(bǔ)救教學(xué)則是在學(xué)生犯錯(cuò)之后再進(jìn)行錯(cuò)誤分析，相對而言，錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)是一種更加主動(dòng)、積極處理錯(cuò)誤的學(xué)習(xí)方法。利用好數(shù)學(xué)錯(cuò)誤樣例不但能夠提高學(xué)生思維與認(rèn)知能力，還能增強(qiáng)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣與信心。與此同時(shí)，數(shù)學(xué)錯(cuò)誤樣例資源還有利于教師對教學(xué)進(jìn)行自我診斷和治療，改善教學(xué)，促進(jìn)專業(yè)成長。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何將錯(cuò)誤樣例作為教學(xué)資源充分利用，也是一個(gè)非常重要的課題。

一、錯(cuò)誤樣例的概念

錯(cuò)誤樣例（erroneous examples）是指樣例的解題方案中包含一個(gè)或者多個(gè)錯(cuò)誤，要求學(xué)習(xí)者去辨別，解釋或者改正錯(cuò)誤，以促進(jìn)學(xué)習(xí)效果的例題[1]。通常情況下，在學(xué)習(xí)的初始階段就呈現(xiàn)錯(cuò)誤樣例可能不是很有用，因此錯(cuò)誤樣例是在提供正確的例題之后，再呈現(xiàn)給學(xué)習(xí)者錯(cuò)誤的解題方法以鞏固學(xué)習(xí)者已經(jīng)習(xí)得的知識[2]。

當(dāng)我們的學(xué)習(xí)目標(biāo)是正確地解決問題的時(shí)候，向?qū)W習(xí)者呈現(xiàn)錯(cuò)誤可能是不可思議的做法，那為什么要探究錯(cuò)誤樣例的潛在作用呢？下面是幾點(diǎn)理由：（1）錯(cuò)誤是學(xué)習(xí)中重要的一部分，卻常常被傳統(tǒng)教育所忽略，錯(cuò)誤可以提供重要的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)，因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)者進(jìn)行思考的時(shí)候，附帶錯(cuò)誤可以使他們的反思和自我解釋更加全面。例如，Vanlehn在他的認(rèn)知技能獲得三階段理論中表明錯(cuò)誤可以引起反思，反過來也可以促進(jìn)學(xué)習(xí)者對問題更深的理解；（2）正確和錯(cuò)誤知識的呈現(xiàn)會(huì)引起學(xué)習(xí)者的認(rèn)知沖突，因此可以促進(jìn)學(xué)習(xí)者建構(gòu)一個(gè)平衡一致的知識結(jié)構(gòu)；（3）錯(cuò)誤樣例能增強(qiáng)學(xué)生的內(nèi)部動(dòng)機(jī)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)樣例中錯(cuò)誤的過程本身就是積極而有趣味的，檢查錯(cuò)誤也能集中學(xué)習(xí)者的注意力。同時(shí)，在錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者是處于旁觀者的角度審視他人的錯(cuò)誤，這和分析自身的錯(cuò)誤相比，能減少學(xué)習(xí)者的焦慮情緒。

二、錯(cuò)誤樣例的理論基礎(chǔ)

（一）試誤說

學(xué)習(xí)的本質(zhì)是一種 “嘗試錯(cuò)誤” 的過程，而教學(xué)，則是引導(dǎo)學(xué)習(xí)行為不斷修正的過程。美國教育家 Edward L.Thorndike 通過一系列的動(dòng)物試驗(yàn)得出的 “嘗試錯(cuò)誤理論”，對這一問題的解決提供了很多啟示：在重復(fù)的嘗試中，錯(cuò)誤的反應(yīng)逐漸被擯棄，正確的反應(yīng)則不斷得到加強(qiáng)，直至最后形成固定的 “刺激—反應(yīng)聯(lián)結(jié)”。

（二）建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，錯(cuò)誤是理想性的學(xué)習(xí)和發(fā)展軌道的一部分，為什么構(gòu)成錯(cuò)誤，如何構(gòu)成錯(cuò)誤，與怎樣構(gòu)成正確的答案一樣重要。學(xué)生的錯(cuò)誤不可能單獨(dú)依靠正面示范和反復(fù)練習(xí)得以矯正，必須是經(jīng)過一個(gè)“自我否定 ”的過程。而“自我否定”又以自我反省，特別是內(nèi)在的“觀念沖突”作為必要的前提。利用學(xué)生的錯(cuò)誤資源，引發(fā)這種“觀念沖突”，能促使學(xué)生對已完成的思維過程進(jìn)行周密且有批判性的反思。

（三）認(rèn)知技能獲得理論模型

根據(jù)認(rèn)知技能獲得理論模型通過錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)這樣的程序可以促進(jìn)學(xué)習(xí)效果。例如，Vanlehn在他的CASCADE理論中表明，在技能獲得的初始階段也是理解的關(guān)鍵階段，設(shè)置一些問題障礙（也即是廣義上的錯(cuò)誤或者缺乏全面的理解，例如陷入死角，注意到錯(cuò)誤，或者對一些事情不確定）可以引起學(xué)習(xí)者的思潮。更具體地說，他推測在他的障礙—驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)（impasse-driven learning）理論的框架中，錯(cuò)誤可以引起反思（例如自我解釋），反過來又可以導(dǎo)致更深的理解。因此，在錯(cuò)誤的樣例中包含起引導(dǎo)作用的障礙應(yīng)該可以促進(jìn)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)思潮以及學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

（四）認(rèn)知負(fù)荷理論

認(rèn)知負(fù)荷理論（Cognitive Load Theory）認(rèn)為，任何教學(xué)中都會(huì)引起三種不同類型的認(rèn)知負(fù)荷：內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷（intrinsic load）、外在認(rèn)知負(fù)荷（extraneous load）和有效認(rèn)知負(fù)荷（germane load）。內(nèi)在認(rèn)知負(fù)荷是指工作記憶對學(xué)習(xí)任務(wù)本身所包含的信息元素（如概念、規(guī)則的基本成分）的復(fù)雜性進(jìn)行認(rèn)知加工所承受的認(rèn)知負(fù)荷。外在認(rèn)知負(fù)荷也稱為無效負(fù)荷或無關(guān)負(fù)荷，指由學(xué)習(xí)材料的組織和呈現(xiàn)方式不當(dāng)施加給工作記憶的負(fù)荷。有效認(rèn)知負(fù)荷是指由學(xué)習(xí)材料的組織和呈現(xiàn)形式所引起的有利于信息加工與獲得的認(rèn)知負(fù)荷。有效認(rèn)知負(fù)荷往往是由學(xué)習(xí)過程中用于建構(gòu)圖式或圖式自動(dòng)化活動(dòng)所引起的，例如，學(xué)習(xí)者對樣例的自我解釋與理解活動(dòng)，它促使學(xué)習(xí)者把有限的認(rèn)知資源分配到有效的學(xué)習(xí)活動(dòng)中去，這是有意義的學(xué)習(xí)過程必需的認(rèn)知活動(dòng)。根據(jù)認(rèn)知負(fù)荷理論，如果適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用錯(cuò)誤樣例，會(huì)增加學(xué)習(xí)者的自我解釋活動(dòng)，增加學(xué)習(xí)者的有效認(rèn)知負(fù)荷，就有利于學(xué)習(xí)效果。

三、錯(cuò)誤樣例在國內(nèi)外數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)研究

（一）錯(cuò)誤樣例在國外數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)研究

Borasi[3]通過教育改革實(shí)踐，指出了錯(cuò)誤在數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要作用。他在教學(xué)中設(shè)計(jì)“錯(cuò)誤跳板探究學(xué)習(xí)”，探索初中生如何有效利用錯(cuò)誤來激發(fā)數(shù)學(xué)探究，通過鼓勵(lì)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行批判性思考，來激發(fā)反思和探究。結(jié)果表明，討論錯(cuò)誤能提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。

Siegler提出了一個(gè)理論模型，他假定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是可以這樣促進(jìn)的：（1）提高正確解題的概率；（2）降低錯(cuò)誤解題的概率。這就為自我解釋為什么不正確的解題方法是錯(cuò)誤的這種學(xué)習(xí)方式對學(xué)習(xí)結(jié)果的積極作用提供了依據(jù)。事實(shí)上，Sielger表明兒童能從被要求既解釋正確樣例又解釋錯(cuò)誤樣例的學(xué)習(xí)方式中獲益更多，相比較只要求解釋為什么正確的解題方案是正確的學(xué)習(xí)方式。Siegler及其同事關(guān)于數(shù)學(xué)排水問題的研究也表明，有自我解釋的錯(cuò)誤樣例更有顯著效果。

van Dooren等人在他們的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課上讓學(xué)生討論了有關(guān)錯(cuò)誤的解題方案的問題，明確表明錯(cuò)誤樣例可以促進(jìn)學(xué)習(xí)效果。Grosse和Renkl[2]用有關(guān)概率計(jì)算的實(shí)驗(yàn)材料做的實(shí)驗(yàn)研究也表明了錯(cuò)誤樣例的學(xué)習(xí)效益，但是只是對那些具有很強(qiáng)的先驗(yàn)知識的學(xué)習(xí)者和對遠(yuǎn)遷移學(xué)習(xí)來說。

Melis[4]分析了在數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)中為什么以及怎么樣使用錯(cuò)誤樣例才是有效的。“為什么”主要強(qiáng)調(diào)了錯(cuò)誤樣例對學(xué)習(xí)是很有用的，而且也是所有數(shù)學(xué)應(yīng)用程序以及數(shù)學(xué)自身非常需要的。“怎么樣”的問題強(qiáng)調(diào)了利用錯(cuò)誤樣例的教學(xué)策略以及在的Active Math（數(shù)學(xué)自助網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)系統(tǒng)）環(huán)境下的實(shí)現(xiàn)。Melis 和Kriesell[5]對小學(xué)生分?jǐn)?shù)概念進(jìn)行錯(cuò)誤樣例練習(xí)研究，結(jié)果表明，有錯(cuò)誤樣例的學(xué)習(xí)小組成績顯著。Tsovaltzi等人[6]通過ActiveMath網(wǎng)絡(luò)教學(xué)系統(tǒng)向?qū)W生們呈現(xiàn)其他學(xué)生犯的普遍的錯(cuò)誤，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明有反饋的錯(cuò)誤樣例是有益的，并且在ActiveMath網(wǎng)絡(luò)教學(xué)系統(tǒng)下呈現(xiàn)錯(cuò)誤樣例不會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩情緒。

一些跨文化研究（如TIMSS和PISA）已經(jīng)表明了西方國家（如美國和德國）學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)要比亞洲國家（如中國和日本）學(xué)生得更差，是因?yàn)閬喼迖业臄?shù)學(xué)課程經(jīng)常包括對錯(cuò)誤解題方案的詳細(xì)分析和討論。

（二）錯(cuò)誤樣例在國內(nèi)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)研究

近年來，在國內(nèi)，錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)的研究也正在數(shù)學(xué)領(lǐng)域逐步展開。孫小菱[7]對大學(xué)生概率知識錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)的研究表明錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)是一種有效的學(xué)習(xí)方式，但是需要具體地考慮到錯(cuò)誤樣例特征的設(shè)計(jì)以及學(xué)習(xí)者的原有知識水平，才能更好地突顯出錯(cuò)誤樣例的學(xué)習(xí)效益。王蒙等人[8]通過對小學(xué)生學(xué)習(xí)減法計(jì)算錯(cuò)誤樣例的研究發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)能促進(jìn)中低成就學(xué)生概念性知識的獲取和程序性知識的遠(yuǎn)近遷移。孫璪、曹建娣和姚靜[9]研究了錯(cuò)誤樣例對高中生學(xué)習(xí)排列組合的影響，結(jié)果表明錯(cuò)誤樣例對學(xué)習(xí)排列組合有較好的效果。

四、錯(cuò)誤樣例對數(shù)學(xué)教學(xué)的教育啟示

（一）教師要善于利用錯(cuò)誤

在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，錯(cuò)誤樣例的作用已經(jīng)得到了證實(shí)。那么在我國數(shù)學(xué)教材編排、課堂教學(xué)或練習(xí)中，科學(xué)合理地設(shè)計(jì)和安排錯(cuò)誤樣例成為促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，提高學(xué)習(xí)效果的重要措施。教師應(yīng)該根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與目標(biāo)，選擇典型錯(cuò)誤，讓學(xué)生從發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤到改正錯(cuò)誤，從易到難地引導(dǎo)學(xué)生探究，從而避免錯(cuò)誤的出現(xiàn)，提高學(xué)生對知識本身的認(rèn)識和理解。錯(cuò)誤樣例練習(xí)題可以是選擇題式，也可以是問答題式，可以包含反饋或錯(cuò)誤標(biāo)記等。錯(cuò)誤樣例的呈現(xiàn)可以通過課堂集體剖析的方式，也可以通過課后練習(xí)環(huán)節(jié)自主分析的方式。當(dāng)然，教師還可開發(fā)更多的錯(cuò)誤樣例呈現(xiàn)方式，如對錯(cuò)誤樣例進(jìn)行加工歸類，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)錯(cuò)誤樣例專題練習(xí)集，制作數(shù)學(xué)錯(cuò)誤樣例專題網(wǎng)站等，由學(xué)習(xí)者根據(jù)自己的興趣愛好或知識薄弱點(diǎn)自主選擇學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，減少焦慮情緒，促進(jìn)其自我學(xué)習(xí)、自我評價(jià)、自我診斷、自我治療，從而提高學(xué)習(xí)效果。

在這里需要注意的是，雖然錯(cuò)誤樣例對于培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑、探索意識有積極作用，但錯(cuò)誤樣例并不能完全代替正確樣例。新知識的獲得不能脫離正確樣例的示范，且錯(cuò)誤樣例一般不應(yīng)在學(xué)習(xí)的初始階段使用，因此在新知識學(xué)習(xí)過程中，錯(cuò)誤樣例的使用應(yīng)該適當(dāng)，否則會(huì)得不償失。

（二）學(xué)生要學(xué)會(huì)知錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)、改錯(cuò)

錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)包括三個(gè)認(rèn)知加工過程：發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、解釋錯(cuò)誤和改正錯(cuò)誤，對應(yīng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師則應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生針對錯(cuò)題要知錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)和改錯(cuò)。知錯(cuò)就是讓學(xué)生自己檢查哪里出了錯(cuò)；認(rèn)錯(cuò)就是讓學(xué)生認(rèn)真分析錯(cuò)誤的原因，找到是在哪個(gè)知識點(diǎn)出了錯(cuò)；改錯(cuò)就是讓學(xué)生在找到錯(cuò)誤原因的基礎(chǔ)上，把錯(cuò)誤之處改正過來。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可通過課堂教學(xué)或者練習(xí)帶領(lǐng)學(xué)生集體剖析典型錯(cuò)誤，帶著學(xué)生找錯(cuò)誤，分析錯(cuò)誤原因，以及改正錯(cuò)誤，不斷強(qiáng)調(diào)錯(cuò)誤樣例的學(xué)習(xí)價(jià)值，久而久之，讓學(xué)生自主養(yǎng)成知錯(cuò)、認(rèn)錯(cuò)、改錯(cuò)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，從而避免錯(cuò)誤的出現(xiàn)，不斷加強(qiáng)對知識本身的掌握。

新課程改革強(qiáng)調(diào)以人為本，注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的主體意識，倡導(dǎo)自主、合作和探究性的學(xué)習(xí)方式，倡導(dǎo)學(xué)習(xí)方式的多樣化，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)活動(dòng)能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生自主探究的積極性，產(chǎn)生的認(rèn)知沖突能夠激發(fā)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，同時(shí)可以提高學(xué)生的質(zhì)疑精神和探究能力，使學(xué)生能夠更加牢固地掌握知識，這正符合新課程改革的理念，對落實(shí)新課程改革也有積極的借鑒意義。

參考文獻(xiàn)

[1]Tsovaltzi D，Mclaren B M，Melis E，et al. Learning from erroneous examples[C]Intelligent Tutoring Systems，International Conference，ITS 2010，Pittsburgh，Pa，Usa，June 14-18，2010，Proceedings. 2010：420-422.

[2]Grosse C S，Renkl A. Finding and fixing errors in worked examples：Can this foster learning outcomes？[J]. Learning & Instruction，2007，17（6）：612-634.

[3]Borasi R. Capitalizing on Errors as "Springboards for Inquiry"：A Teaching Experiment[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1994，25（2）：166-208.

[4]Melis E. Erroneous Examples as a Source of Learning in Mathematics[C]. Cognition and Exploratory Learning in Digital Age. 2004：311-318.

[5]Melis E，Kriesell D. Effects of Erroneous Examples Results of a Preliminary School Experiment[Z].Retrieved from http：//www.activemath. org，2009.

[6]Tsovaltzi D，Melis E，Mclaren B M，et al. Erroneous Examples：A Preliminary Investigation into Learning Benefits[J]. Lecture Notes in Computer Science，2009，5794：688-693.

[7]孫小菱.錯(cuò)誤樣例與自我解釋對大學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)遷移的影響[D].浙江師范大學(xué)，2012.

[8]王蒙，楊宗凱，劉三，等. 中低成就低年級學(xué)生的錯(cuò)誤樣例學(xué)習(xí)研究[J]. 教育研究與實(shí)驗(yàn)，2015（6）：28-33.

[9]孫璪，曹建娣，姚靜. 錯(cuò)誤樣例對高中生學(xué)習(xí)排列組合的影響[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（1）：17-19.