沈金葉（南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

一類分形插值函數(shù)的積分和分數(shù)階積分的性質(zhì)

沈金葉①
（南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，江蘇 南京 210023）

文章研究一類具有函數(shù)縱向尺度因子的分形插值函數(shù)的積分性質(zhì).在一定條件下，證明了這類分形插值函數(shù)的積分仍是一類分形插值函數(shù)，同時，研究當(dāng)縱向尺度因子發(fā)生擾動時，相應(yīng)的分形插值函數(shù)及其分數(shù)階積分的擾動誤差估計問題.結(jié)果表明，這類分形插值函數(shù)及其分數(shù)階積分對函數(shù)參量的輕微擾動不敏感.

分形插值函數(shù)；分數(shù)階積分；擾動誤差

0　引言

分形插值方法［1］是分形理論中的一種重要的數(shù)值方法，它與傳統(tǒng)的插值方法有本質(zhì)的不同，是迭代函數(shù)系（Iterated Function System，IFS）理論在數(shù)值分析領(lǐng)域的全新應(yīng)用.現(xiàn)在，分形插值方法已成為數(shù)據(jù)擬合、函數(shù)逼近和計算機應(yīng)用等領(lǐng)域的重要理論工具和數(shù)值分析方法.分形插值方法中使用的分形插值函數(shù)（Fractal Interpolation Function，F(xiàn)IF）通常是連續(xù)而不可微的，難以用經(jīng)典的微積分刻畫其分析性質(zhì).許多學(xué)者研究了FIF的維數(shù)計算、微積分性質(zhì)、光滑性、穩(wěn)定性和誤差估計等問題［2-5］.已有研究表明，F(xiàn)IF中一組重要的參數(shù)，即縱向尺度因子對FIF的性質(zhì)有著決定性的影響［6-7］，因此，研究縱向尺度因子的變化所引起FIF的變化尤為重要.文獻［8-9］深入研究了縱向尺度因子的變化是如何影響FIF的形態(tài)和性質(zhì)等方面的問題.在這些研究的基礎(chǔ)上，本文主要討論一類具有函數(shù)縱向尺度因子的FIF的積分和分數(shù)階積分的性質(zhì).證明了這類FIF的積分仍然是一類FIF，給出了由縱向尺度因子變化所引起的FIF及其分數(shù)階積分的誤差估計.

1　一類具有函數(shù)縱向尺度因子的分形插值函數(shù)的積分

文獻［9］研究了這類具有函數(shù)縱向尺度因子的FIF的若干解析性質(zhì).下面證明這類FIF的積分仍是一類FIF.

證明由（5）式得

由（4）式得

于是

所以，從（6）式設(shè)

綜上，可得到

由定理條件可知，aD+D′＜1，所以T是壓縮映射，故有唯一的不動點?滿足

2　FIF及其分數(shù)階積分的擾動誤差估計

引理 1［9］設(shè)是由IFS（3）式確定的FIF記

定理2設(shè) f和 fε分別是由IFS（3）式和IFS（11）式確定的分形插值函數(shù)，記

若0＜D+ε＜1，則

證明

類似可得

為了討論縱向尺度因子的擾動對FIF的分數(shù)階積分的影響，我們先介紹一種分數(shù)階積分的定義.

證明?x∈I，v＞0，應(yīng)用式（12），有

定理2和定理3分別給出了具有函數(shù)縱向尺度因子的IFS所產(chǎn)生的FIF在縱向尺度因子發(fā)生擾動時，相應(yīng)的FIF及其分數(shù)階積分的誤差估計.結(jié)果表明，F(xiàn)IF及其分數(shù)階積分是依賴于擾動函數(shù)的變化而連續(xù)變化的，意味著FIF及其分數(shù)階積分對函數(shù)縱向尺度因子的輕微擾動不敏感.這些結(jié)論對這類FIF的實際應(yīng)用有重要意義.

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Properties of Integrals and Fractional Integrals for a Class of Fractal Interpolation Functions

SHEN Jinye
（School of Applied Mathematics，Nanjing University of Finance and Economics，210023，Nanjing，Jiangsu，China）

This paper discusses the integral characteristics of a class of fractal interpolation functions with function vertical scaling factors.It is proved that the integrals of the class of FIFs are also a class of FIFs in some situations.At the same time，the perturbation errors of both the FIFs and their fractional integrals caused by the perturbation of the vertical scaling factors are investigated.The results show that the class of FIFs and their fractional integrals are not sensitive to the slight perturbations of the parameters of FIFs.

fractal interpolation function；fractional integral；perturbation error

O 174.4

A

2095-0691（2016）02-0012-05

2016-01-20

沈金葉（1991-），女，四川成都人，碩士生，研究方向：分形理論及應(yīng)用.