胡　曄，程　芳①（呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 呂梁 033001）

時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的Hadamard積分逼近及收斂性分析

胡曄，程芳
①
（呂梁學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 呂梁 033001）

Hadamard積分是離散時間分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的有效數(shù)值方法之一.文章給出Hadamard積分離散分?jǐn)?shù)階時間項的具體計算過程，方法適用于高次插值情形，結(jié)合有限元方法求解時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程，數(shù)值試驗驗證了結(jié)果的有效性.

Hadamard積分；有限元方法；時間分?jǐn)?shù)階；收斂性分析

0　引言

分?jǐn)?shù)階微積分更能準(zhǔn)確地刻畫復(fù)雜物理過程空間全域相關(guān)性和時間記憶性，因此分?jǐn)?shù)階偏微分方程近些年被廣泛應(yīng)用于圖像處理、電磁學(xué)、粘彈性建模、材料力學(xué)、反常擴散等領(lǐng)域.一般來說，分?jǐn)?shù)階偏微分方程的解析解不易得到，即使能夠求出也是通過一些比較特殊的函數(shù)表示，甚至某些非線性問題的解析解不可能被求出，所以數(shù)值方法被廣泛應(yīng)用，如有限差分法［1-2］、有限元法［3-5］、譜方法［6］等.

考慮如下Riamann-Liouville型的分?jǐn)?shù)階偏微分方程的數(shù)值問題，

一般來說，如果右端源項充分光滑，對于0＜α＜1情形，當(dāng)初值u0（x）=0，則Riamann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)與Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)等價［7-8］.其中Dielthlm提出一類借助于Hadamard積分離散Riamann-Liouville導(dǎo)數(shù)的數(shù)值算法［9］，但是沒有給出具體的系數(shù)計算過程.本文基于此給出具體的計算過程，并給出分?jǐn)?shù)階時間離散的收斂性分析，結(jié)合空間上有限元理論［10］給出全離散格式，最后通過數(shù)值實驗驗證結(jié)果.

1　算法及收斂性分析

1.1有限部分積分法

由Riamann-Liouville導(dǎo)數(shù)定義，

設(shè)tj-τ=tjw，得到

因此分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)離散格式［9］為

由于文獻(xiàn)［9］中沒有給出系數(shù)αkj詳細(xì)推導(dǎo)過程，因此給出具體證明如下.

引理1.1［9］對于符合求積公式離散后的系數(shù)αkj滿足

證明考慮

令k=j-1，有

綜上所述，引理證畢，證明思路同樣適用于高階情形.

1.2時間分?jǐn)?shù)階離散的收斂性

經(jīng)過以上推導(dǎo)，對于（2）式中Riamann-Liouville導(dǎo)數(shù)項離散為

引理1.2［9］設(shè)）分別為方程（1）的近似解和準(zhǔn)確解，則有

引理1.3［9］設(shè)Uj（x）為方程（1）的近似解，則有

2　有限元空間離散

下面考慮空間上的有限元逼近，記Sh為分片線性光滑函數(shù)有限元空間，則）為［0，1］上

分片線性連續(xù)函數(shù)｝，

設(shè)Ph：H→Sh為L2投影算子，定義

結(jié)合上述對時間分?jǐn)?shù)階離散的Hadamard有限部積分法，空間離散的有限元法采用Vidar Thomee拋物方程的有限元離散收斂性分析［11］，容易得到如下定理成立.

定理1設(shè)Uj（x）與u（tj，x）分別為方程（1）的近似解和準(zhǔn)確解，則有

3　數(shù)值實驗

算例考慮如下的分?jǐn)?shù)階偏微分方程問題，

圖1準(zhǔn)確值圖像

圖2近似值圖像

圖3誤差分析圖像

4　結(jié)論

本文給出Hadamard積分離散時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的具體計算過程，此思路可以推廣到高次插值逼近，并得到高精度的收斂性，同時通過有限元方法離散空間項，最終給出全離散格式的求解，數(shù)值實驗驗證了結(jié)果的有效性.

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Time Fractional Order Partial Differential Equation of the Hadamard Integral Approximation and Convergence Analysis

HU Ye，CHENG Fang
（Department of Mathematics，Lüliang University，033001，Lüliang，Shanxi，China）

Hadamard integral is one of the effective numerical method of discrete time fractional order deriva?tives.In this paper，a concrete calculation process of Hadamard integral discretization is presented，which is suitable for the high order interpolation，and combined with the finite element method，time fractional order partial differential equations is solved.Numerical tests are provided to illustrate the results.

Hadamard integral；finite element method；time fractional order；convergence analysis

O 241.82

A

2095-0691（2016）02-0008-04

2015-11-23

胡曄（1983- ），男，安徽銅陵人，助教，博士生，主要研究方向為偏微分方程數(shù)值解.