司偉建, 禹　芳, 曲志昱, 米勝男

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于非圓信號(hào)特征的實(shí)值張量ESPRIT算法

司偉建, 禹芳, 曲志昱, 米勝男

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

基于最大非圓率非圓信號(hào)特點(diǎn),提出一種實(shí)值張量旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniques,ESPRIT)算法。首先,通過(guò)研究張量與矩陣之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,將陣列接收數(shù)據(jù)矩陣推廣到張量空間;然后,利用歐拉公式將陣列接收數(shù)據(jù)張量轉(zhuǎn)化成余弦與正弦數(shù)據(jù)張量,根據(jù)陣列維數(shù)將其分別在各維上加以拼接,并對(duì)拼接的實(shí)值數(shù)據(jù)張量做高階奇異值分解,獲取信號(hào)子空間;最后,通過(guò)構(gòu)造選擇矩陣和進(jìn)行特征分解,來(lái)聯(lián)合估計(jì)陣列各維相位差,實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向估計(jì)。實(shí)驗(yàn)仿真結(jié)果表明,此算法具有良好的分辨力和測(cè)角精度。

波達(dá)方向估計(jì); 非圓信號(hào); 高階奇異值分解; 張量; 旋轉(zhuǎn)不變子空間算法

0　引　言

基于子空間的測(cè)向技術(shù)[1]由于高精度高分辨性能,備受人們關(guān)注。近年來(lái),許多學(xué)者利用非圓信號(hào)的特性[2-3]來(lái)提高子空間算法的測(cè)向性能,且可測(cè)信源數(shù)也加倍。目前所提出的基于非圓信號(hào)的多重信號(hào)分類(multiplesignalclassificationfornon-circularsignals,NC-MUSIC)算法[4]和基于非圓信號(hào)的旋轉(zhuǎn)不變子空間(estimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniquesfornon-circularsignals,NC-ESPRIT)算法[5],其中NC-MUSIC算法需要進(jìn)行譜峰搜索,計(jì)算量大,而NC-ESPRIT算法只需構(gòu)造旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,就能達(dá)到高精度高速率。文獻(xiàn)[6]提出一種基于非圓信號(hào)的實(shí)值ESPRIT算法,該方法只適用于一維估計(jì)。在現(xiàn)代信息轟炸的時(shí)代,一維估計(jì)已經(jīng)不再滿足工程需求,需要將子空間算法向高維推廣。而目前的二維ESPRIT算法多是拘泥于天線陣列的擺放形式[7-9],文獻(xiàn)[10]提出的基于非圓信號(hào)的多維ESPRIT類算法,可以對(duì)空間多個(gè)頻率進(jìn)行聯(lián)合估計(jì),但估計(jì)精度一般。引入數(shù)學(xué)工具張量[11-12],可提高子空間算法對(duì)參數(shù)估計(jì)的精度和分辨力,且在計(jì)算過(guò)程中也能直觀地體現(xiàn)陣列的結(jié)構(gòu),因此文獻(xiàn)[13]提出了一種基于非圓信號(hào)的張量ESPRIT(tensorESPRITfornon-circularsignals,NC-TE)算法,但是張量之間的運(yùn)算量較大；文獻(xiàn)[14]提出了一種基于非圓信號(hào)的酉張量ESPRIT(unitarytensorESPRITfornon-circularsignals,NC-UTE)算法,此種方法要通過(guò)前向后向平均技術(shù)和雙映射來(lái)轉(zhuǎn)換成實(shí)值,所需的復(fù)數(shù)張量運(yùn)算較為復(fù)雜。本文提出一種基于非圓信號(hào)的實(shí)值張量ESPRIT算法,該方法只是通過(guò)簡(jiǎn)單的加減法,即能轉(zhuǎn)換成實(shí)值,既可保證測(cè)向精度,又能降低運(yùn)算量。

本文首先介紹了張量分解的基本運(yùn)算,然后從張量信號(hào)模型出發(fā),根據(jù)歐拉公式,利用最大非圓率非圓信號(hào)的特點(diǎn)構(gòu)造實(shí)值張量,最后通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系和特征分解,得到來(lái)波方向。通過(guò)實(shí)驗(yàn)仿真,驗(yàn)證了該方法的有效性。

1　數(shù)學(xué)模型

1.1張量的基本運(yùn)算

假設(shè)存在一個(gè)M1×…×Mr×…×MR維的張量A與張量C,I×Mr維的矩陣U,I1×I2×…×IJ維張量D,其中r=1,2,…,R,張量可以看作為一個(gè)多維陣列,其具體的運(yùn)算如下。

(1)r模式張量矩陣化

(2)r模式乘積

(3) 高階奇異值分解

張量A的高階奇異值分解可表示為A=S×1U1×2U2…×RUR,其中S是M1×M2×…×MR維的核心張量,Ur是[A](r)奇異值分解的Mr×Mr維的左奇異特征向量,其中r=1,2,…,R。

(4) r模式拼接

(5) 外積

張量A與D的外積,記為F=A°D,它的維數(shù)為M1×M2×…×MR×I1×I2×…×IJ,其中fm1m2…mRi1i2…iJ=am1m2…mRdi1i2…iJ。

1.2張量接收數(shù)據(jù)模型

假設(shè)有q個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到R維陣列上,陣元數(shù)為M1×M2×…×MR,快拍數(shù)為L(zhǎng),則天線陣列接收的數(shù)據(jù)為

(1)

式中,X代表的是M1×M2×…×MR×L維的接收數(shù)據(jù)張量;A代表的是M1×M2×…×MR×q維的導(dǎo)向張量;S代表的是q×L維的觀測(cè)信號(hào);N代表的是M1×M2×…×MR×L維的零均值高斯白噪聲張量。

根據(jù)張量的基本概念,可知接收數(shù)據(jù)矩陣中的各部分量與張量的關(guān)系為

(2)

常見(jiàn)的最大非圓率非圓信號(hào)有二相相移鍵控(binary phase shift keying,BPSK)信號(hào)和幅度調(diào)制類的信號(hào);最大非圓率非圓信號(hào)本身是實(shí)信號(hào),但由于是調(diào)制信號(hào),一般需要進(jìn)行解調(diào)處理,受到信道的影響,會(huì)有相位的偏移,所以最大非圓率信號(hào)S[15]可以寫(xiě)為

(3)

式中,Φ=diag(ejφ1,ejφ2,…,ejφq),φi(i=1,2,…,q)是非圓相位;S0是實(shí)初信號(hào)。

2　算法原理

(4)

由于信號(hào)S0是實(shí)信號(hào),根據(jù)歐拉公式構(gòu)造陣列的接收數(shù)據(jù)矩陣為

(5)

式中,Yf,Yg是M×L維實(shí)值數(shù)據(jù)矩陣;Af,Ag是定義的M×q維的導(dǎo)向矢量矩陣,表達(dá)形式為

(6)

(7)

具體的每個(gè)導(dǎo)向矢量為

(8)

(9)

將接收數(shù)據(jù)的實(shí)部與虛部串聯(lián),得到重構(gòu)接收數(shù)據(jù)矩陣為

(10)

3　實(shí)值張量ESPRIT算法

將矩陣推廣到張量空間,應(yīng)用到R維陣列,則構(gòu)造的陣列接收數(shù)據(jù)張量為

(11)

式中,Yf,Yg是構(gòu)造的M1×M2×…×MR×L維的實(shí)值數(shù)據(jù)張量;Af,Ag是定義的M1×M2×…×MR×q維的導(dǎo)向張量。

定義的導(dǎo)向張量Af,Ag分別為

(12)

(13)

對(duì)構(gòu)造的實(shí)值數(shù)據(jù)張量,沿r模式加以拼接,進(jìn)行擴(kuò)增,則有R種不同的擴(kuò)增方式

(14)

式中,Y(r)的維數(shù)為M1×…×Mr-1×2Mr×Mr+1×…×MR×L,其中r=1,2,…,R。

假設(shè)天線陣列的維數(shù)為2,利用歐拉公式構(gòu)造正弦數(shù)據(jù)張量與余弦數(shù)據(jù)張量,根據(jù)陣列維數(shù)將其拼接,則具體的拼接形式如圖1所示。

圖1　接收數(shù)據(jù)張量的拼接方式Fig.1　The concatenate way of array receiving data tensor

(15)

為構(gòu)造旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系,定義兩個(gè)Toeplitz矩陣為

(16)

(17)

根據(jù)前面的Toeplitz矩陣,定義兩個(gè)選擇矩陣為

(18)

(19)

旋轉(zhuǎn)不變關(guān)系為

(20)

又因?yàn)閷?dǎo)向張量A與信號(hào)張量U(r)[s]張成的是一個(gè)子空間,存在一個(gè)非奇異值矩陣Q,使得A=U(r)[s]×R+1Q,則有

(21)

(22)

對(duì)式(22),利用張量R+1模式矩陣化,再根據(jù)最小二乘法可以得到

(23)

式中,(·)?代表的是廣義逆。

對(duì)Ω(r)=QΨ(r)Q-1進(jìn)行特征分解,得到

則有

(24)

(25)

對(duì)二維來(lái)波方向估計(jì),需要單獨(dú)的兩次特征值分解,但不能保證兩次分解的特征值的位置一一對(duì)應(yīng),所以涉及到參數(shù)配對(duì)問(wèn)題,本文采用文獻(xiàn)[17]的方法進(jìn)行配對(duì)。

4　運(yùn)算復(fù)雜度分析

一個(gè)算法的運(yùn)算量將直接影響到工程上的實(shí)時(shí)性,對(duì)整個(gè)工程系統(tǒng)的運(yùn)作都會(huì)有直接的影響,因此分析算法的運(yùn)算量至關(guān)重要。本文將比較NC-TE算法、NC-UTE算法與本文算法的運(yùn)算量。

基于張量的ESPRIT類算法,由于張量屬于不破壞陣列結(jié)構(gòu)的高維運(yùn)算,計(jì)算量的大小與陣列維數(shù)有直接的關(guān)系,而基于張量算法的計(jì)算量主要體現(xiàn)在對(duì)構(gòu)造的陣列接收數(shù)據(jù)張量進(jìn)行高階奇異值分解上。高階奇異值分解包括:首先需要對(duì)構(gòu)造的陣列接收數(shù)據(jù)張量進(jìn)行r模式矩陣化,然后對(duì)r模式化得到的矩陣做奇異值分解，得到左奇異值特征向量,最后利用構(gòu)造的陣列接收數(shù)據(jù)張量與各個(gè)左奇異值特征向量的r模式乘積，得到核心張量。

所以高階奇異值分解中,運(yùn)算量主要包括張量矩陣化、奇異值分解及張量與矩陣的乘積。假設(shè)r模式拼接的陣列維數(shù)為M1×…×2Mr×…×MR×L,各算法的運(yùn)算量統(tǒng)計(jì)如表1所示。

表1　3種算法的計(jì)算復(fù)雜度比較(r模式)

由表1分析可知,張量之間的運(yùn)算量較大,本文算法與NC-UTE算法的運(yùn)算量相當(dāng),在奇異值分解、張量與矩陣的乘積運(yùn)算量上是NC-TE算法的1/4。

接下來(lái)比較本文算法與NC-UTE算法在構(gòu)造實(shí)值上的運(yùn)算量,如表2所示。

由表2分析可見(jiàn),關(guān)于NC-UTE算法,在做高階奇異值分解之前,轉(zhuǎn)換成實(shí)值所涉及的前向后向平均技術(shù)和雙映射,需要計(jì)算張量與矩陣的模式乘積,而本文算法只需簡(jiǎn)單的加減即可構(gòu)造成實(shí)值,可見(jiàn)NC-UTE算法的運(yùn)算量大于本文算法。

表2　2種算法構(gòu)造實(shí)值的計(jì)算復(fù)雜度比較(r模式)

5　仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的有效性,進(jìn)行了計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn),并與NC-ESPRIT(NC-E)算法、NC-MUSIC(NC-M)算法、NC-TE算法、NC-UTE算法進(jìn)行對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)條件:信號(hào)頻率f=3 GHz,采用7×7的均勻矩形陣列,陣元間距為入射信號(hào)的半波長(zhǎng),零均值的高斯白噪聲,2個(gè)非相干信號(hào)源,入射信號(hào)的方位角為(20°,160°),對(duì)應(yīng)的俯仰角為(80°,80°),每次仿真進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。定義測(cè)角均方根誤差(root mean square error, RMSE)和成功分辨概率η為

(26)

(27)

實(shí)驗(yàn) 1角度估計(jì)。固定信噪比為20 dB,固定快拍數(shù)為100,利用本文方法進(jìn)行來(lái)波方向估計(jì),進(jìn)行20次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),并對(duì)兩個(gè)信號(hào)進(jìn)行局部放大,如圖2所示。由圖2可以看出,利用本文方法可以對(duì)兩個(gè)信號(hào)的來(lái)波方向進(jìn)行估計(jì),且從兩個(gè)信號(hào)的局部放大圖可以看出,多次測(cè)向時(shí)估計(jì)偏差不大,說(shuō)明了該方法的有效性。

圖2　信號(hào)星座圖及局部放大圖Fig.2　Signal constellation and partial enlarged

實(shí)驗(yàn) 2測(cè)角精度。先固定信噪比為20 dB,比較本文方法與NC-TE算法及NC-UTE算法的測(cè)角RMSE隨快拍數(shù)變化的關(guān)系,如圖3所示;然后固定快拍數(shù)為100,比較本文方法與NC-M算法、NC-E算法、NC-TE算法及NC-UTE算法的測(cè)角RMSE隨信噪比變化的關(guān)系,如圖4所示。

圖3　快拍數(shù)對(duì)測(cè)角均方根誤差的影響Fig.3　Influence of RMSE versus snapshots number

圖4　信噪比對(duì)測(cè)角均方根誤差的影響Fig.4　Influence of RMSE versus SNR

由圖3和圖4可以看出,這5種算法對(duì)兩個(gè)信號(hào)的測(cè)角RMSE均隨快拍數(shù)的增加而減小,隨信噪比的提高而降低。從圖3中可以看出,在信噪比固定的情況下,NC-M算法在快拍數(shù)為30時(shí),性能基本穩(wěn)定,此時(shí)的誤差主要由搜索步長(zhǎng)引起,但是該方法需要譜峰搜索,耗時(shí)較長(zhǎng);NC-E算法在快拍數(shù)為90左右,測(cè)向性能才與NC-TE算法及NC-UTE算法趨近,可見(jiàn)數(shù)學(xué)工具張量提高了測(cè)角性能;NC-TE算法及NC-UTE算法性能相當(dāng);在快拍數(shù)為50左右時(shí),本文方法的測(cè)向RMSE基本保持不變了,且測(cè)向精度較高。從圖4中可以看出,快拍數(shù)固定為100時(shí),NC-M算法與NC-TE算法、NC-UTE算法及本文算法的性能相當(dāng),可見(jiàn)在快拍數(shù)為100時(shí),這些算法的性能已經(jīng)飽和。

實(shí)驗(yàn) 3成功分辨概率。先固定信噪比為20 dB,比較本文方法與NC-M算法、NC-E算法、NC-TE方法及NC-UTE算法對(duì)多個(gè)信號(hào)的成功分辨概率隨快拍數(shù)變化的關(guān)系,如圖5所示;然后固定快拍數(shù)為100,比較本文方法與NC-M算法、NC-E算法、NC-TE算法及NC-UTE算法對(duì)多個(gè)信號(hào)的成功分辨概率隨信噪比變化的關(guān)系,如圖6所示。

圖5　快拍數(shù)對(duì)成功分辨概率的影響Fig.5　Influence of successful estimation versus snapshots number

圖6　信噪比對(duì)成功分辨概率的影響Fig.6　Influence of successful estimation versus SNR

由圖5和圖6可以看出,在一定的快拍數(shù)與信噪比門限內(nèi),這5種方法對(duì)兩個(gè)信號(hào)的成功分辨概率都隨快拍數(shù)和信噪比的增加而提高。在信噪比固定為20 dB時(shí),低快拍數(shù)下,NC-M算法的成功分辨概率最高,可見(jiàn)高信噪比下,NC-M算法優(yōu)于其他算法；在快拍固定為100時(shí),NC-M算法、NC-E算法的成功分辨概率要低于基于張量類的算法,可見(jiàn)數(shù)學(xué)工具張量提高了分辨性能。

6　結(jié)　論

本文推導(dǎo)了利用最大非圓率非圓信號(hào)的實(shí)值特點(diǎn),通過(guò)歐拉公式構(gòu)造兩個(gè)實(shí)值接收數(shù)據(jù)張量,然后根據(jù)陣列維數(shù)對(duì)構(gòu)造的兩個(gè)實(shí)值接收數(shù)據(jù)張量以不同的方式拼接,最后借助高階奇異值分解,實(shí)現(xiàn)波達(dá)方向估計(jì)。本文方法利用張量工具,提高多維信號(hào)參數(shù)估計(jì)性能,但同時(shí)張量也帶來(lái)了較大的運(yùn)算量,所以本文又通過(guò)歐拉公式將復(fù)數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為實(shí)值運(yùn)算,極大地降低了運(yùn)算量,且保證了測(cè)向性能。仿真實(shí)驗(yàn)表明,相比較于NC-M算法、NC-E算法、NC-TE算法及NC-UTE算法,在一定程度上,本文方法提高了測(cè)角精度與分辨力,且實(shí)時(shí)性也較高。

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Real-valuetensorESPRITalgorithmbasedoncharacteristicsofnon-circularsignals

SIWei-jian,YUFang,QUZhi-yu,MISheng-nan

(School of Information and Communication Engineering,Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Basedonthecharacteristicsofnon-circularsignalsofthemaximumnon-circularrate,areal-valuetensorestimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniques(ESPRIT)algorithmisputforward.Firstly,thearrayreceivingdatamatrixisextendedtotensorspacebystudyingtherelationshipbetweentensorandmatrix.Then,thearrayreceivingdatatensoristurnedintocosineandsinedatatensorbyusingtheEulerformula,accordingtothearraydimensionstoconcatenatecosineandsinedatatensorineachdimension,respectively,andobtainthesignalsubspacethroughahigher-ordersingularvaluedecompositionofreal-valueconcatenationtensordata.Finally,phasedifferenceisestimatedjointlyineachdimensiontorealizedirectionofarrival(DOA)estimationbyconstructingtheselectionmatrixandeigendecomposition.Theexperimentalsimulationresultsshowthatthisalgorithmhasabetterresolutionandanglemeasurementaccuracy.

directionofarrival(DOA)estimation;non-circularsignals;higher-ordersingularvaluedecomposition;tensor;estimationsignalparametersviarotationalinvariancetechniques(ESPRIT)algorithm

2015-12-07；

2016-04-14；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-06-26。

航空科學(xué)基金(201401P6001)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(HEUCF150804)資助課題

TN911.7

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.02

司偉建(1971-),男,研究員,博士,主要研究方向?yàn)閷拵盘?hào)檢測(cè)、處理與識(shí)別，高分辨高精度無(wú)源測(cè)向、譜估計(jì)。

E-mail:swj0418@263.net

禹芳(1990-),女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)閷拵盘?hào)檢測(cè)、處理與識(shí)別，非圓信號(hào)處理。

E-mail:yufang19900908@126.com

曲志昱(1983-),女,副教授,博士,主要研究方向?yàn)閷拵П粍?dòng)導(dǎo)引系統(tǒng)中信號(hào)處理技術(shù)、寬帶信號(hào)測(cè)向。

E-mail:quzhiyu@hrbeu.edu.cn

米勝男(1990-),女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)閷拵盘?hào)檢測(cè)、處理與識(shí)別。

E-mail:1256395189@qq.com

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