關(guān)　欣, 關(guān)　欣, 陶　李, 衣　曉

(1. 海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系, 山東 煙臺(tái) 264001; 2. 海軍航空工程學(xué)院航空訓(xùn)練基地, 山東 青島 266108)

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滑窗式無(wú)偏多平臺(tái)無(wú)源定位算法

關(guān)欣1, 關(guān)欣1, 陶李2, 衣曉1

(1. 海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系, 山東 煙臺(tái) 264001; 2. 海軍航空工程學(xué)院航空訓(xùn)練基地, 山東 青島 266108)

針對(duì)純方位系統(tǒng)單機(jī)動(dòng)平臺(tái)在不具有比機(jī)動(dòng)目標(biāo)更高一級(jí)的機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí),無(wú)法滿足系統(tǒng)可觀測(cè)性的問(wèn)題,提出了一種適用于多平臺(tái)的無(wú)源定位算法。該算法根據(jù)目標(biāo)與平臺(tái)之間的幾何關(guān)系得到一個(gè)包含目標(biāo)初始位置和分量速度的偽線性方程組。為減少求解方程組的計(jì)算量,保證定位的實(shí)時(shí)性,對(duì)常規(guī)的最小二乘法進(jìn)行了加滑窗處理。通過(guò)對(duì)觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣的分析,證明了算法對(duì)目標(biāo)狀態(tài)的估計(jì)具有無(wú)偏性。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了算法的有效性,并討論分析了平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的速度和方向等因素對(duì)算法定位性能的影響,得到了保證算法定位性能的平臺(tái)與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。

源定位; 純方位系統(tǒng); 最小二乘法; 多機(jī)動(dòng)平臺(tái); 滑窗式

0　引　言

無(wú)源定位技術(shù)憑借其隱蔽性強(qiáng)、探測(cè)距離遠(yuǎn)等優(yōu)點(diǎn)在戰(zhàn)場(chǎng)上占據(jù)了重要地位。其中,僅依靠方位角信息進(jìn)行測(cè)量的測(cè)向定位技術(shù)更是以其計(jì)算快、設(shè)備簡(jiǎn)單的優(yōu)勢(shì)成為無(wú)源定位技術(shù)研究的重點(diǎn)[1-3]。盡管被動(dòng)雷達(dá)檢測(cè)到的目標(biāo)信息中,方位角信息的可信度最高[4],但由于該技術(shù)無(wú)法直接獲得目標(biāo)的距離信息,故其為一個(gè)不完全可觀測(cè)系統(tǒng)。對(duì)于單站系統(tǒng)來(lái)說(shuō),由于每觀測(cè)一次,除了自身的運(yùn)動(dòng)參數(shù)和位置信息外,只能得到一個(gè)方位角信息,信息量的不足使得平臺(tái)只有在具有比機(jī)動(dòng)目標(biāo)更高一級(jí)的運(yùn)動(dòng)時(shí),才可以對(duì)目標(biāo)定位[5-6]。而多觀測(cè)平臺(tái)對(duì)目標(biāo)定位時(shí),一次觀測(cè)中每個(gè)平臺(tái)均可以獲得一個(gè)方位角,通過(guò)不同方位線的交叉便可以確定目標(biāo)位置,避免了單平臺(tái)定位可觀測(cè)性的局限性,成為無(wú)源定位的一個(gè)重要研究方向[7-8]。

測(cè)向定位本質(zhì)上屬于非線性估計(jì)問(wèn)題。其基本思路是將方位角信息和待測(cè)目標(biāo)的未知參數(shù)轉(zhuǎn)換為偽線性方程組。由于系統(tǒng)是高度非線性的,并且初始條件的精度很難得到保證,故擴(kuò)展卡爾曼濾波(extended Kalman filter, EKF)[9]算法很容易出現(xiàn)發(fā)散的情況。最小二乘誤差算法(least-squared error, LSE)[10-11]沒(méi)有消除偽線性方程組中的系數(shù)矩陣的誤差,導(dǎo)致其最后的估計(jì)是有偏的。雖然通過(guò)奇異值分解的方法,總體最小二乘估計(jì)(total least-squared, TLS)算法[12-16]解決了LS算法有偏估計(jì)的問(wèn)題,但代價(jià)是運(yùn)算量大、實(shí)時(shí)性差。

本文在LS算法的基礎(chǔ)上,提出了一種適用于多站測(cè)向定位的滑窗式最小二乘定位(sliding window least-squares, SWLS)算法。其基本思路為獲得目標(biāo)與平臺(tái)相對(duì)關(guān)系的偽線性方程組,其解即為要求解的目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)。與LS算法不同的是,SWLS算法通過(guò)滑窗方式獲取系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量,并以遞推方式進(jìn)行求解計(jì)算[17]。該算法在保證定位精度的同時(shí),大幅減少了計(jì)算量,提高了定位速度。

1　定位原理

圖1所示為二維空間中平臺(tái)個(gè)數(shù)為2時(shí),目標(biāo)與平臺(tái)之間的相對(duì)關(guān)系。

圖1　平臺(tái)與目標(biāo)之間的相對(duì)關(guān)系Fig.1　Relative relationship between platforms and target

多平臺(tái)情況與之類似,以多機(jī)動(dòng)平臺(tái)為模型進(jìn)行推導(dǎo)。顯然,可以得到

(1)式中,dik表示k時(shí)刻第i個(gè)平臺(tái)與目標(biāo)T的相對(duì)距離；vik為其對(duì)應(yīng)的單位矢量。

令k時(shí)刻的平臺(tái)位置為(xik,yik),其與目標(biāo)的方位角為βik(i≥2),目標(biāo)位置為(xTk,yTk),則有

(2)令目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng),x方向和y方向的速度分別為vx和vy,初始位置為(xT0,yT0),k時(shí)刻目標(biāo)位置為

(3)將式(3)代入到式(2)中,并將矩陣形式改寫成方程組,有

(4)整理式(4)并消去dik,可得

(5)將k時(shí)刻的累積測(cè)量記成矩陣形式Zk=HkXk

(6)式中,觀測(cè)向量Zk和系數(shù)矩陣Hk分別為

(7)

(8)狀態(tài)變量Xk為

(9)

2　算法模型

一般情況下采樣次數(shù)k>2,故觀測(cè)向量Zk是超正定矩陣,只能求解Hk的廣義逆矩陣。式(6)的最小二乘解為

SWLS算法通過(guò)滑窗方式使觀測(cè)向量Zk和系數(shù)矩陣Hk得到動(dòng)態(tài)序貫更新,使它們的維數(shù)不隨觀測(cè)次數(shù)的增多而變大。這樣既不以定位精度的下降為代價(jià),又保證了計(jì)算量的減少。

將滑窗部分的觀測(cè)向量和系數(shù)矩陣分別記為

(11)

(12)

記

(13)

則有

(14)

利用矩陣反演公式可得

(15)

式中,Ii表示i階單位矩陣,這樣Pk可由Pk-t遞推得到,由式(10)可知

(16)

將式(14)代入式(16),并化簡(jiǎn)可得

(17)

這樣,Xk可由Xk-t遞推得到。

為考察本文算法的復(fù)雜度,同樣忽略式(17)中Pk的矩陣逆運(yùn)算,此時(shí)SWLS算法的復(fù)雜度為O(t4)。而滑窗長(zhǎng)度t為一常數(shù),可根據(jù)實(shí)際情況對(duì)定位精度和定位時(shí)間的要求進(jìn)行選擇。

若滑窗長(zhǎng)度為t,起始點(diǎn)為l,算法具體流程如圖2所示。

圖2　滑窗式最小二乘定位算法流程圖Fig.2　Algorithm process diagram of sliding window least-square localization algorithm

可以看出l=k和t=1時(shí),分別存在兩種極限情況,此時(shí)算法分別演變?yōu)長(zhǎng)S算法和遞推式LS算法。

3　無(wú)偏性驗(yàn)證

定理 1多站測(cè)向定位系統(tǒng)中,測(cè)量噪聲為獨(dú)立不相關(guān)的高斯白噪聲時(shí),對(duì)目標(biāo)初始位置和分量速度的估計(jì)是無(wú)偏的。

證明假定方位角在測(cè)量過(guò)程中含有微小誤差δβ,且δβ～(0,σ2),各平臺(tái)測(cè)量誤差獨(dú)立不相關(guān)。記方位角測(cè)量值β′=β+δβ,于是有

(18)

(19)

通過(guò)對(duì)式(7)求導(dǎo)可得

(20)

利用δβ≈?β和δ(Zk)≈?(Zk),有

(21)

同樣對(duì)式(8)求導(dǎo)可得

(22)

利用δβ≈?β和δ(Hk)≈?(Hk),同樣有

(23)

將式(17)、式(18)代入式(6)可得

(24)

式中,δx為定位算法的偏差。將式(24)展開(kāi),并忽略具有兩個(gè)微元因子的乘積項(xiàng),可以得到

(25)

將式(20)、式(22)代入式(25),并結(jié)合式(3)整理可得δXk=0。

δx的協(xié)方差矩陣為

(26)

其中

(27)

dik為k時(shí)刻平臺(tái)i與目標(biāo)之間的距離。

證畢

4　算法仿真

仿真環(huán)境:目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)速度為200m/s,運(yùn)動(dòng)方向與X軸正方向夾角為45°,起始點(diǎn)為(0,0)。平臺(tái)1和平臺(tái)2均以150m/s的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方向與X軸正方向夾角分別為50°和40°,起始點(diǎn)分別為(30 000,0)、(0,30 000)。方位角測(cè)量誤差服從零均值正態(tài)分布,測(cè)量周期為1s,連續(xù)觀測(cè)200點(diǎn)。進(jìn)行100次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),算法定位精度以圓概率誤差(circularerrorprobability,CEP)作為度量,表示為

當(dāng)篩選完音樂(lè)課程資源之后，教師就可以把音樂(lè)資料通過(guò)文本形式或制作成DVD、VCD儲(chǔ)存到資源庫(kù)中。而且，也可以將制作好的CD、音樂(lè)文本上傳，方便有需要的教師在局域網(wǎng)上查閱相關(guān)資料。在使用之后，教師也要盡量提出使用建議，以此來(lái)改進(jìn)資源庫(kù)的構(gòu)建，在最大程度上發(fā)揮音樂(lè)資源庫(kù)的作用。

(28)

仿真實(shí)驗(yàn) 1不同算法定位精度比較。本文算法、TLS算法和EKF算法在測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ為2°時(shí)的定位精度如圖3所示。

可以看出,由于線性化誤差較大,EKF算法并不收斂,本文算法的定位精度要優(yōu)于TLS估計(jì)算法。

仿真實(shí)驗(yàn) 2不同算法運(yùn)算時(shí)間比較。在本文算法滑窗長(zhǎng)度t取10的情況下,本文算法、LS算法和TLS算法的運(yùn)算時(shí)間如圖4所示。

圖3　不同算法定位精度比較Fig.3　Positioning accuracy comparison on different algorithm

圖4　不同算法運(yùn)算時(shí)間比較Fig.4　Operation time comparison on different algorithm

由仿真結(jié)果可知,觀測(cè)時(shí)間小于40s時(shí),3種算法的定位時(shí)間相差不大,隨著觀測(cè)時(shí)間的增加,TLS算法的運(yùn)算時(shí)間呈指數(shù)增長(zhǎng),本文算法和LS算法基本呈線性增長(zhǎng),且本文算法的運(yùn)算時(shí)間明顯小于其他兩者,由此可見(jiàn)本文的計(jì)算效率要高于TLS算法和LS算法。

仿真實(shí)驗(yàn) 3滑窗長(zhǎng)度對(duì)算法定位性能的影響。在測(cè)量誤差標(biāo)準(zhǔn)差σ為3°,觀測(cè)時(shí)間為200s的情況下,滑窗長(zhǎng)度對(duì)算法定位精度和運(yùn)算時(shí)間的影響如圖5和圖6所示。

圖5　滑窗長(zhǎng)度對(duì)定位精度的影響Fig.5　Influence of sliding window length on positioning accuracy

圖6　滑窗長(zhǎng)度對(duì)運(yùn)算時(shí)間的影響Fig.6　Influence of sliding window length on operation time

由仿真結(jié)果可以看出,滑窗長(zhǎng)度越大,CEP的方差越小,運(yùn)算時(shí)間越長(zhǎng)。

圖7　遞推起始點(diǎn)對(duì)定位精度的影響Fig.7　Influence of recursive starting point on positioning accuracy

圖8　遞推起始點(diǎn)對(duì)運(yùn)算時(shí)間的影響Fig.8　Influence of recursive starting point on operation time

由仿真結(jié)果可以看出,遞推起始點(diǎn)的改變對(duì)CEP的影響呈現(xiàn)不規(guī)則性。遞推起始越晚,運(yùn)算時(shí)間越長(zhǎng)。這是因?yàn)樵谶f推起始之前,方程組的解均是由LS算法求得。結(jié)合定位精度和運(yùn)算時(shí)間來(lái)看,遞推起始應(yīng)越早越好。

仿真實(shí)驗(yàn) 5平臺(tái)與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方向夾角對(duì)定位精度的影響。假設(shè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向?yàn)閥軸正半軸,初始位置為坐標(biāo)軸原點(diǎn),平臺(tái)1與平臺(tái)2運(yùn)動(dòng)方向與x正半軸的夾角分別為α1和α2,它們的取值范圍均在0°～180°,初始位置分別為(30 000,0)和(-30 000,0)。在觀測(cè)時(shí)間為200s時(shí),算法得到的CEP如圖9所示,它們之間的交會(huì)角即α1-α2的值如圖10所示。

圖9　相對(duì)運(yùn)動(dòng)夾角對(duì)定位精度的影響Fig.9　Influence of relative motion angle on positioning accuracy

圖10　不同相對(duì)運(yùn)動(dòng)夾角時(shí)的交會(huì)角Fig.10　Cut angle of different relative motion angle

對(duì)比圖8和圖9可以看出,隨著交會(huì)角α1-α2的增大,算法的定位精度逐漸降低。當(dāng)α1的取值在0°～80°,α2的取值在90°～160°,且它們之間的差值在30°～150°,定位精度最高。結(jié)合它們的幾何關(guān)系,此時(shí)平臺(tái)1和平臺(tái)2均是作遠(yuǎn)離目標(biāo)航向的直線運(yùn)動(dòng)。

仿真實(shí)驗(yàn) 6不同平臺(tái)速度對(duì)定位性能影響。平臺(tái)速度v分別取150m/s、200m/s、250m/s時(shí)算法定位性能如圖11所示。

圖11　不同平臺(tái)速度下定位精度比較Fig.11　Positioning accuracy comparison on different movement speed of platforms

由仿真結(jié)果可以得出,平臺(tái)速度對(duì)算法定位精度影響不大。

5　結(jié)　論

(1) 基于LS算法改進(jìn)的滑窗式LS算法具有無(wú)偏性。在多平臺(tái)測(cè)向定位系統(tǒng)中可以對(duì)目標(biāo)進(jìn)行高精度快速定位,不僅定位精度優(yōu)于TLS算法和EKF算法,而且運(yùn)算速度也要快于LS算法和TLS算法,在保證定位精度的前提下,可以大大減少定位時(shí)間。

(2) 滑窗長(zhǎng)度越長(zhǎng)定位精度越高,但運(yùn)算量也隨之增大,遞推起始點(diǎn)的選擇對(duì)定位精度沒(méi)有明顯的影響,但遞推起始越晚,運(yùn)算時(shí)間越長(zhǎng),在實(shí)際應(yīng)用中,應(yīng)結(jié)合實(shí)際情況選取滑窗長(zhǎng)度和遞推起始點(diǎn)。

(3) 雙平臺(tái)情況下,兩個(gè)平臺(tái)均做遠(yuǎn)離目標(biāo)航向的直線運(yùn)動(dòng)時(shí)定位精度較高,它們之間的夾角越大,定位精度越高。

(4) 平臺(tái)運(yùn)動(dòng)速度對(duì)定位精度影響不大。

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Unbiased algorithm of multiple platform passive location based on sliding window

GUAN Xin1, GUAN Xin1, TAO Li2, YI Xiao1

(1.NavalAeronauticalEngineeringAcademy,DepartmentofElectronicandInformationEngineeringYantai264001,China; 2.NavalAeronauticalEngineeringAcademy,AviationTrainingbaseQingdao266108,China)

To solve the problem that a single mobile platform cannot satisfy the system observability if it does not have a higher level movement than maneuvering target under bearings-only system, a passive location algorithm which is suitable for multiple mobile platforms is proposed. The algorithm based on the geometric relationships between the targets and platforms can get a pseudo linear system of equations including the initial position and velocity of target. To reduce the amount of calculation for solving system of equations and ensure real-time positioning, deal with the conventional least square method is deal with sliding window way, and the solution of equations is further expressed as the recursive form. Through the analysis of the observation vector and matrix of the equations, the unbiasedness of the algorithm is proved. Simulations experiments verify the effectiveness of the algorithm, the affections of the factors of platform motion such as speed and direction on the position performance of algorithm are discussed, and the relationship between the target and platforms that can obtain the position performance is gotten.

passive location; bearings-only system; least-squared (LS); multiple mobile platforms; sliding window way

2015-06-29；

2015-11-25；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-03-17。

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃(NCET-11-0872)資助課題

TN 957; TP 274

A

10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.03

關(guān)欣(1978-),女,教授,博士,主要研究方向?yàn)橹悄苄畔⑻幚?、多源信息融合?/p>

E-mail:gxtongwen@163.com關(guān)欣(1990-),通信作者,女,碩士研究生,主要研究方向?yàn)闊o(wú)源定位。

E-mail:378887027@qq.com

陶李(1989-),男,碩士,主要研究方向?yàn)槎嘣葱畔⑷诤稀?/p>

E-mail:290180440@qq.com

衣曉(1975-),男,教授,博士,主要研究方向?yàn)闊o(wú)線傳感器網(wǎng)絡(luò)、多源信息融合。

E-mail:yxgx_gxyx@163.com

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20160317.1100.004.html