田寶國(guó)　曲亮生　王　棟

(海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東 煙臺(tái)　264001)

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基于最大熵原理的有極分子電介質(zhì)極化研究

田寶國(guó)曲亮生王棟

(海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部，山東 煙臺(tái)264001)

本文從最大熵原理出發(fā)，研究了有極分子電介質(zhì)的極化規(guī)律.結(jié)果表明，有極分子電介質(zhì)的電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度并非遵從嚴(yán)格的線性關(guān)系，只是當(dāng)電場(chǎng)不很強(qiáng)時(shí)，電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度近似成正比，而當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度非常大時(shí)，電極化強(qiáng)度將趨于定值.利用該原理同樣可以研究無(wú)極分子電介質(zhì)的極化問(wèn)題.

熵；最大熵原理；電介質(zhì)極化；有極分子

熵概念作為描述熱力學(xué)系統(tǒng)的態(tài)函數(shù)，最早是由克勞修斯于1865年提出的，并可用之定量解釋熱力學(xué)第二定律.1877年，玻耳茲曼給出了熵的微觀意義(統(tǒng)計(jì)解釋)，把熵概念與宏觀系統(tǒng)所包含的熱力學(xué)概率聯(lián)系起來(lái)[1].1948年，Shannon提出了信息熵的概念，用熵概念來(lái)描述信息量的獲得[2].1958年，科爾莫戈羅夫發(fā)展了熵的概念，作為不確定性的數(shù)學(xué)度量，將其引入到非線性動(dòng)力學(xué)中[3].目前，熵的概念在物理、化學(xué)、經(jīng)濟(jì)、信息科學(xué)等自然科學(xué)以及工程技術(shù)等許多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，甚至被推廣到社會(huì)科學(xué)中[4-8].在文獻(xiàn)[6]中，作者用最大熵原理研究了電介質(zhì)的極化問(wèn)題，但文中分子的能量只考慮了分子在電場(chǎng)中所具有的電勢(shì)能.本文在考慮有極分子轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的情況下繼續(xù)進(jìn)一步深入研究.

1　熵及最大熵原理

在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，熵是分子運(yùn)動(dòng)無(wú)序程度的度量，熵值越大，分子運(yùn)動(dòng)無(wú)序程度越高；熵值越小，分子運(yùn)動(dòng)無(wú)序程度越低.而在熵的一般化定義中，熵是系統(tǒng)狀態(tài)分布的一種量度.本文考慮系統(tǒng)狀態(tài)可連續(xù)取值的情況，設(shè)系統(tǒng)某狀態(tài)變量取值的概率密度為f(x)，則熵定義為S=-k∫f(x)lnf(x)dx

(1)

(2)

最大熵原理是1957年由E.T.Jaynes提出的[9]，原理的基本內(nèi)容可以表述為：一個(gè)宏觀系統(tǒng)的熵在一組約束條件下將趨于最大值.按照此原理，對(duì)于一個(gè)宏觀系統(tǒng)，如果選擇合適的約束條件，然后計(jì)算其熵在此約束條件下的極大值，就可以求出該系統(tǒng)的微觀狀態(tài)的概率分布.這樣就把求系統(tǒng)的分布問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)上求一定約束條件下的極值問(wèn)題.因此其在物理、化學(xué)、交通甚至社會(huì)科學(xué)等很多領(lǐng)域都得到了廣泛應(yīng)用.本文采用此原理研究有極分子電介質(zhì)的極化問(wèn)題.在統(tǒng)計(jì)物理教材中，有極分子電介質(zhì)的極化問(wèn)題通常采用玻耳茲曼分布理論或系綜理論解決，但是這兩個(gè)理論都是針對(duì)平衡態(tài)問(wèn)題，而最大熵原理作為確定系統(tǒng)分布的重要方法，不僅適用于處理平衡態(tài)問(wèn)題，同樣也適用于處理非平衡定態(tài)問(wèn)題，所以采用此原理研究電介質(zhì)極化問(wèn)題更具有一般性，結(jié)果也更豐富.

2　有極分子電介質(zhì)的極化研究

電介質(zhì)也稱為絕緣體，其內(nèi)部幾乎不存在自由電荷.如果把電介質(zhì)放在電場(chǎng)中，它的表面或內(nèi)部將出現(xiàn)束縛電荷，也稱為極化電荷；電介質(zhì)在電場(chǎng)中出現(xiàn)極化電荷的現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化.按照電介質(zhì)極化的微觀機(jī)理解釋，每個(gè)分子所有負(fù)電荷對(duì)外影響均可等效為單獨(dú)一個(gè)靜止負(fù)電荷的作用，這個(gè)等效負(fù)電荷的作用位置稱為分子的“負(fù)電作用中心”.同理，分子中所有正電荷對(duì)外影響也可等效為一個(gè)正電荷的作用，其作用位置稱為分子的“正電作用中心”.根據(jù)正負(fù)電荷“中心”位置的相互關(guān)系可以把電介質(zhì)分為兩類：一類電介質(zhì)分子的正負(fù)電荷“中心”重合，這類分子叫做無(wú)極分子，由無(wú)極分子組成的電介質(zhì)稱為無(wú)極分子電介質(zhì)；另一類電介質(zhì)分子的正負(fù)電荷“中心”不重合，而是形成一定的電偶極矩，這類分子稱為有極分子，由有極分子構(gòu)成的電介質(zhì)稱為有極分子電介質(zhì).

有極分子電介質(zhì)中的每一個(gè)分子雖然都具有一個(gè)固有電矩，但由于分子的無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，在沒(méi)有外場(chǎng)時(shí)，電介質(zhì)中所有分子的固有電矩的矢量和為零，宏觀上不產(chǎn)生電效應(yīng).若加上電場(chǎng)，則在電場(chǎng)力的作用下，電介質(zhì)分子的固有電矩將傾向于轉(zhuǎn)向電場(chǎng)方向，于是各分子電矩的矢量和不再是零，宏觀上表現(xiàn)為在電介質(zhì)表面或內(nèi)部出現(xiàn)了極化電荷，這種現(xiàn)象稱為有極分子電介質(zhì)的取向極化現(xiàn)象.在有極分子電介質(zhì)中，除發(fā)生取向極化外，還會(huì)發(fā)生位移極化，但是由于取向極化比位移極化效應(yīng)要大得多，所以一般不考慮位移極化，因此可以認(rèn)為分子的電偶極矩大小不隨電場(chǎng)變化.

有極分子介質(zhì)中的每一個(gè)分子可以看作是一個(gè)用輕質(zhì)剛性桿連接兩個(gè)點(diǎn)電荷的剛體模型.另外，極化后的電介質(zhì)在宏觀上會(huì)出現(xiàn)極化電荷分布，這些極化電荷反過(guò)來(lái)又激發(fā)附加電場(chǎng)，疊加在原來(lái)的外電場(chǎng)上得到電介質(zhì)內(nèi)的實(shí)際電場(chǎng).因此，分子所具有的能量應(yīng)該包括分子的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和在電場(chǎng)中所具有的電勢(shì)能.設(shè)電介質(zhì)內(nèi)實(shí)際電場(chǎng)強(qiáng)度為E，電介質(zhì)分子的瞬時(shí)電矩為p，當(dāng)瞬時(shí)電矩與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的夾角為θ時(shí)(見圖1)，分子能量表達(dá)式為

圖1　有極分子電介質(zhì)模型

(4)

概率密度滿足歸一化條件，即

(5)

分子所具有的平均能量

(6)

這樣求分子分布的問(wèn)題在數(shù)學(xué)上轉(zhuǎn)化為在滿足式(5)和式(6)約束條件下的最大熵問(wèn)題.由于有約束條件的限制，與分子分布有關(guān)的坐標(biāo)和動(dòng)量并不獨(dú)立，為此，可通過(guò)引入兩個(gè)拉格朗日不定乘子α和β，將坐標(biāo)和動(dòng)量的不獨(dú)立性轉(zhuǎn)嫁到拉格朗日不定乘子上，而認(rèn)為分子坐標(biāo)和動(dòng)量彼此獨(dú)立，但將是α和β的函數(shù).為此，定義拉格朗日函數(shù)為

(7)

根據(jù)變分原理，由F對(duì)f的導(dǎo)數(shù)為零，可得

(8)

即

(9)

式(9)代入歸一化條件式(5)得

(10)

于是得到

(11)

把式(11)代入式(9)得到概率密度表達(dá)式為

(12)

設(shè)電介質(zhì)單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n，則單位體積內(nèi)所有分子的電矩沿電場(chǎng)方向的分量之和為

(13)

由式(13)可以看出， 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能對(duì)電極化強(qiáng)度沒(méi)有貢獻(xiàn)，這是由于外部電場(chǎng)只改變了分子的電勢(shì)能，而對(duì)分子的轉(zhuǎn)動(dòng)能量沒(méi)有影響.令y=βpE，ξ=cosθ，利用朗之萬(wàn)函數(shù)

(14)

可得

(15)

而單位體積內(nèi)所有分子的電矩垂直于電場(chǎng)方向的分量之和為

(16)

根據(jù)電極化強(qiáng)度的定義，電極化強(qiáng)度矢量等于單位體積內(nèi)所有分子電矩的矢量和.綜合式(15)和式(16)，可得電極化強(qiáng)度矢量的大小為P∥的大小，方向與電場(chǎng)方向平行.

在大學(xué)物理教材中，所給出的電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度之間的關(guān)系滿足線性關(guān)系，即

(17)

其中,χ為電介質(zhì)的電極化率;ε0為真空電容率.

而由式(15)可以看出，在一定溫度下，電介質(zhì)電極化強(qiáng)度與外電場(chǎng)并非滿足線性關(guān)系.我們作出朗之萬(wàn)函數(shù)的圖像如圖2所示.由圖2可以看出，當(dāng)y=βpE取值較小時(shí)，可以近似看作線性函數(shù)，而當(dāng)y取值很大時(shí)，函數(shù)將趨于定值，這說(shuō)明當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度非常大時(shí)，電介質(zhì)的電極化強(qiáng)度將趨于不變，這是因?yàn)榇藭r(shí)所有分子的固有電矩都趨向與外電場(chǎng)完全一致，電極化強(qiáng)度達(dá)到最大值.

圖2　朗之萬(wàn)函數(shù)圖像

(18)

可見在此條件下，電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度近似成正比，與一般物理教材教材的結(jié)論一致.比較式(17)和式(18)，進(jìn)一步得到電介質(zhì)的電極化率為

(19)

3　結(jié)論和討論

本文運(yùn)用最大熵原理研究了有極分子電介質(zhì)

在電場(chǎng)中的極化規(guī)律.結(jié)果表明，有極分子電介質(zhì)的電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度并非是嚴(yán)格的線性關(guān)系，只有當(dāng)電場(chǎng)不很強(qiáng)時(shí)，電極化強(qiáng)度與電場(chǎng)強(qiáng)度近似成正比，而當(dāng)電場(chǎng)強(qiáng)度非常大時(shí)，電極化強(qiáng)度將趨于定值.另外，論文只是針對(duì)有極分子電介質(zhì)極化進(jìn)行了研究，但這種方法也同樣適用于無(wú)極分子電介質(zhì)的極化問(wèn)題，因?yàn)闊o(wú)極分子電介質(zhì)的極化屬于位移極化，此時(shí)分子的電偶極矩大小會(huì)隨著電場(chǎng)強(qiáng)度的大小變化而變化，分子的能量表達(dá)式及系統(tǒng)熵要考慮此因素的影響.

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STUDY TO THE POLARIZATION OF POLAR MOLECULE DIELECTRIC BASED ON MAXIMUM ENTROPY PRINCIPLE

Tian BaoguoQu LiangshengWang dong

(Department of Basic Sciences, Naval Aeronautical and Astronautical University, Yantai Shandong 264001)

Polarization of polar molecule dielectric is studied based on maximum entropy principle in this paper. The result shows that its electric polarization intensity is not proportional to the electric field intensity. Only when electric field isn’t very strong, the electric polarization intensity is proportional to the electric field intensity. However, when electric field is very strong, the electric polarization intensity will tend to be constant. The polarization of non-polar molecule dielectric can also be studied based on this principle.

entropy; maximum entropy principle; dielectric polarization; polar molecule

2015-09-07;

2015-11-07

田寶國(guó)，男，教授，海軍航空工程學(xué)院基礎(chǔ)部.tbgzjp@sina.com

引文格式: 田寶國(guó),曲亮生,王棟. 基于最大熵原理的有極分子電介質(zhì)極化研究[J]. 物理與工程，2016，26(3)：20-23