彭勇宜　彭　政　符力平

(中南大學物理與電子學院，湖南 長沙　410083)

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論平均值公理在量子力學中的地位及其對教學的啟示

彭勇宜彭政符力平

(中南大學物理與電子學院，湖南 長沙410083)

文章對平均值公理在量子力學中的作用、地位及其對量子力學教學的啟示進行了詳細的分析和討論，表明只需將普通的平均值公式加以推廣，便可自然地得到量子力學中的平均值公理.平均值公理在量子力學中處于基礎(chǔ)地位，從平均值公理出發(fā)，用嚴格的數(shù)學理論可進一步推導出量子力學的其他基本特性.在量子力學教學過程中，從平均值公理出發(fā)，量子力學理論的邏輯和概念會更清晰，特別是對于初學者而言，這樣更便于他們接受和理解量子力學理論.

平均值公理；量子力學；教學

作為物理專業(yè)四大力學之一的量子力學，其重要性是不言而喻的，可以說沒有哪一門現(xiàn)代物理學的分支和現(xiàn)代高端科學技術(shù)能離開量子力學這個基礎(chǔ).但是，量子力學也是出了名的難學和難教的一門課程.這一方面與量子力學本身的特點有關(guān)，另一方面也與人們對量子力學的基本概念和理論體系的論述不一有關(guān)[1-4].

如何從教學的角度把量子力學教好，其中重要的一個方面就是對量子力學的理論體系作清晰的梳理，構(gòu)建一個邏輯性強、便于教學的量子力學理論體系.像任何一門學科一樣，量子力學理論體系有它自身發(fā)展的歷史，在發(fā)展的初期過程中，有些概念并不完善，一些問題也沒有徹底弄清楚，經(jīng)過一段時期的發(fā)展之后，回過頭來，站在一個比較高的高度重新審視它，才把整個理論看得更清楚.例如，在發(fā)展初期麥克斯韋就是用力學的方法來描述電磁場的，當時，他仿照流體力學和彈性力學的做法對電磁場作論述，給人們認識理解電磁場帶來了很大的困難.但經(jīng)過一個時期的發(fā)展之后，人們具備了關(guān)于場的清晰概念，再回過頭來看，電磁場理論就清晰多了，不再需要用到力學的方法.量子力學也是如此，在講述量子力學理論時，可以按照歷史進程講述量子理論，也可以不沿著發(fā)展軌跡來講述.教學中如將量子力學的整個內(nèi)容做科學的梳理，以最符合邏輯的方式重新組織量子力學理論，可以收到事半功倍的效果.

量子力學的公理體系就是將量子力學理論納入一個邏輯體系，以公理的形式給出量子力學的基本原理，再在此基礎(chǔ)上導出量子力學的所有內(nèi)容來.這是教授量子力學最合適和最有效的一種方式[5,6].

然而，在量子力學教學的實踐過程中，時常發(fā)現(xiàn)一些教材對公理體系的論述不一致，造成了作為初學者的學生在學習過程中的一些困惑和思維混亂.例如不同的公理之間究竟有什么關(guān)系？它們與量子力學創(chuàng)建初期提出的一些的基本思想，如波-粒二象性、測不準原理、疊加原理以及互補原理等究竟存在什么樣的聯(lián)系？它們是完全相互獨立的還是在一定程度上又相互包含？這些縱橫交錯的疑問，往往使量子力學初學者如墜入云霧之中，造成學習和理解上的嚴重障礙.

本文探討平均值公理在量子力學中的作用和地位，進而闡述其對量子力學教學的啟發(fā).多年的教學實踐也表明平均值公理易于被量子力學初學者接受和理解，可以幫助他們消除上面所提到的那些疑惑，取得了滿意的效果.

1　量子力學公理

任何一個物理理論都具備以下3個基本要素：①基本的物理概念；②對應的數(shù)學表示；③數(shù)學與物理概念之間的對應規(guī)則.對于量子力學初學者和講授者而言，根據(jù)物理理論的3個基本要素，以下述公理為基礎(chǔ)開展教學是比較合適的：

公理1： 對每一個量子體系，都存在一個復的波函數(shù)Ψ(r,t)，它描述了該量子體系在t時刻的狀態(tài).并且，所有關(guān)于該體系的信息都可從這個波函數(shù)當中獲得.特別地，t時刻發(fā)現(xiàn)粒子在r處附近小體元d3r內(nèi)的概率為

公理2： 波函數(shù)隨時間的變化服從薛定諤方程

另外，還有波包收縮公理和對稱化公理，由于這兩條公理與本文聯(lián)系不大，就不在此羅列了.

公理1給出了物理概念和相應的數(shù)學表示，即量子力學一個體系的態(tài)與表示態(tài)的數(shù)學表示：波函數(shù).對一個體系的態(tài)的物理概念在量子力學教材中有詳細的討論，這里不再贅述.至于數(shù)學表示的波函數(shù)則意義非常清楚.公理2也沒有什么爭議，大家都有共識.所以，這兩條公理無須作進一步討論，大家都接受.公理3則是要討論的重點，它是物理概念與其數(shù)學表示之間的對應規(guī)則.然而，在實際教學當中，各個教材在此問題上的提法并不完全統(tǒng)一.有的雖然選擇這一條作為公理，可并未清楚地解釋它與量子力學的新思想之間的關(guān)系，初學者感受不到它的基礎(chǔ)地位；有的甚至就不提它，取而代之用其他的公理，形成了不同的教材采用不同的公理體系的局面，極大地影響了初學者對量子力學的認識.下面就這一公理的作用以及它與量子力學新思想之間的關(guān)系做一些論證，來說明這一公理的基礎(chǔ)性.

2　平均值公理的地位

先看公理3的引出.根據(jù)公理1，量子體系的波函數(shù)包含了該體系的所有信息，那么，當給定一個體系的波函數(shù)后，又如何由波函數(shù)來獲得某一物理量A的信息呢？也即如何由波函數(shù)求得某一物理量的可能取值和取這些值的相應概率？在經(jīng)典力學當中，物理量是通過以r和p為自變量(兩者表示質(zhì)點的狀態(tài))的函數(shù)來表示的，所以，物理概念與數(shù)學形式之間的對應關(guān)系是清楚的.例如，一維勢場中的一個質(zhì)量為m的質(zhì)點，其能量這一物理量就由數(shù)學公式：E=mv2/2+V(x)給出.然而，在量子力學當中，由于對體系的態(tài)定義不同，沒有了類似于經(jīng)典力學中的那些對應關(guān)系.此外，一個物理量的取值也不唯一，可呈現(xiàn)各種可能的取值，因而對這些可能的取值還存在取各值的概率的問題.因此，需要有一套能從已知狀態(tài)中獲得體系各物理量的可能取值以及取這些值的概率的方法.

什么樣的數(shù)學形式能勝任物理量這一角色？物理量的這一數(shù)學形式與波函數(shù)(即體系的狀態(tài))的關(guān)系又是怎樣的呢？先考察坐標這一物理量與波函數(shù)的關(guān)系.根據(jù)波函數(shù)的概率解釋和求平均值的一般概念，可將坐標的平均值寫為：

接下來考慮動量.同樣，根據(jù)平均值的求法和傅里葉變換，有

可見動量的平均值與波函數(shù)的關(guān)系與前式是類似的，與前式相比，除了將動量物理量換成了算符“-i”外，兩者形式完全一樣.這說明其中一定存在著某種新的物理思想.再注意到，這一形式也是迄今為止所能找到的唯一表達物理量與數(shù)學形式(波函數(shù))之間關(guān)系的式子，是實現(xiàn)對應規(guī)則的唯一式子.對于其他物理量情況如何呢？或一般情況下是怎樣的呢？于是，像電磁學中將靜磁場規(guī)律·B=0推廣為時變電磁場的規(guī)律一樣，將此式作推廣，認為一般情況下也是成立的.這便是量子力學的第三條公理——平均值公理產(chǎn)生的源頭.由此可見，這一條公理的出現(xiàn)合情合理，容易讓人接受，也容易施于教學之中.

表面上看，這條平均值公式的假設非常一般，但實際上它包含著非常豐富的內(nèi)容.首先，它預示著物理量必須要用算符來替代.這一點從動量平均值的計算就可以看出，即如果堅持這一平均值公式形式的正確性，則相應的動量就必須代以算符-i.此外，如果仍舊保留動能、角動量等這樣一些經(jīng)典物理量的概念，則可以由平均值公式確定其他物理量所對應的算符.例如，要計算動能的平均值，則由平均值的計算性質(zhì)，有

因此，與動能對應的算符為

可見，對簡單的力學問題來說，物理量要用算符來表示就已包含在平均值公理當中了，這時，可以不需要再將“物理量用算符表示”這條帶有硬性規(guī)定似的公理單獨提出.或者說，在公理體系的量子力學中，無須強調(diào)對應原理，盡管這一原理在量子力學創(chuàng)建初期起到非常大的作用.當然，對于更深入的量子理論，在涉及體系內(nèi)部自由度問題時，由于沒有經(jīng)典對應，那時可以通過講解對應原理以及對稱性原理等，藉此來尋找這些無經(jīng)典對應的物理量所對應的算符.但無論如何，此時的平均值公理仍然是一條可以用于檢驗理論與實驗是否相符的重要法則.

其次，平均值公理還給出了預計測量結(jié)果的方法，即從描述體系的波函數(shù)當中獲取物理量的信息，具體有如下兩條推論：(1)對處于某一狀態(tài)的體系，一個物理量的取值只能是表示該物理量的算符的本征值；(2)對體系的這一物理量進行測量，獲得某一結(jié)果(本征值)的概率也可由平均值公理給出.這表明在整個理論體系中，平均值公理起著將理論形式與物理實際聯(lián)系起來的橋梁作用.

為說明以上兩條推論，先介紹概率論里的幾個概念.令X為一個隨機變量，取值x，ρ(x)dx為隨機變量取值在[x,x+dx]區(qū)間內(nèi)的概率，ρ(x)稱為概率密度，或者概率分布，它是討論隨機變量統(tǒng)計問題的關(guān)鍵所在.下面給出一種確定概率密度的方法.

定義1： 隨機變量X的m階矩用〈Xm〉表示，其定義為下面的積分

由此可見，一階矩就是平均值(期望值).

定義2： 隨機變量X的特征函數(shù)定義為e-ixτ的平均值，即積分

因此，特征函數(shù)是X的概率密度ρ(x)的傅里葉變換.

將上式積分里的指數(shù)函數(shù)展開，并利用矩的定義，就有

因此，如果所有階的矩都已知的話，則特性函數(shù)χ(τ)也就已知了，再利用傅里葉逆變換，得

即概率密度ρ(x)被確定下來了.

則

令ρ(a)da為物理量A取值在[a,a+da]范圍內(nèi)的概率，則概率密度為

因此，物理量A只有取an的概率為

所以

從而得到物理量A的數(shù)值分布情況

上式表明：只有當a是本征值當中的數(shù)時，即a=an(n=1,2,…)，其概率才不為零，否則，a的取值概率都為零.這樣，測量的可能結(jié)果只能是本征值an當中的值.第一條推論得以證明.下面計算測量獲得an的概率，與前面的討論類似，因為

即獲得an的概率為|cn|2.這樣，第二條推論也得以證明.

目前，許多教材將“物理量的取值為對應算符的本征值”作為公理來陳述，同時也將“測量獲得某一結(jié)果的概率為|cn|2”當作另一條公理，即所謂投影假設.倘若沒有平均值公理作基礎(chǔ)，這些都很難讓人一下子接受，學生往往會知其然而不知其所以然.然而，從上面的討論來看，這些都無須當作是基本的，它們都可當作是平均值公理的產(chǎn)物，因此，平均值公式作為公理是理所當然的.須說明的是如果掌握了最基本的公理，再進一步學習量子力學時，為了簡潔的需要可以不再用平均值公式作為公理，取而代之用其他形式的公理(比如，上面提到的投影假設)，這也是可以的.這是在理解了量子力學的基本原理、不會產(chǎn)生疑惑的基礎(chǔ)上才這樣做.對于量子力學初學者來講，要很好理解和接受量子力學，用平均值公理會更合情合理些.

除此之外，從平均值這一量子力學的基本公理出發(fā)，經(jīng)過一定的數(shù)學推導，還可以對在量子力學產(chǎn)生初期所提出的那些思想進行解釋，如測不準原理.總之，有了上述提出的公理體系，可以像牛頓力學，電磁學等其他物理學學科那樣，從最基本的原理出發(fā)來演繹整個量子力學，邏輯清晰而簡單，從而使得量子力學的教和學變得有規(guī)可循，

不再為那些含糊不清的概念和術(shù)語所迷惑，使量子力學不再像“天書”，也不再是只停留在書本上的珍品，而是實實在在的處理實際問題的理論依據(jù).

3　結(jié)語

平均值公理在量子力學中處于基礎(chǔ)地位，可以由平均值公理導出量子力學中的其他特性.并且從平均值公理出發(fā)，量子力學理論的邏輯和概念變得更加簡潔和清晰，特別是對于量子力學初學者而言，也更便于他們理解和接受量子力學理論.

[1]ZeilingerA.Afoundationalprincipleforquantummechanics[J].FoundationofPhysics, 1999, 29: 631-644.

[2]MullerR,WiesnerH.Teachingquantummechanicsonanintroductorylevel[J].AmericanJournalofPhysics, 2002, 70(3): 200-209.

[3]張永德.量子力學[M]. 北京: 科學出版社, 2002.

[4]鄒鵬程.量子力學[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.

[5]Cohen-TannoudjiC,DiuB,LaloeF.Quantummechanics[M].NewYork:JohnWileyandSons, 1977.

[6]BongaartsP.QuantumTheory[M].Switzerland:SpringerInternationalPublishing, 2015.

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DISCUSSION ON THE STATUS OF EXPECTATION VALUE AXIOM IN QUANTUM MECHANICS AND ITS ENLIGHTENMENT FOR TEACHING

Peng YongyiPeng ZhengFu Liping

(School of Physics and Electronics, Central South University, Changsha, Hunan410083)

In this paper, the effects and status of expectation value axiom (EVA) in quantum mechanics are analyzed and discussed, and its enlightenment for teaching is also analyzed. It is indicated that the EVA can be obtained naturally by extending the ordinary expectation value formula. The EVA is the fundamental quantity in quantum mechanics. According to strict mathematics theory, other basic features of quantum mechanics can be derived directly from the EVA. When the teaching of quantum mechanics starts from the EVA, the logic and concepts of quantum mechanics become more distinct. So the theory of quantum mechanics can be accepted and understood more easily, especially for beginners in quantum mechanics.

expectation value axiom; quantum mechanics; teaching

2016-01-22;

2016-03-05

2015年中南大學教學改革研究項目資助(普通教育類54號).

彭勇宜，男，副教授，主要從事近代物理學的教學與研究.pyyi@sina.com

引文格式: 彭勇宜,彭政,符力平. 論平均值公理在量子力學中的地位及其對教學的啟示[J]. 物理與工程，2016，26(3)：13-17.