劉　斌　高　強(qiáng)（湖北大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院武漢430062）

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基于二維不可分小波變換的矩不變量

劉斌高強(qiáng)*
（湖北大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院武漢430062）

尋找相對(duì)于尺度、平移、旋轉(zhuǎn)不變的小波不變量是多尺度分析在模式識(shí)別中應(yīng)用的關(guān)鍵性問題。該文利用基于統(tǒng)計(jì)的不變矩這一理論和應(yīng)用上都比較成熟的方法，將圖像有限個(gè)尺度的小波近似系數(shù)和圖像不變矩聯(lián)系起來，從而給出了一種小波矩不變量，得到了比較完善的理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果。同時(shí)指出了該理論方法在實(shí)際應(yīng)用中所需注意的地方，最后簡(jiǎn)要闡述了多尺度分析與不變矩的應(yīng)用關(guān)系。

模式識(shí)別；多尺度分析；2維不可分小波；不變矩；平滑性；近似系數(shù)

1　引言

在信號(hào)及圖像處理中，多尺度分析的思想由來已久，文獻(xiàn)［1］提出了基于LAPALACE金字塔式的分解從而進(jìn)行多尺度的特征提取與識(shí)別，但金字塔分解后各層數(shù)據(jù)的相關(guān)性影響了它的性能。隨著小波理論［2］的發(fā)展，文獻(xiàn)［2］基于小波的塔式分解算法使各層的細(xì)節(jié)相對(duì)獨(dú)立而具有良好的應(yīng)用。由小波及其多分辨率分析理論［3，4］可知，一幅圖像可分解為按尺度分辨率逐級(jí)降低的近似信息和細(xì)節(jié)信息，各個(gè)尺度的細(xì)節(jié)信息表示它不同的物理結(jié)構(gòu)，而近似信息表示其總體輪廓，基于此理論上我們可從大尺度上分析圖像然后逐層細(xì)化識(shí)別，即所謂多尺度識(shí)別。多尺度識(shí)別的關(guān)鍵是找到待識(shí)別模式在有限個(gè)尺度下相對(duì)于平移、尺度、旋轉(zhuǎn)變化的不變量，這正是不變矩所具備的特性，據(jù)此可利用不變矩理論表征這種不變量。

不變矩理論從1維到多維都有比較成熟的理論和方法，可從目標(biāo)圖像中提取不變矩作為特征進(jìn)行目標(biāo)的正確識(shí)別和圖像匹配等方面的應(yīng)用［5］。文獻(xiàn)［6］利用代數(shù)不變量理論首次給出了2維不變矩的表示，其中階數(shù)小于3的7個(gè)具有平移、旋轉(zhuǎn)和尺度不變性的不變矩是應(yīng)用的基礎(chǔ)。矩（中心矩）實(shí)際上反映物體灰度相對(duì)于質(zhì)心的統(tǒng)計(jì)分布情況，計(jì)算量大而且高階矩受噪聲影響較大一直困擾著矩方法，這是矩對(duì)信號(hào)進(jìn)行全局化處理造成的，為減小計(jì)算量人們也提出了一些改善的方法［7］。另一方面，圖像上物體可由各個(gè)不同相關(guān)聯(lián)的結(jié)構(gòu)組成，而圖像的灰度信息只在各結(jié)構(gòu)之間局部地相關(guān)著，而與其較遠(yuǎn)的結(jié)構(gòu)關(guān)系不大，就單個(gè)圖像像素而言它也只與附近一定范圍內(nèi)的像素具有較強(qiáng)相關(guān)性，而與其距離越遠(yuǎn)的像素越無相關(guān)性以至于幾乎不相關(guān)。受Fourier變換局部化的啟示，希望能將反映相關(guān)信息的矩方法也分層局部化，具有“數(shù)學(xué)顯微鏡”之稱的局部化分析工具小波是一種理想的選擇。

在Fourier分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的小波分析在1維及其張量積形式情形下都有比較成熟的理論和方法，但利用張量積小波對(duì)2維圖像及更高維信號(hào)進(jìn)行處理，由于其人為的方向性的處理方式顯然具有很大的缺陷。由此產(chǎn)生了2維非張量積的小波理論，并已有一些相關(guān)的理論和應(yīng)用研究［810］-，但其總體的理論和應(yīng)用遠(yuǎn)不及1維小波那樣成熟。文獻(xiàn)［11］闡明了1維及2維張量積的小波矩不變量。本文在現(xiàn)有2維非張量積（不可分）小波理論的基礎(chǔ)上，結(jié)合不變矩的理論和方法從理論上進(jìn)行推廣和拓展得到了在2維不可分情形下的小波矩不變量。同時(shí)進(jìn)行了相應(yīng)的數(shù)值驗(yàn)證工作。此矩不變量比基于原圖像的矩值計(jì)算量大幅減小，同時(shí)繼承了不可分小波變換和不變矩的一些優(yōu)點(diǎn)而使其能夠更好地應(yīng)用于模式識(shí)別領(lǐng)域。

2　　2維不可分小波變換及其多分辨率分析理論

2維不可分的多分辨率分析可從相應(yīng)的1維的多分辨率分析作推廣而得，具體是指在中有一串嵌套的閉子空間逼近序列滿足下列條件：

同理分別對(duì)式（2）、式（3）、式（4）兩邊作Fourier變換，可得

由以上分析可知（，）H u v的構(gòu)造是多分辨率分析的關(guān)鍵，給定共軛濾波器（，）H u v滿足：

實(shí)際設(shè)計(jì)濾波器時(shí)都對(duì)（，）H u v有平滑性的要求，設(shè)（，）H u v可被分解為［14］

證明由2維小波分析理論，（1）中的等式顯然是成立的，以下簡(jiǎn)要證明（2）中結(jié)論。

3　矩與小波不變矩

2維平面上灰度圖像（，）f x y的p q+階幾何矩［6］的定義為

當(dāng)（，）f x y在-x y平面上的有限區(qū)域內(nèi)非零且分段連續(xù)時(shí)，pqm與（，）f x y互相唯一確定。矩的特定代數(shù)式在圖像平移、旋轉(zhuǎn)、尺度變化時(shí)保持定值，稱為不變矩。把坐標(biāo)原點(diǎn)移至（，）f x y的質(zhì)心，再除以一個(gè)尺度因子，可得到p q+階中心化規(guī)格矩：

而由中心化規(guī)格矩可以組合表示出文獻(xiàn)［6］中的7個(gè)具有平移、旋轉(zhuǎn)、尺度變化的不變矩，這里不再列出。在文獻(xiàn)［6］工作的基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)［15］進(jìn)一步給出了離散情況下各階矩的計(jì)算方法，另外為保證離散情況下不變矩的尺度不變性，文獻(xiàn)［16］對(duì)歸一化的中心距進(jìn)行了修正，實(shí)際情況下可借鑒這些方法以取得更好的應(yīng)用效果。對(duì)函數(shù)（，）f x y作2維Fou rier變換可得（，）F u v對(duì)等式兩邊同時(shí)對(duì)u求 p階偏導(dǎo)，再接著對(duì)v求q階偏導(dǎo)，最后令有

由式（13）和引理1可得引理2。

引理2如果（，）H u v在（0，0）點(diǎn)有M N+次平滑性，則

（1其下同；

（2）

定理1如果共軛濾波器（，）H u v在（0，0）點(diǎn)有M N+次平滑性，將（，）f x y按（，）H u v構(gòu)造的尺度函數(shù)及小波函數(shù)作小波展開，是其近似系數(shù)，令表示基于2維不可分小波變換近似系數(shù)的p q+階小波矩，則

在設(shè)計(jì)共扼濾波器（，）H u v時(shí)，如果使（，）H u v在零點(diǎn)有M N+次平滑性，那么按照（，）H u v得到的尺度函數(shù)和小波函數(shù)將2維圖像（，）f x y在其上分解后產(chǎn)生的任一層次j的近似系數(shù)，理論上可無誤差地表達(dá)階次不大于M N+的矩值，式（14）中不出現(xiàn)細(xì)節(jié)系數(shù)。這表明圖像作2維不可分小波分解后，它的有限個(gè)視覺不變量將始終保留在任一層次的近似中而與任一層的細(xì)節(jié)無關(guān)，即得到了基于近似系數(shù)的小波矩不變量。這種基于近似系數(shù)的小波矩不變量，通過作平移、規(guī)格化及類似7個(gè)幾何不變矩的代數(shù)組合變換，就可得到基于近似系數(shù)的小波不變矩。這樣的小波不變矩有3個(gè)基本優(yōu)點(diǎn)：其一，由于近似系數(shù)只為原始圖像數(shù)據(jù)量的1/4甚至更?。ǚ纸獬叨仍黾訒r(shí)），故基于小波分解近似系數(shù)的矩值計(jì)算復(fù)雜性將大幅減??；其二，如果原始圖像存在噪聲，對(duì)圖像進(jìn)行2維不可分小波分解后噪聲主要存在于細(xì)節(jié)系數(shù)中，這樣基于少量噪聲的近似系數(shù)計(jì)算得到的矩值比通過原始噪聲圖像計(jì)算的矩值應(yīng)更準(zhǔn)確和更能表征物體的特征，而有利于模式的正確識(shí)別；其三，小波變換可以獲取圖像中物體的細(xì)節(jié)結(jié)構(gòu)特征，而在模式識(shí)別的理論和方法中，基于統(tǒng)計(jì)的不變矩能很好地對(duì)模式的特征信息進(jìn)行描述［17］，故將小波變換和不變矩方法結(jié)合起來可充分利用兩者的優(yōu)點(diǎn)，為進(jìn)一步提出相關(guān)高效的模式識(shí)別應(yīng)用算法奠定了基礎(chǔ)［18］。

實(shí)際應(yīng)用中逼近層j和平滑性M+N的值是有限制的，盡管從原則上增大逼近層j和平滑性M+N能以較小的計(jì)算代價(jià)獲得更多的矩不變量信息，但在實(shí)際應(yīng)用中將受到物體大小和Gibbs效應(yīng)的影響?？偟貋碚f，為保證足夠的計(jì)算精度以利于精確識(shí)別，逼近層j應(yīng)滿足為圖像尺寸，對(duì)此文獻(xiàn)［6］有較為詳細(xì)的分析；另一方面，圖像小波分解過程中的卷積會(huì)存在破壞邊界的Gibbs效應(yīng)，這將影響待識(shí)別物體從背景的分割，而分割的好壞直接影響矩不變量的計(jì)算。為減少Gibbs效應(yīng)的影響，M+N值也不能太大。

4　實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文利用設(shè)計(jì)得到的2維不可分小波濾波器在Matlab8.0平臺(tái)上對(duì)Lena灰度圖像進(jìn)行分解后，計(jì)算其基于近似系數(shù)的矩不變量，結(jié)果列于表1。

理論上說階數(shù)小于5的矩值在任一層得小波逼近系數(shù)中應(yīng)保持定值，而且階數(shù)越小其誤差值越小，實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地反映了這一點(diǎn)。當(dāng)然，隨著矩階數(shù)的增高和逼近層數(shù)的加大，誤差也逐漸增大，這是物體尺寸和Gibbs效應(yīng)的影響，已在第3節(jié)中指出。

為驗(yàn)證式（14）的抗噪性能，本文對(duì)Lena圖像加噪聲（見圖1）后同樣利用2維不可分濾波器對(duì)噪聲圖像進(jìn)行分解求其不同尺度下的矩不變量，將其與按式（11）計(jì)算得到的無噪聲圖像原始準(zhǔn)確矩值比較，得出表2數(shù)據(jù)。

由表2的矩值誤差數(shù)據(jù)明顯可知第0層的矩值誤差是最大的，而隨著分解層數(shù)的增加近似系數(shù)受噪聲影響越來越小使其矩值誤差相對(duì)準(zhǔn)確值的誤差越來越小，正如第3節(jié)所述這是由于小波變換將原圖像的大部分噪聲分解到細(xì)節(jié)系數(shù)中，而近似系數(shù)所含噪聲較少的緣故。當(dāng)然隨著尺度的進(jìn)一步增大，由于物體尺寸和Gibbs效應(yīng)及其他原因?qū)е碌恼`差增加導(dǎo)致相對(duì)準(zhǔn)確矩值的誤差值有所變大，但總體成減小的趨勢(shì)。

表1　基于分解近似系數(shù)的圖像矩值及其誤差值

表2　基于分解近似系數(shù)的加噪圖像矩值及其對(duì)比誤差值

圖1　原始Lena圖像和加噪Lena圖像

就式（14）的計(jì)算復(fù)雜度而言，由理論推導(dǎo)可知近似系數(shù)只有原始圖像數(shù)據(jù)量的1/4。假設(shè)離散的原圖像尺寸為N N×，一般幾何矩是按式（11）對(duì)原始圖像進(jìn)行處理，其計(jì)算復(fù)雜度為而本文是對(duì)只有原始圖像尺寸1/4的近似系數(shù)進(jìn)行處理，原始數(shù)據(jù)量的減小顯然將大幅降低計(jì)算量。假如式（14）的計(jì)算是基于第1層的近似系數(shù)，則其計(jì)算復(fù)雜度將降低為而如果其基于更大尺度（層數(shù)）的近似系數(shù)即尺度的近似系數(shù)，計(jì)算復(fù)雜度將進(jìn)一步降為這顯然在原始的計(jì)算復(fù)雜度基礎(chǔ)上大幅減小了（4S-1）/4S的計(jì)算量。

5　結(jié)束語

本文從理論上推導(dǎo)得到了基于矩的小波矩不變量（小波不變矩），并指出它在實(shí)際應(yīng)用中的局限性和需要注意的地方。多尺度分析是通過減少信號(hào)不必要的細(xì)節(jié)在大尺度范圍內(nèi)進(jìn)行識(shí)別，而不變矩方法則要求盡可能多地保留物體的特征，特別是有助于區(qū)分近似物體的細(xì)節(jié)特征，這兩種方法之間有一種內(nèi)在的矛盾性和互補(bǔ)性。通常在模式識(shí)別中，需從總體輪廓上把握物體的特征，這樣的識(shí)別方法具有抗噪性和抗干擾性［19］，而保留物體的細(xì)節(jié)特征有助于區(qū)分形近的物體但卻導(dǎo)致對(duì)噪聲和干擾的敏感。于是為了消除細(xì)節(jié)減少數(shù)據(jù)量，必須增大尺度，但這樣做同時(shí)會(huì)使不變量數(shù)值不精確和導(dǎo)致表征細(xì)節(jié)特征信息不充分；另一方面，為盡可能準(zhǔn)確地計(jì)算不變量必須盡量保持?jǐn)?shù)據(jù)，從而要求逼近尺度不能太大。實(shí)際應(yīng)用中兩種方法的有機(jī)結(jié)合是很必要的，最合理的妥協(xié)就是每個(gè)物體在其合適的層次得到識(shí)別。

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劉斌：男，1963年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事模式識(shí)別、圖像處理及小波理論的研究.

高強(qiáng)：男，1988年生，碩士生，研究方向?yàn)閳D像處理、模式識(shí)別.

Moment Invariants Based on Two Dimensional Non-separable Wavelet Transform

LIU Bin GAO Qiang
（School ofComputer and Information Engineering，Hubei University，Wuhan 430062，China）

Searching for wavelet invariants is a key issue in m ultiresolu tion analysis.On the other hand，them ethod ofmoment invariants is fully developed both in the theory and the p ractice.A kind ofwaveletmoment invariants are given based on the image invariantmoments and wavelet app r-oximation coefficients from the lim ited number of scales of the image.A fairy com plete result on theory and experiment is obtained.At the same time，some problem sof the theory and method are pointed out in the p racticalapplication.Finally，the application relationship betweenmu lti-scale analysis and invariantmoment is briefly described.

Pattern recognition；M ulti-scale analysis；Two dim ensional non-separable wavelet；Invariantm om ent；Smoothness；App roximation coefficients

s:The National Natural Science Foundation of China（61471160），The Key P roject of the Natural Science of Hubei Province（2012FFA 053）

TP391.41

A

1009-5896（2016）08-2085-06

10.11999/JEIT 151218

2015-11-03；改回日期：2016-05-03；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-06-12

高強(qiáng)shengqiang8814@qq.com

國(guó)家自然科學(xué)基金（61471160），湖北省自然科學(xué)基金（2012FFA 053）