游鵬飛　劉顏回*　黃　鑫　朱春輝　柳清伙（廈門(mén)大學(xué)電子科學(xué)系廈門(mén)361005）（杜克大學(xué)電氣與計(jì)算機(jī)工程系達(dá)勒姆27708）

?

基于改進(jìn)GA-FFT綜合含互耦效應(yīng)的不等間隔陣列賦形方向圖

游鵬飛①劉顏回*①黃鑫①朱春輝①柳清伙②①
①（廈門(mén)大學(xué)電子科學(xué)系廈門(mén)361005）
②（杜克大學(xué)電氣與計(jì)算機(jī)工程系達(dá)勒姆27708）

該文提出了一種虛擬的最小均方有源單元方向圖展開(kāi)方法，將不等間隔陣列的有源方向圖展開(kāi)為一個(gè)虛擬的均勻間隔陣列的若干單元輻射的疊加。通過(guò)該方法，對(duì)包含陣元耦合效應(yīng)的不等間隔陣列方向圖，可以使用快速傅里葉變換進(jìn)行加速計(jì)算。并且，該文將這個(gè)方法與遺傳算法（GA）相結(jié)合，得到一種改進(jìn)的GA-FFT方法，可以應(yīng)用于解決含陣元互耦的不均勻間隔陣列的賦形波束綜合問(wèn)題。最后，分別對(duì)不等間隔的偶極子陣列平頂方向圖及微帶陣列的余割平方方向圖進(jìn)行了綜合，結(jié)果表明所提方法的有效性和優(yōu)勢(shì)。

不等間隔陣列；陣元互耦；FFT；波束賦形

1　引言

在陣列天線綜合問(wèn)題中，許多迭代綜合方法如交替投影法、隨機(jī)優(yōu)化算法等，具有廣泛的應(yīng)用［13］-。在這些方法中，遺傳算法（Genetic A lgorithm，GA）由于其魯棒性和普適性，被廣泛地用來(lái)搜索全局最優(yōu)解。然而同其他迭代算法一樣，遺傳算法也需要大量反復(fù)地計(jì)算陣列方向圖，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。因此，對(duì)于迭代綜合方法而言，加快陣列方向圖的計(jì)算，可以顯著降低這些方法的計(jì)算復(fù)雜度。對(duì)等間隔陣列而言，假定各單元具有相同的單元方向圖的情況下，可以采用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）來(lái)加速陣因子的計(jì)算，如GA-FFT方法［4］。近年來(lái)，一些學(xué)者又將這些方法與非均勻快速傅立葉變換（Non-Uniform Fast Fourier Transform，NUFFT）相結(jié)合，將之推廣應(yīng)用于不等間隔陣列的陣因子計(jì)算［58］-，其中GA-NUFFT［8］方法就是主要代表之一。然而，這種基于NUFFT的陣列綜合算法依然只適用于具有相同單元方向圖的情況，不能考慮實(shí)際陣列中陣元互耦等因素導(dǎo)致的單元方向圖的差異影響。

眾所周知，采用有源單元方向圖來(lái)計(jì)算陣列方向圖，可以包含陣元耦合以及陣列安裝環(huán)境的影響［9，10］。然而，由于有源單元方向圖各不相同，無(wú)法提取陣列因子，不能應(yīng)用FFT或NUFFT來(lái)加速。為了克服這一問(wèn)題，許多學(xué)者提出了一些近似方法。在文獻(xiàn)［11］中，將等間隔直線陣列的單元分為兩類(lèi)：陣中單元和邊沿單元。陣中單元享有共同的單元方向圖，可以采用FFT計(jì)算這部分單元對(duì)總陣列方向圖的貢獻(xiàn)，邊沿單元方向圖各不相同，則需要直接求和計(jì)算。該方法比較適合于電大規(guī)模的等間隔陣列問(wèn)題。文獻(xiàn)［12］將每一個(gè)有源單元方向圖看成由整個(gè)陣列耦合激勵(lì)的陣因子與單元孤立存在時(shí)的方向圖的乘積。盡管該方法適用于任意間隔陣列，但由于需要求解每一個(gè)有源單元方向圖對(duì)應(yīng)的所有陣元的耦合系數(shù)，需要較高的計(jì)算復(fù)雜度。

最近，文獻(xiàn)［13］提出了一種最小均方有源單元方向圖展開(kāi)（Least-Square Active Element Pattern Expansion，LS-AEPE）方法。該方法將有源單元方向圖看成是陣列中部分相鄰單元輻射的疊加，對(duì)每一個(gè)有源單元方向圖而言，僅需要求解少數(shù)幾個(gè)單元的耦合系數(shù)。為減少這種近似誤差，耦合系數(shù)由最小均方誤差準(zhǔn)則獲得。應(yīng)用該方法，等間隔陣列的方向圖可以使用標(biāo)準(zhǔn)的FFT加速，并且可以包含陣元互耦以及安裝環(huán)境的影響。本文將該方法推廣應(yīng)用于含陣元互耦效應(yīng)的不等間隔陣列的賦形波束綜合問(wèn)題。與文獻(xiàn)［13］不同，針對(duì)實(shí)際的不等間隔陣列情況，我們需要構(gòu)造一個(gè)虛擬的等間隔陣列，將每一個(gè)有源單元方向圖看成是虛擬陣列中若干等間隔單元的輻射疊加形成，且虛擬單元的激勵(lì)系數(shù)也由最小均方誤差準(zhǔn)則給出。我們稱(chēng)這個(gè)方法為虛擬的最小均方有源單元方向圖展開(kāi)方法。并且，本文將這個(gè)方法與GA方法結(jié)合，得到一種改進(jìn)的GA-FFT方法，可以有效地對(duì)含陣元互耦的不等間隔陣列進(jìn)行優(yōu)化。最后使用該方法綜合了不等間隔偶極子陣列的平頂方向圖以及不等間隔微帶陣列的余割平方方向圖，結(jié)果證明了本文方法的有效性和優(yōu)勢(shì)。

2　不等間隔陣列有源單元方向圖的最小均方誤差展開(kāi)

以N元非均勻間隔線陣為例，陣元分布在X軸上，陣列方向圖可以表示為

為應(yīng)用FFT加速計(jì)算，我們將實(shí)際的不等間隔陣列插值為虛擬的等間隔陣列，如圖1所示。實(shí)際陣列中的每個(gè)有源單元方向圖可以視為其鄰近位置的若干個(gè)虛擬單元組成的虛擬子陣輻射造成的。這樣實(shí)際的不等間隔陣列中的每個(gè)有源單元方向圖可以展開(kāi)為虛擬的等間隔陣列中若干個(gè)鄰近位置的虛擬單元方向圖的加權(quán)疊加。如圖1所示，在第1個(gè)線框中的5個(gè)等間距虛擬陣元組成的虛擬子陣用來(lái)插值實(shí)際陣列中的第1個(gè)陣元，即用該虛擬子陣輻射的方向圖來(lái)近似第1個(gè)有源單元方向圖。以此類(lèi)推，相同的方法依次處理實(shí)際陣列中每一個(gè)有源單元方向圖。

圖1　用虛擬的等間隔陣列展開(kāi)實(shí)際陣列的有源單元方向圖

因此，我們有

為減少式（2）中有源方向圖展開(kāi)的近似誤差，虛擬單元的激勵(lì)系數(shù)nqc通過(guò)求解最小化均方誤差問(wèn)題得到：

其中

上述問(wèn)題的最小均方誤差解為n=c因此該方法被稱(chēng)為虛擬的有源單元方向圖的最小均方展開(kāi)方法（Virtual Least-Square Active Element Pattern Expansion，VLS-AEPE）。

3　改進(jìn)的GA-FFT綜合具有陣元互耦的不等間隔陣列賦形方向圖

將式（2）代入式（1），我們可以重寫(xiě)陣列方向圖的表達(dá)式為

其中

在u域上均勻采樣，則可以直接應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)FFT來(lái)實(shí)現(xiàn)式（8）的加速計(jì)算。可見(jiàn)，通過(guò)上述處理后，可以實(shí)現(xiàn)在考慮陣元互耦情況下不等間隔陣列方向圖的FFT加速。

結(jié)合不同的陣列綜合策略，上述方法可以應(yīng)用到不同的陣列綜合問(wèn)題。這里，我們考慮非均勻間隔線陣的賦形功率方向圖綜合問(wèn)題。賦形功率方向圖的綜合是一個(gè)高度非線性的問(wèn)題，我們應(yīng)用遺傳算法（GA）來(lái)搜索陣元激勵(lì)的全局最優(yōu)解［4］。在GA算法中，每一個(gè)個(gè)體（或者染色體）關(guān)聯(lián)一組陣列激勵(lì)。對(duì)于N元陣列，每組優(yōu)化變量具有2N的維度。其中，前N個(gè)元素代表陣列激勵(lì)的幅度，采用實(shí)數(shù)編碼，取值范圍為［］0，1；后N個(gè)元素代表陣列激勵(lì)的相位，采用實(shí)數(shù)編碼，取值為［］，-ππ。對(duì)于方向圖綜合問(wèn)題，我們關(guān)心的是陣元激勵(lì)幅度和相位分布的相對(duì)大小，而不是它們的絕對(duì)值。因此，對(duì)位置固定的N元陣列而言，其實(shí)際自由度為2 2N-。在賦形功率方向圖優(yōu)化過(guò)程中，我們?cè)O(shè)定的目標(biāo)函數(shù)為最小化賦形區(qū)域上功率方向圖與期望函數(shù)的誤差，并增加不同區(qū)域的方向圖邊界控制以及最大激勵(lì)幅度比的約束條件。數(shù)學(xué)表述為

在GA綜合算法中，假定每一代進(jìn)化中的每一個(gè)個(gè)體均需要計(jì)算陣列方向圖。對(duì)于M個(gè)采樣點(diǎn)的一次陣列方向圖計(jì)算，對(duì)式（1）直接求和需要MN次復(fù)數(shù)乘法，而應(yīng)用VLS-AEPE方法可借用FFT對(duì)式（8）進(jìn)行計(jì)算，僅需要次復(fù)數(shù)計(jì)算（假定使用基2的FFT算法，其中表示對(duì)x向上取整）。設(shè)置圖2顯示了這兩種方法計(jì)算陣列方向圖所需的復(fù)乘數(shù)目?？梢?jiàn)，當(dāng)陣元數(shù)目N大于7時(shí)，VLS-AEPE FFT方法比直接求和方法需要更少的復(fù)乘次數(shù)，且隨著N的增大，這種計(jì)算優(yōu)勢(shì)更為明顯。如果使用混合基的FFT算法，比如基2和基4的混合算法，還可以進(jìn)一步提高計(jì)算效率。由于GA算法需要大量多次進(jìn)行陣列方向圖計(jì)算，應(yīng)用VLS-AEPE FFT方法可以大大提高計(jì)算效率。

4　數(shù)值結(jié)果

4.1平頂方向圖綜合

考慮一個(gè)12元非均勻間隔的線陣，陣元位置由FBMPM［14］方法得到。在文獻(xiàn)［14］中，F(xiàn)BMPM方法假設(shè)單元為理想點(diǎn)源，得到了滿足邊界的平頂賦形方向圖。然而在實(shí)際陣列中，由于單元互耦效應(yīng)的存在，F(xiàn)BMPM方法優(yōu)化的權(quán)值在實(shí)際全波仿真或測(cè)試中得到的結(jié)果往往存在較大的誤差。本文考慮單元天線為工作頻率在1GHz的偶極子天線，陣列模型如圖3所示。該陣列的有源方向圖可以使用全波仿真軟件如HFSS得到。

圖2　計(jì)算陣列方向圖所需的復(fù)乘次數(shù)與陣列規(guī)模的關(guān)系

圖3　 12元不等間隔偶極子天線陣列（mm）

為了評(píng)估VLS-AEPE方法用于展開(kāi)該陣列有源單元方向圖的精度，我們定義誤差為

圖4顯示了誤差ε與參數(shù)d和Q的關(guān)系。由圖4可見(jiàn)，對(duì)于固定的d，Q越大，誤差就越??；對(duì)于固定的Q，d減小也會(huì)降低誤差。但是當(dāng)d≤0.35λ時(shí)，減小d并不能降低誤差。這是由于在固定Q的情況下，d減小意味著用來(lái)展開(kāi)有源方向圖的虛擬子陣的間距變小，同時(shí)所用的口徑也越小了，抵消了小間距帶來(lái)的精度改善。在這個(gè)例子中，我們?nèi)= 0.35λ，Q=6。這時(shí)，12元含耦合的不等間隔線陣可以變換為30元虛擬的等間隔線陣。采用虛擬子陣展開(kāi)后，可以采用FFT來(lái)計(jì)算陣列方向圖，并使用GA算法對(duì)激勵(lì)和相位進(jìn)行優(yōu)化，使得綜合的方向圖滿足波束賦形和副瓣控制的要求。如圖5所示，使用點(diǎn)源假設(shè)的FBMPM方法綜合的激勵(lì)，在用于圖3所示的偶極子陣列后，由于陣元互耦的存在，所得方向圖在低副瓣電平區(qū)域不能滿足-40 dB的要求。而采用本文方法優(yōu)化后，所得陣列方向圖完全滿足所給定的副瓣及波束賦形要求。另外，我們約束了最大激勵(lì)幅度比為3.4，略小于文獻(xiàn)［14］中給出的激勵(lì)幅度比3.6。

由圖2可知，陣列規(guī)模越大，VLS-AEPE FFT對(duì)于陣列方向圖計(jì)算的加速效果越顯著。因此，考慮擴(kuò)大陣列規(guī)模，對(duì)一個(gè)41元不等間隔的線陣綜合平頂方向圖，如圖6所示。單元天線仍然選用圖3所示的偶極子天線，單元位置由文獻(xiàn)［15］給出。采用本文提出的GA-VLS AEPE FFT方法對(duì)激勵(lì)進(jìn)行優(yōu)化，考慮了單元方向圖以及互耦效應(yīng)，所得陣列的方向圖與GA-直接求和方法得到的結(jié)果吻合得比較好，均嚴(yán)格滿足期望的方向圖邊界：賦形區(qū)域波束寬度和波紋響應(yīng)幅度分別為40°和0.3 dB，副瓣區(qū)域電平控制在-30 dB以下。

圖4　 VLS-AEPE方法的誤差ε與參數(shù)d，Q的關(guān)系

圖5　 12元不等間隔線陣平頂方向圖綜合結(jié)果

圖6　 41元不等間隔線陣平頂方向圖綜合結(jié)果

4.2余割平方方向圖綜合

考慮對(duì)一個(gè)13元不等間隔的線陣綜合余割平方方向圖。假定單元天線為工作頻率在2.45 GHz的微帶天線，單元位置由文獻(xiàn)［16］給出，陣列模型如圖7所示。如果采用文獻(xiàn)［16］給出的激勵(lì)，由于微帶單元方向圖的調(diào)制以及相鄰單元耦合的存在，所得陣列的方向圖超出期望的方向圖邊界，如圖8所示。而采用本文提出的GA-VLS AEPE FFT方法對(duì)激勵(lì)進(jìn)行優(yōu)化后，滿足了波束賦形和副瓣控制的要求，修正了直接使用文獻(xiàn)［16］給出的激勵(lì)，由于未考慮單元方向圖以及互耦而產(chǎn)生的誤差。另外，我們約束了激勵(lì)幅度比為5.1，而文獻(xiàn)［16］中所得結(jié)果的激勵(lì)幅度比為9.6。

圖7　 13元不等間隔微帶陣列（mm）

5　結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)不等間隔陣列，提出了一種虛擬的最小均方有源單元方向圖展開(kāi)方法?？梢栽诳紤]陣元電磁耦合的情況下，對(duì)陣列方向圖計(jì)算進(jìn)行FFT加速。將該方法與遺傳算法相結(jié)合，得到了一種改進(jìn)的GA-FFT方法，可以對(duì)考慮互耦的不等間隔陣列進(jìn)行方向圖賦形綜合。最后，我們對(duì)不等間隔的偶極子陣列進(jìn)行平頂方向圖綜合，對(duì)不等間隔的微帶陣列進(jìn)行了余割平方方向圖綜合，所得結(jié)果嚴(yán)格滿足預(yù)先設(shè)定的波束賦形及副瓣區(qū)域的要求，證明了本文方法的有效性。

另外，本文方法可以進(jìn)一步推廣到考慮安裝平臺(tái)對(duì)天線陣列的影響。對(duì)于安裝在平臺(tái)上的天線陣列，可以采用測(cè)試的有源單元方向圖，運(yùn)用本文方法依然具有可行性。

［1］WANG X，ABOUTANIOS E，and AM IN M G.Thinned array beampattern synthesis by iterative soft-thresholdingbased optim ization algorithm s［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2014，62（12）:6102-6113.doi:10. 1002/MOP.10823.

［2］趙宜楠，張濤，李風(fēng)從，等.基于交替投影的M IMO雷達(dá)最優(yōu)波形設(shè)計(jì)［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2014，36（6）:1368-1373.doi: 10.3724/SP.J.1146.2013.01198.

ZHAO Y N，ZHANG T，LI F C，et al.Optim al waveform design for M IMO radar via alternating projection［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2014，36（6）: 1368-1373.doi:10.3724/SP.J.1146.2013.01198.

［3］于波，陳客松，朱盼，等.稀布圓陣的降維優(yōu)化方法［J］.電子與信息學(xué)報(bào)，2014，36（2）:476-481.doi:10.3724/SP.J.1146. 2013.00526.

YU B，CHEN K S，ZHU P，et al.An optim um method of sparse concentric rings array based on dimensionality reduction［J］.Journal of Electronics&Information Technology，2014，36（2）:476-481.doi:10.3724/SP.J.1146. 2013.00526.

［4］WANG L L，F(xiàn)ANG D G，and SHENG W X.Comb ination of Genetic A lgorithm（GA）and Fast Fourier Transform（FFT）for synthesis of arrays［J］.M icrowave and Optical Technology Letters，2003，37（1）:56-79.doi:10.1002/MOP.10823.

［5］LIU Q H and NGUYEN N.An accurate al，gorithm for NonUniform Fast Fourier Transform s（NUFFT s）［J］.IEEE M icrowave and Guided W ave Letters，1998，8（1）:18-20.doi: 10.1109/75.650975.

［6］YANG K，ZHAO Z Q，and LIU Q H.Fast pencil beam pattern synthesisof large unequally spaced antenna arrays［J］. IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2013，61（2）:627-634.doi:10.1109/TAP.2012.2220319.

［7］LIU J Z，ZHAO Z Q，YANG K，et al.A hybrid optim ization for pattern syn thesis of large antenna arrays［J］.Progress In Electromagnetics Research，2014，145:81-91.doi:10.2528/ PIER13121606.

［8］JIANG M L，CHEN R S，ZHOU L，et al.Synthesis of arrays w ith Genetic A lgorithm（GA）and Nonuniform Fast Fourier Transform（NFFT）［C］.Asia-Pacific M icrowave Conference Proceedings（APMC），Suzhou，China，2005，4:2.doi:10. 1109/APMC.2005.1606885.

［9］POZAR D M.The active element pattern［J］.IEEE Transactions on Antennas Propagation，1994，42（8）: 1176-1178.doi:10.1109/8.310010.

［10］POZAR D M.A relation between the active input im pedance and the active elem ent pattern of a phased array［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2003，51（9）: 2486-2489.doi:10.1109/TAP.2003.816302.

［11］KELLY D F and STUTZMANW L.Array antenna pattern modeling methods that include mutual coupling effects［J］. IEEE Transactions on An tennas and Propagation，1993，41（12）:1625-1632.doi:10.1109/8.273305.

［12］STEYSKAL H and HERD J S.Mutual coup ling compensation in small array antennas［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1990，38（12）:1971-1975.doi: 10.1109/8.60990.

［13］YOU P F，LIU Y H，HUANG X，et al.Efficient phase-only linear array synthesis including coup ling effect by GA-FFT based on least-square active element pattern expansion method［J］.Electronics Letters，2015，51（10）:791-792.doi: 10.1049/EL.2015.0431.

［14］LIU Y H，NIE Z P，and LIU Q H.A new method for the synthesis of non-uniform linear arrays w ith shaped power patterns［J］.Progress In Electromagnetics Research，2010，107: 349-363.doi:10.2528/PIER10060912.

［15］WANG F，BALAKRISHNAN V，ZHOU P Y，et al.Op timal array pattern synthesis using sem idefinite p rogramm ing［J］. IEEE Transactions on Signal Processing，2003，51（5）: 1172-1183.doi:10.1109/TSP.2003.810308.

［16］FUCHSB.Synthesis of sparse arraysw ith focused or shaped beam pattern via sequential convex optim izations［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2012，60（7）: 3499-3503.doi:10.1109/TAP.2012.2196951.

游鵬飛：男，1986年生，博士生，研究方向?yàn)殛嚵芯C合與設(shè)計(jì).

劉顏回：男，1983年生，副教授，博士生導(dǎo)師，研究方向?yàn)樘炀€設(shè)計(jì)與陣列理論、陣列信號(hào)處理.

黃鑫：男，1991年生，碩士生，研究方向?yàn)殛嚵芯C合與設(shè)計(jì).

Modified GA-FFT for Synthesizing Shaped Pattern of Unequally Spaced A rray in Presence of M utual Coup ling

YOU Pengfei①LIU Yanhui①HUANG Xin①ZHU Chunhui①LIU Qinghuo②①
①（Department ofElectronic Science，Xiam en University，Xiamen 361005，China）
②（Department ofElectrical and Computer Engineering，Duke University，Durham 27708，USA）

A new Virtual Least-Square Active Element Pattern Expansion（VLS-AEPE）method is presented in this paper，w hich considers each active elem ent pattern of an unequally spaced array as the one radiated by some of equally spaced elem ents of a virtual array.Using the help of thism ethod，the pattern of an unequally spaced array includingmutual coupling can be efficiently calculated by FFT.In addition，thismethod is combined w ith the Genetic A lgorithm（GA）to dealwith the shaped pattern synthesis prob lem for unequally spaced linear arrays. Two synthesis experiments including the synthesis of flat-top pattern for an unequally spaced dipole array and the synthesis of cosec-squared pattern for an unequally spaced m icrostrip array are conducted to verify the effectiveness and advantages of the proposed algorithm.

Unequally spaced linear array；E lem ent mutual coup ling；FFT；Shaped pattern synthesis

s:The National Natural Science Foundation of China（61301009），The Fundamental Research Funds for the Central Universities（20720160081）

TN 820

A

1009-5896（2016）08-2107-06

10.11999/JEIT 151189

2015-10-29；改回日期：2016-04-08；網(wǎng)絡(luò)出版：2016-05-24

劉顏回yanhu iliu@xm u.edu.cn

國(guó)家自然科學(xué)基金（61301009），中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)（20720160081）