江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)　(212300)

史建軍

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一道最值問(wèn)題的推廣、完善與另解

江蘇省丹陽(yáng)高級(jí)中學(xué)(212300)

史建軍

1.問(wèn)題的提出

引例已知m,n∈R,m+2n=2,則m·2m+n·22n+1的最小值為：.

本題是2011年蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三第二次模擬考試的填空壓軸題，難度較大.但如果仔細(xì)觀察題中式子的結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)若令p=2n，則條件式化為m+p=2，目標(biāo)式化為m·2m+p·2p，由于變量m,p在條件式和目標(biāo)式中的地位相同，可知當(dāng)m=p時(shí)通常取得某個(gè)最值.由m=p=1得m·2m+n·22n+1=4,故最小值為4.

上述解法只是基于代數(shù)式特征的“特殊值”法，對(duì)于一般情形如何求解？

2.問(wèn)題的解法及推廣、完善

2.1問(wèn)題的解法及推廣

參考答案給出了如下解法：

令g(x)=x·2x+(2-x)22-x(x∈R)，∵g(x)=g(2-x),∴g(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)，故求g(x)的最小值只需考慮x∈[1,+∞)的情形.∵g′(x)=2x+x·2xln2-(2-x)22-xln2-22-x=(2x-22-x)+[x·2x-(2-x)22-x]ln2，當(dāng)x≥1時(shí)，x≥2-x,∴2x≥22-x.

(1)若x>2,則(2-x)22-x<0,x·2x-(2-x)22-x>0,∴l(xiāng)n2[x·2x-(2-x)22-x]>0,∴g′(x)>0;

(2)若1≤x≤2,由x≥2-x≥0,∴2x≥22-x，∴x·2x-(2-x)22-x≥0,∴g′(x)≥0;由(1)(2)可得：當(dāng)x≥1時(shí),g′(x)≥0恒成立,故g(x)在[1,+∞)單調(diào)遞增,由g(x)圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng),g(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減，∴gmin(x)=g(1)=4.因此m·2m+n·22n+1的最小值為4.

上述解法的關(guān)鍵及核心在于構(gòu)造函數(shù)：

g(x)=x·2x+(2-x)22-x,通過(guò)研究圖像的對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得最小值.g(x)結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng),形式優(yōu)美,尤其是其圖像的對(duì)稱(chēng)性及函數(shù)單調(diào)性讓人賞心悅目,解題思路巧妙,結(jié)論簡(jiǎn)明,令人意猶未盡.課后,有學(xué)生深入思考后提出了以下結(jié)論：

結(jié)論1函數(shù)g(x)=x·2x+(2k-x)22k-x(k∈R)的圖像關(guān)于直線x=k對(duì)稱(chēng)；

結(jié)論2函數(shù)g(x)=x·ax+(2k-x)a2k-x(k∈R,a>0且a≠1)的圖像關(guān)于直線x=k對(duì)稱(chēng)；

結(jié)論3函數(shù)g(x)=x·ax+(2k-x)a2k-x(k∈R,a>0且a≠1).則

當(dāng)a>1且k>0時(shí),g(x)在(-∞,k)上單調(diào)遞減,在(k,+∞)上單調(diào)遞增,故gmin(x)=g(k)=2k·2k.

當(dāng)0

2.2對(duì)推廣結(jié)論的證明

結(jié)論1及結(jié)論2的證明很簡(jiǎn)單，對(duì)于結(jié)論3，學(xué)生給出了如下證明：

證明：當(dāng)a>1且k>0時(shí)，∵g(x)的圖像關(guān)于直線x=k對(duì)稱(chēng)，故求g(x)的最小值只需考慮x∈[k,+∞)的情形.∵g′(x)=(ax-a2k-x)+[xax-(2k-x)a2k-x]lna,當(dāng)x≥k時(shí)，x≥2k-x,又a>1,∴ax≥a2k-x.

(1)若x>2k,則(2k-x)a2k-x<0,∴x·ax-(2k-x)a2k-x>0,∴[x·ax-(2k-x)a2k-x]lna>0,∴g′(x)>0;

(2)若k≤x≤2k,由x≥2k-x>0,∴ax≥a2k-x，∴x·ax-(2k-x)a2k-x≥0,∴g′(x)≥0;由(1)(2)可得:當(dāng)x≥k時(shí),g′(x)≥0恒成立,故g(x)在[k,+∞)遞增,由g(x)圖像關(guān)于直線x=k對(duì)稱(chēng),g(x)在(-∞,k)遞減,∴gmin(x)=g(k)=2k·ak.當(dāng)0

當(dāng)x≤k時(shí)，x≤2k-x,又00,∴x·a2k-x≤(2k-x)a2k-x,∴x·ax≤(2k-x)a2k-x，∴[x·ax-(2k-x)a2k-x]lna≥0,∴g′(x)≥0;故g(x)在(-∞,k]遞增,g(x)圖像關(guān)于直線x=k對(duì)稱(chēng),g(x)在(-∞,k)遞減,∴gmax(x)=g(k)=2k·ak.

上述證明過(guò)程及結(jié)論無(wú)疑是正確的，但學(xué)生同時(shí)提出：當(dāng)a>1且k<0以及00時(shí)有沒(méi)有類(lèi)似于結(jié)論3的結(jié)論？

結(jié)構(gòu)如此對(duì)稱(chēng)的函數(shù)，理應(yīng)有與結(jié)論3完全相同的“完美”結(jié)論,但仔細(xì)研究結(jié)論3的證明過(guò)程卻發(fā)現(xiàn),上述方法對(duì)于a>1且k<0以及00時(shí)的兩種情形無(wú)能為力，遺憾的同時(shí)，又無(wú)法釋然.經(jīng)過(guò)師生的共同探究，發(fā)現(xiàn)結(jié)論3尚不“完美”，可進(jìn)一步加以完善.

2.3對(duì)結(jié)論3的完善

當(dāng)a>1時(shí)，

圖1

圖2

?T．Austin Lacy，David A．Tandberg，“Rethinking policy diffusion:the interstate spread of‘Finance Innovations’”，Research High Education，2014，55，pp．627 ～649．

圖3

當(dāng)a>1時(shí)，

上述結(jié)論表明,函數(shù)g(x)=x·ax+(2k-x)a2k-x

對(duì)于k∈R，當(dāng)a>1及0

3.對(duì)本題解法的進(jìn)一步研究

其中“=”當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2時(shí)成立.

觀察引例的結(jié)構(gòu)發(fā)現(xiàn)，其不過(guò)是定理1的特例而已：

其中“=”當(dāng)且僅當(dāng)m=2n=1時(shí)成立.

上述“=”當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an時(shí)成立.