宋海洋，于開平，李向陽，韓敬永

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析法中動態(tài)響應(yīng)誤差分析

宋海洋，于開平，李向陽，韓敬永

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001）

統(tǒng)計(jì)能量分析方法能夠有效預(yù)示艦船和車輛等結(jié)構(gòu)的高頻振動及噪聲。本文通過建立兩子結(jié)構(gòu)耦合模型，利用差分法研究了瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析中參數(shù)誤差對子結(jié)構(gòu)響應(yīng)能量的影響，同時(shí)給出了參數(shù)誤差與所導(dǎo)致能量誤差的關(guān)系函數(shù)。結(jié)果表明：對于外載荷直接激勵的子結(jié)構(gòu)，內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的誤差都會導(dǎo)致被預(yù)示總能量的減小。對于外載荷間接激勵的子結(jié)構(gòu)，內(nèi)損耗因子的誤差會導(dǎo)致峰值能量的減小，而耦合損耗因子的誤差會導(dǎo)致峰值能量的增加。本文內(nèi)容對改進(jìn)動力學(xué)系統(tǒng)數(shù)值模型以及提高結(jié)構(gòu)振動和噪聲預(yù)示精度有一定的幫助。

瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析；參數(shù)誤差；能量誤差

0 引 言

解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)振動和噪聲問題的方法包括有限元法、邊界元法、模態(tài)分析法、波動分析法、阻抗導(dǎo)納功率流法、結(jié)構(gòu)聲強(qiáng)法和統(tǒng)計(jì)能量分析法，其中統(tǒng)計(jì)能量分析法是目前公認(rèn)的解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)高頻振動問題最有效的方法。經(jīng)過幾十年的研究和探索，統(tǒng)計(jì)能量分析方法不但在理論上有了創(chuàng)新和突破，而且已經(jīng)成功地應(yīng)用到了船舶［1-3］和車輛［4］等領(lǐng)域來解決復(fù)雜結(jié)構(gòu)的振動和噪聲問題。

采用瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析法進(jìn)行動力學(xué)系統(tǒng)環(huán)境預(yù)示需要確定結(jié)構(gòu) 2 個基本參數(shù)：內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。這 2 個參數(shù)的準(zhǔn)確估算對結(jié)構(gòu)響應(yīng)的預(yù)示和數(shù)值仿真結(jié)果的精度有重要的影響。其中內(nèi)損耗因子是衡量系統(tǒng)阻尼特性、決定振動能量耗散的重要參數(shù)。耦合損耗因子是統(tǒng)計(jì)能量分析中表征耦合系統(tǒng)間能量交換的重要參數(shù)。目前除了一些簡單結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子可以從理論上推得，比較復(fù)雜的結(jié)構(gòu)的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子只能通過實(shí)驗(yàn)測量來得到［5-8］。然而內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子在很多情況下是 10–2～10–4數(shù)量級的小數(shù)，在實(shí)際工作中要對這些小數(shù)進(jìn)行運(yùn)算和測量很困難，故這些參數(shù)的測量結(jié)果經(jīng)常存在不同程度的誤差。

本文基于 2 個耦合子結(jié)構(gòu)所組成的系統(tǒng)，分析了瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析法中參數(shù)誤差對子結(jié)構(gòu)能量的影響，給出了參數(shù)誤差與所導(dǎo)致能量誤差的關(guān)系函數(shù)，對改進(jìn)動力學(xué)系統(tǒng)數(shù)值模型及提高數(shù)值模擬的精度有很大的幫助。

1 瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析中參數(shù)誤差對子結(jié)構(gòu)能量影響

1.1 內(nèi)損耗因子誤差對子結(jié)構(gòu)能量的影響

兩子結(jié)構(gòu)耦合的統(tǒng)計(jì)能量分析模型如圖 1 所示，瞬間能量平衡方程可寫為：

其中：Ei（t）（i=1，2） 是帶寬 Δω 內(nèi)隨時(shí)間變化的總能量，代表總能量對時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，ηi（i=1，2） 是子結(jié)構(gòu) i 的內(nèi)損耗因子，代表子結(jié)構(gòu) i 與子結(jié)構(gòu) j 間的耦合損耗因子，ω 為分析帶寬Δω 的中心頻率?，F(xiàn)給子結(jié)構(gòu) 1 施加一個短時(shí)的脈沖激勵力，那么子結(jié)構(gòu) 1 的初始能量為而子結(jié)構(gòu) 2 的初始能量為 0 且輸入功率 P1=P2=0。

圖 1 兩子結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)能量分析模型Fig. 1 SEA model for two coupled subsystems

采用拉普拉斯變換方法可得兩子結(jié)構(gòu)隨時(shí)間變化的能量表達(dá)式為：

其中：

① 當(dāng)兩子結(jié)構(gòu)滿足時(shí)，將式（5）整理后得：

將式（10）代入式（6）中可得子結(jié)構(gòu) 2 的峰值能量為

那么子結(jié)構(gòu) 2 峰值能量的相對誤差為

1.2 耦合損耗因子誤差對子結(jié)構(gòu)能量的影響

其中：

② 通過計(jì)算可得到子結(jié)構(gòu) 2 的峰值能量為

得子結(jié)構(gòu) 2 的峰值能量為

子結(jié)構(gòu) 2 峰值能量的相對誤差為

2 計(jì)算實(shí)例

如圖 2 所示，系統(tǒng)由兩塊相互垂直并鉚接的鋼板組成，并且兩塊鋼板的其他邊界條件是自由的。鋼板的密度為 7 800 kg/m3。板 1 的長度為 0.42 m，寬度為0.36 m，厚度為 0.01 m。板 2 的長度為 0.42 m，寬度為0.36 m，厚度為 0.004 5 m。以上2塊鋼板的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子已經(jīng)在文獻(xiàn)［9］中由實(shí)驗(yàn)測量得到，表 1展示了兩板在中心頻率 f=2 000 Hz 時(shí)測量的內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子。

圖 2 兩板耦合系統(tǒng)Fig. 2 Two-plate coupling structural system

表 1 兩板在中心頻率 f = 2 000 Hz 時(shí)內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子測量值Tab. 1 Measured values of damping loss factors and coupling loss factors at f = 2 000 Hz

現(xiàn)對板 1 施加一個短時(shí)的脈沖激勵，使板 1 具有初始能量 E1（0）=1 kJ，通過式（13）和式（21）可以得到板 2 的峰值能量相對誤差和板 1 參數(shù)相對誤差的關(guān)系曲線，如圖 3 和圖 4 所示。

圖 3 板 2 的峰值能量相對誤差與板 1 內(nèi)損耗因子相對誤差關(guān)系Fig. 3 The relation between peak energy error of plate 2 and damping loss factor error of plate 1

圖 4 板 2 的峰值能量相對誤差與板 1 耦合損耗因子相對誤差關(guān)系Fig. 4 The relation between peak energy error of plate 2 and coupling loss factor error of plate 1

圖 3 表明增大板 1 的內(nèi)損耗因子，將引起板 2 峰值能量的降低，因?yàn)樵黾拥淖枘徇^多消耗了板 1 的能量，導(dǎo)致傳遞到板 2 的能量減少。圖 4 表明增加板 1對板 2 的耦合損耗因子，實(shí)際增大了板 1 對板 2 能量的傳遞，導(dǎo)致板 2 峰值能量的增加。因此精確確定內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子盡量減少測量誤差對瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析中結(jié)構(gòu)能量的預(yù)示精度有較大的影響。

3 結(jié) 語

本文從兩耦合子結(jié)構(gòu)所組成系統(tǒng)的能量平衡方程入手，借助拉普拉斯變換研究了瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析法中參數(shù)誤差對子結(jié)構(gòu)總能量的影響，同時(shí)給出了參數(shù)誤差與所導(dǎo)致能量誤差的關(guān)系函數(shù)。對于外載荷直接激勵的子結(jié)構(gòu)，內(nèi)損耗因子和耦合損耗因子的誤差都會導(dǎo)致總能量的減小。對于外載荷間接激勵的子結(jié)構(gòu)，內(nèi)損耗因子的誤差會導(dǎo)致峰值能量的減小，而耦合損耗因子的誤差會導(dǎo)致峰值能量的增加。不同于穩(wěn)態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析理論，在瞬態(tài)統(tǒng)計(jì)能量分析中，求解 3 個及以上子結(jié)構(gòu)組成的系統(tǒng)的精確能量解是很復(fù)雜的，后續(xù)需要更多數(shù)學(xué)方法的發(fā)展和引進(jìn)，本文內(nèi)容對于 2 個以上的子結(jié)構(gòu)組成的復(fù)雜系統(tǒng)將有一定參考意義。

［1］HYNNá P， KLINGE P， VUOKSINEN J. Prediction of structureborne sound transmission in large welded ship structures using statistical energy analysis［J］. Journal of Sound and Vibration，1995， 180（4）: 583–607.

［2］邵亮. 統(tǒng)計(jì)能量法在船舶艙室噪聲預(yù)報(bào)中的應(yīng)用［J］. 艦船科學(xué)技術(shù)， 2012， 34（5）: 98–100， 107. SHAO Liang. Prediction and research of ship cabin noise with statistical energy analysis［J］. Ship Science and Technology，2012， 34（5）: 98–100， 107.

［3］YAYLADERE B C， ?ALI?KAN M. Prediction of noise levels within a submerged vessel by statistical energy analysis［C］//Proceedings of the 20th International Congress on Sound & Vibration. Bangkok， Thailand: ICSV， 2013: 66–71.

［4］CHEN S M， WANG D F， LEI Y F. Automotive interior noise prediction based on single sound cavity using statistical energy analysis method［J］. Noise & Vibration Worldwide， 2011，42（11）: 36–43.

［5］程廣利， 朱石堅(jiān)， 伍先俊. 統(tǒng)計(jì)能量分析法及其損耗因子確定方法綜述［J］. 船舶工程， 2004， 26（4）: 10–15. CHENG Guang-li， ZHU Shi-jian， WU Xian-jun. A summary of statistical energy analysis method and its loss factor’s determination［J］. Ship Engineering， 2004， 26（4）: 10–15.

［6］葉敏， 郎作貴， 郝志勇. 復(fù)雜系統(tǒng)振動能量平衡方程中SEA參數(shù)的測定［J］. 內(nèi)燃機(jī)學(xué)報(bào)， 1998， 16（4）: 469–474. YE Min， LANG Zuo-gui， HAO Zhi-yong. The determination of vibration energy balance sea system parameters in a complex structure［J］. Transactions of CSICE， 1998， 16（4）: 469–474.

［7］盛美萍， 王敏慶， 孫進(jìn)才， 等. 非保守耦合系統(tǒng)的等效內(nèi)損耗因子［J］. 聲學(xué)學(xué)報(bào)， 1997， 22（6）: 555–561. SHENG Mei-ping， WANG Min-qing， SUN Jin-cai， et al. Equivalent internal loss factors for non-conservatively coupled systems［J］. Acta Acustica， 1997， 22（6）: 555–561.

［8］盛美萍， 王敏慶， 孫進(jìn)才. 非保守耦合系統(tǒng)的耦合損耗因子［J］.聲學(xué)學(xué)報(bào)， 1999， 24（5）: 550–556. SHENG Mei-ping， WANG Min-qing， SUN Jin-cai. The coupling loss factors of non-conservatively coupled systems［J］. Acta Acustica， 1999， 24（5）: 550–556.

［9］MAO B Y， XIE S L， XU M L， et al. Simulated and experimental studies on identification of impact load with the transient statistical energy analysis method［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2014， 46（2）: 307–324.

Analysis on dynamic response error in transient

SONG Hai-yang， YU Kai-ping， LI Xiang-yang， HAN Jing-yong
（Department of Astronautical Science and Mechanics， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China）

Statistical energy analysis （SEA） method has been recognized as a powerful tool in predicting the highfrequency sound and vibration of ship structures and vehicles. In the transient statistical energy analysis framework， this paper applies the difference method to investigate the effect of parameters error on structural total energy. Meanwhile， the function relation of parameters error and caused energy error is also provided. The following results can finally be shown. For the subsystem that is directly excited by an external load， the error of the damping loss factors and coupling loss factors will result in the decrease of structural total energy. For the subsystem that is indirectly excited， the error of damping loss factors can lead to the decreasing of structural peak energy， while the error of coupling loss factors will result in the increase of structural peak energy. The content of this paper can provide some help for improving the dynamics model and predicted accuracy of sound and vibration.

transient statistical energy analysis；parameter error；energy error

V415.4

A

1672 – 7619（2016）04 – 0038 – 04

10.3404/j.issn.1672 – 7619.2016.04.008

2015 – 07 – 02；

2015 – 09 – 20

國家自然科學(xué)基金 資助項(xiàng)目（11372084）

宋海洋（1986 – ），男，博士，研究方向?yàn)楦哳l振動和噪聲環(huán)境的預(yù)示。