鄧海鵬，　何柏林

(華東交通大學 機電工程學院， 南昌 330013)

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MB8變形鎂合金超聲疲勞試樣解析設(shè)計

鄧海鵬，何柏林

(華東交通大學 機電工程學院， 南昌 330013)

對MB8變形鎂合金超聲疲勞試樣進行設(shè)計計算。為了減小試樣振幅，使試樣產(chǎn)生較少的熱量，減輕冷卻系統(tǒng)壓力的同時防止試樣產(chǎn)生相變等組織變化，將試樣設(shè)計成變截面形狀。根據(jù)試樣振動位移方程、邊界條件和位移連續(xù)條件推導出試樣諧振長度與其他尺寸的關(guān)系，計算出一系列超聲疲勞試樣的尺寸。結(jié)果表明：變截面圓柱和板狀試樣隨著圓弧過渡段長度增大，諧振長度減小，圓弧過渡半徑增大；對于無中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M隨著圓弧過渡段長度減小而減??；對于含有中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M隨著中間等截面段長度減小而減小。

變形鎂合金；超聲疲勞；試樣；解析計算

鎂合金作為一種輕質(zhì)結(jié)構(gòu)材料，廣泛應(yīng)用于交通領(lǐng)域等工程結(jié)構(gòu)中。在實際服役過程中，很多零部件因承受低幅、高頻循環(huán)載荷的作用，會發(fā)生超高周疲勞斷裂失效[1-3〗[4-5]。

超高周疲勞實驗原理與常規(guī)疲勞實驗不同，所采用的試樣形狀尺寸必須經(jīng)過嚴格設(shè)計，使試樣具有特定的固有頻率和振動特性。只有嚴格設(shè)計的試樣安裝在疲勞試驗機上才能與變幅桿發(fā)生諧振，達到高頻加載的效果[6-8]；因此，超聲疲勞試樣的正確設(shè)計是進行超聲疲勞試驗的重要前提。本工作對MB8鎂合金圓柱和板狀超聲疲勞試樣進行解析設(shè)計，為MB8變形鎂合金及其他鎂合金超高周疲勞性能實驗研究提供參考。

1　超聲疲勞實驗系統(tǒng)及實驗原理

圖1所示為典型的超聲疲勞縱向拉壓實驗系統(tǒng)，該系統(tǒng)主要由七個部分組成，分別為計算機控制系統(tǒng)、超聲發(fā)生器、換能器、變幅桿、光纖位移傳感器和放大器。在實驗過程中，由于高頻振動超聲疲勞試樣會產(chǎn)生大量熱量，所以超聲疲勞拉壓實驗系統(tǒng)還要配備冷卻輔助系統(tǒng)對試樣進行冷卻，冷卻介質(zhì)可以采用壓縮冷凝空氣或水。

超聲疲勞實驗過程及原理如下：計算機控制系統(tǒng)通過電信號控制超聲發(fā)生器；超聲發(fā)生器根據(jù)計算機控制系統(tǒng)的電信號將低頻正弦交流電轉(zhuǎn)換成高頻交流電；換能器通過磁致伸縮作用將高頻交流電轉(zhuǎn)換成高頻機械振動；高頻機械振動通過固有頻率為20 kHz左右的變幅桿將振動位移放大到所需水平；具有20 kHz一階固有頻率的超聲疲勞試樣與變幅桿連接并發(fā)生共振；光纖位移傳感器和放大器檢測試樣端部振動位移、振動頻率和振動周次。實驗過程中，計算機控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)高頻電流大小，利用振動位移與電流的正比例關(guān)系從而調(diào)節(jié)試樣振動位移和應(yīng)力。

2　MB8鎂合金超聲疲勞試樣解析設(shè)計

固有頻率除了和材料密度和彈性模量等性能有關(guān)外，還與材料的形狀尺寸有關(guān)。為了使試樣獲得20 kHz的一階固有頻率，同時使試樣中間段應(yīng)力放大，必須對超聲疲勞試樣進行設(shè)計。下面以MB8變形鎂合金材料為例，對圓柱狀和板狀超聲疲勞試樣進行解析計算。為了在相同應(yīng)力下使用小的振幅，減輕試樣發(fā)熱，將圓柱狀和板狀超聲疲勞試樣設(shè)計成變截面。

圖1　超聲疲勞縱向拉壓實驗系統(tǒng)[9]Fig.1　Test system of ultrasonic fatigue longitudinal tension and compression[9]

2.1變截面圓柱狀超聲疲勞試樣

2.1.1無中間等截面段圓柱試樣

圖2　無中間等截面段圓柱試樣Fig.2　　　　Cylindrical specimen without uniform cross section in the middle

圖2變截面圓柱試樣的一維縱向振動方程：

(1)

式中：t為時間；ρ為試樣材料的密度；S(x)為試樣在x坐標下的截面積；u(x,t)為試樣在x坐標下的振動位移；F(x,t)為試樣在x位置坐標下截面所受的力。式(1)中：

(2)

u(x,t)=U(x)*eiwt

(3)

式(2)中Ed為試樣的動態(tài)彈性模量；式(3)中U(x)為坐標為x位置的振動位移幅值；將式(2)，(3)帶入式(1)：

U″(x)+p(x)U′(x)+k2U(x)=0

(4)

式(4)中：

(5)

式(5)中，f為試樣諧振頻率。假設(shè)：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將式(6)，(7)，(8)，(9)，(10)帶入式(4)中可以解得：

(12)

(13)

式(12)和(13)中，C1,C2,C3和C4是位移方程化成通解后得到的常數(shù)，根據(jù)邊界條件和連續(xù)性條件：

(14)

(15)

式(14)中，A0表示試樣在端部振動幅值，可以解得諧振長度L2為：

(16)

過渡段曲線方程為：

(17)

將曲線上的點(L1，R2)帶入方程(17)中，可以解得：

(18)

根據(jù)式(13)位移通解U(x)可以求得變截面段應(yīng)變通解：

(19)

上式中：

(20)

由式(19)，可以求得：

εmax=βA0φ(L1,L2)

(21)

σmax=Edεmax=EdβA0φ(L1,L2)

(22)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(23)

(24)

MB8變形鎂合金物理性能及求解L2和R0相關(guān)參數(shù)如下：

Ed=45GPa,ρ=1870kg/m3,f=20kHz

(25)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(16)和式(18)中，可以得到無中間等截面段的變截面圓柱狀試樣尺寸結(jié)果(見表1)。

表1　無中間等截面段圓柱試樣計算結(jié)果

由表1可知：對于相同R1和R2的無中間等截面段圓柱試樣，諧振長度、位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著圓弧過渡段長度的增大而減小，圓弧過渡半徑隨著圓弧過渡段長度的增大而增大。

2.1.2有中間等截面段圓柱試樣

有中間等截面段圓柱試樣如圖3所示。

圖3　有中間等截面段圓柱狀試樣Fig.3　　　　Cylindrical specimen with uniform cross section in the middle

圖3試樣的U(x)通解為:

(26)

U(x)=A0φ

(27)

(28)

式(26)，(27)，(28)中：

(29)

將邊界條件和連續(xù)性條件帶入式(27)中，解得諧振長度L3為：

(30)

R0計算結(jié)果為：

(31)

根據(jù)式(26)中U(x)通解，求得最大應(yīng)力σmax：

(32)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)CS和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(33)

(34)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(30)和(31)中，可以得到有中間等截面段的變截面圓柱狀試樣尺寸計算結(jié)果(見表2)。

表2　有中間等截面段圓柱狀試樣計算結(jié)果

由表2可知：對于相同L1，R1和R2的有中間等截面段圓柱試樣，諧振長度隨著圓弧過渡段長度的增大而減小，圓弧過渡半徑隨著圓弧過渡段長度的增大而增大；對于相同L2，R1和R2的有中間等截面段圓柱試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著中間等截面段長度的減小而減小。

2.2變截面板狀超聲疲勞板狀試樣

2.2.1無中間等截面段板狀試樣

對于圖4無中間段等截面段板狀試樣有：

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

圖4　無中間等截面段板狀試樣Fig.4　Plate specimen without uniform cross section in the middle

該類型試樣縱向振動位移方程：

U″(x)+2αU′(x)+k2U(x)=0

(40)

將已知條件式(35)，(36)，(37)，(38)和(39)帶入式(40)中，求得通解：

U(x)=A0φ(L1,L2)sinh(βx)exp(αx)

(41)

(42)

式(40)中：

(43)

將邊界條件和位移連續(xù)條件帶入式(41)和(42)，可以解得諧振長度L2為：

(44)

變截面段曲線方程：

(45)

將曲線上的點(L1，b2/2)帶入曲線方程(45)，可以解得：

(46)

根據(jù)式(41)和(42)中U(x)的通解，求得最大應(yīng)力σmax：

(47)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(48)

(49)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(44)和(46)中，可以得到無中間等截面段的變截面板狀試樣尺寸計算結(jié)果(見表3)。

表3　無中間等截面段板狀試樣計算結(jié)果

由表3可知：對于相同b1和b2的無中間等截面段板狀試樣，諧振長度、位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著圓弧過渡段長度的增大而減小，圓弧過渡半徑隨著圓弧過渡段長度的增大而增大。

2.2.2有中間等截面段板狀試樣

有中間等截面段板狀試樣如圖5所示。

圖5試樣U(x)通解為:

(50)

U(x)=C5exp[(β-α)(x-L1)]+C6

(51)

(52)

上述三式中：

C2=A0βφ

(53)

(54)

(55)

將邊界條件和連續(xù)位移條件帶入到式(50)，(51)，(52)中，解得諧振長度L3為：

(56)

R0計算結(jié)果為：

(57)

根據(jù)式(50)，(51)和(52)中U(x)通解，求得最大應(yīng)力σmax：

=Edβkφ(L1,L2,L3)A0

(58)

上式中：

(59)

所以，位移應(yīng)力系數(shù)Cs和應(yīng)力放大系數(shù)M為：

(60)

(61)

將式(25)中的參數(shù)帶入式(56)和(57)中，可以得到有中間等截面段的變截面板狀試樣尺寸計算結(jié)果(見表4)。

由表4可知：對于相同L1，b1和b2的有中間等截面段圓柱試樣，諧振長度隨著圓弧過渡段長度的增大而減小，圓弧過渡半徑隨著圓弧過渡段長度的增大而增大；對于相同L2，b1和b2的有中間等截面段圓柱試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著中間等截面段長度的減小而減小。

表4　有中間等截面段板狀試樣計算結(jié)果

3　結(jié)論

(1)鎂合金熔點和相變溫度低，高頻加載產(chǎn)生的內(nèi)耗會使試樣溫度急劇升高，引起組織變化。MB8鎂合金超聲疲勞試樣為了減小試樣振幅，使試樣產(chǎn)生較少的熱量，減輕冷卻系統(tǒng)壓力的同時防止試樣產(chǎn)生相變等組織變化，將試樣設(shè)計成變截面形狀。變截面試樣可以在較小的振幅下獲得較大的應(yīng)力。

(2)變截面圓柱和板狀試樣隨著圓弧過渡段長度增大，諧振長度減小，圓弧過渡半徑增大。對于無中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著圓弧過渡段長度減小而減小。對于含有中間等截面段試樣，位移應(yīng)力系數(shù)和應(yīng)力放大系數(shù)隨著中間等截面段長度減小而減小。

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Design of Ultrasonic Fatigue Specimen of MB8 Wrought Magnesium Alloy by Analytic Method

DENG Haipeng，HE Bolin

(College of Mechanical and Electrical Engineering, East China Jiaotong University, Nanchang 330013, China)

Ultrasonic fatigue specimen of MB8 wrought magnesium alloy was designed by calculation. In order to reduce the vibration amplitude, heat and pressure of the cooling system and also to protect the phase change, the sample was designed into variable cross-section. Based on the vibration displacement equation, boundary condition and displacement continuity condition, the relationship between the resonant length and other dimensions of the sample was derived. A series of size of ultrasonic fatigue specimens was calculated, which provided reference for the research of ultrasonic fatigue test of magnesium alloy. The results show that the resonance length decreases with the increase of the length of transition section, and the arc transition radius increases with the increase of the length of arc transition section.With the decrease of the length of arc transition section, Cs and M decreases for the specimen without uniform cross section in middle. With the decrease of the length of uniform cross section in the middle, Cs and M decreased for the specimen with uniform cross section in the middle.

wrought magnesium alloy；ultrasonic fatigue；specimen；analytic calculation

(責任編輯：徐永祥)

2015-12-30；

2016-03-12

國家自然科學基金(51365014)；江西省自然科學基金(20151BAB206007)

鄧海鵬(1992—)，男，碩士，主要從事金屬材料疲勞性能研究，(E-mail)1227871078@qq.com。

10.11868/j.issn.1005-5053.2016.4.009

V216.3

A

1005-5053(2016)04-0064-07