夏海杰，林士勇（.臺州學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，臺州 38000；.浙江省樂清市供電公司，樂清 35600）

考慮分布魯棒條件風(fēng)險價值的供電公司購電組合計劃

夏海杰1，林士勇2
（1.臺州學(xué)院物理與電子工程學(xué)院，臺州 318000；2.浙江省樂清市供電公司，樂清 325600）

摘要：考慮多個電力市場售電價格概率分布存在不確定性，在確保供電公司購電損失的分布魯棒條件風(fēng)險價值均能滿足要求的前提下，以供電公司期望收益最大化為目標(biāo)，構(gòu)建了多市場購電組合優(yōu)化模型。以在實時市場、日前市場和中長期合約市場3個不同市場的購電組合為例，將上述模型轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題進行求解。分析結(jié)果表明：所提出的模型與求解辦法為供電公司在多能量市場的購電決策提供了新方法。

關(guān)鍵詞：分布魯棒；條件風(fēng)險價值；半定規(guī)劃；購電組合

在電力市場環(huán)境下，供電公司將作為獨立的經(jīng)營主體，負(fù)擔(dān)著從多個能量市場購電并向終端用戶供電的服務(wù)。由于政府管制等原因，供電公司在對用戶售電時其價格在某段時間段內(nèi)是固定不變的，因此只有通過調(diào)整其在多市場購電策略來平抑風(fēng)險擴大收益。然而不同市場中的電價由于供求關(guān)系、報價策略等條件的影響而具有波動性［1-4］，這些因素直接影響供電公司在不同市場中的購電組合決策。因此，在研究供電公司在多市場中購電組合策略時，需要考慮電價波動的不確定性［5］。

目前的研究中，關(guān)于電力市場中的風(fēng)險管理方法主要分為均值-方差模型和條件風(fēng)險價值CVaR （conditional value-at-risk）［6-14］兩類。文獻［6-10］采用均值-方差模型建模分析了供電公司多市場的收益與風(fēng)險管理問題，均是將電價的方差作為風(fēng)險。均值-方差模型未能考慮供電公司的風(fēng)險忍受度，且在計量風(fēng)險時涉及到投資者的期望收益部分，因此有必要在模型上進一步完善。文獻［11-14］將金融領(lǐng)域的風(fēng)險管理引入供電公司在多市場中的購電組合決策，建立了基于確定概率分布的CVaR購電組合模型。雖然CVaR作為風(fēng)險度量指標(biāo)，反映了投資者對風(fēng)險的偏好程度，所計量出風(fēng)險值也在一定程度上反映了真實購電損失，但在計算CVaR模型時要求知道準(zhǔn)確的電價概率分布，而準(zhǔn)確的概率分布信息在實際中往往很難獲取。為此，文獻［5］使用了加權(quán)CVaR模型，在兩種概率分布之間通過人為設(shè)置權(quán)重值來進行概率分布的協(xié)調(diào)。

然而，以上研究均未考慮在實時市場、日前市場和中長期合約市場中，電價的概率分布存在不確定性的情況。由于不同市場中的歷史數(shù)據(jù)往往會發(fā)生變化，長期數(shù)據(jù)建立的概率分布無法準(zhǔn)確反映近期獲取的少數(shù)數(shù)據(jù)所代表的實際概率分布，為此，有必要開展針對不同市場中電價數(shù)據(jù)量少、概率分布不易確定問題的研究。

本文首先通過分布魯棒條件風(fēng)險價值DRCVaR （distributional robust conditional value-at-risk）概念引出購電組合模型，該模型可轉(zhuǎn)化為確定性的半定規(guī)劃問題，并且易于通過成熟求解器求解。所提出的模型與求解辦法為供電公司的購電決策提供了新方法，可有效增強供電公司的風(fēng)險管理能力。

1 分布不確定的條件風(fēng)險

1.1 風(fēng)險與條件風(fēng)險

風(fēng)險價值VaR（value-at-risk）［15］不滿足一致性公理，缺乏次可加性，計算形式上等同于機會約束規(guī)劃；CVaR模型在避免直接求解機會約束規(guī)劃的同時彌補了VaR缺乏對尾部損失測量的不足。

1.2 確定分布下的條件風(fēng)險

設(shè)決策變量x∈X，隨機變量y∈Rm，并且定義f（x，y）∈R為損失函數(shù)，其中，X為滿足一定條件的投資組合可行集，X∈Rn，y表示如收益率等的隨機因素。假設(shè)y的概率分布函數(shù)已知，則y有聯(lián)合概率密度函數(shù)p（y），固定x，損失函數(shù) f（x，y）關(guān)于隨機因素不超過損失臨界值α的概率為

當(dāng)置信水平為β∈（0，1）時，VaR和CVaR可分別表示為

由于CVaR表達式中含有VaR函數(shù)項，而VaR的表達式難以用顯式表達，文獻［16］中引入一個相對簡單的函數(shù)代替VaR來求解CVaR，即

式中，［f（x，y）-α］+表示max（0，f（x，y）-α）。式（4）為關(guān)于α的凸函數(shù)，并且連續(xù)可微。文獻［17］已經(jīng)證明：

1.3 分布魯棒條件風(fēng)險

考慮到很難獲取現(xiàn)實中準(zhǔn)確的概率分布，而隨機變量的部分信息（如期望和方差）相對容易獲取。另外，如果將具有相同期望和方差的所有可能概率分布下的最大條件風(fēng)險價值用來描述供電公司購電組合投資所面對的風(fēng)險，將有效提高購電組合方案的魯棒性，增強供電公司規(guī)避風(fēng)險的能力。

對應(yīng)式（4）和（5），可以將分布魯棒的條件風(fēng)險描述［18］為

式中：P為隨機向量y的聯(lián)合概率分布；集合Γ包含滿足相同期望值向量μ和協(xié)方差矩陣Σ的所有可能聯(lián)合概率分布，P∈Γ?？紤]Γ包含所有可能的概率分布，則最大條件風(fēng)險表示為，計算形式為式（6）等號右邊內(nèi)容。

供電公司可以通過最小化式（6）中的最大條件風(fēng)險，進而獲得魯棒性更強的購電組合方案。

1.4 分布魯棒條件風(fēng)險對偶轉(zhuǎn)換

分布魯棒條件風(fēng)險方法是一種將隨機規(guī)劃與魯棒優(yōu)化相結(jié)合的方法［19］。考慮在給定期望和方差的條件下，優(yōu)化對決策結(jié)果影響最嚴(yán)重分布下的CVaR值。由于式（6）右邊代表分布魯棒效果的只有期望值部分，故只給出分布魯棒期望值的對偶轉(zhuǎn)換即可。

在分布不確定情況下，優(yōu)化關(guān)于函數(shù)Φ（x， y）的最大期望可表示為

直接求解上述問題時，該問題是一個NP困難問題。文獻［18］提出通過對偶原理將上述問題轉(zhuǎn)換為半無限規(guī)劃問題，同時其滿足強對偶條件。則的對偶半無限規(guī)劃問題為

式中：M∈R（m+1）（m+1）為對稱矩陣；tr代表跡運算；

當(dāng)Φ（x， y）為關(guān)于y的一次或二次函數(shù)，可以通過Farkas Lemma或S-lemma將對偶后的半無限規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為半定規(guī)劃SDP（semi-definite program?ming）問題進行求解。

2 供電公司購電組合模型

2.1 基本假設(shè)

假設(shè)終端價格接受政府管制，在不同市場電價均值基礎(chǔ)上增加固定收益率部分［5］。

令xT=［x1x2…xm］∈X為供電公司購電組合向量，其中，X為購電組合可行集，xi（i= 1，2，…，m）代表供電公司在不同市場中的購電比例，滿足（ ）。又令yii=1，2，…，m 表示供電公司在不同市場中的買入價，多元隨機變量yT=［y1y2…ym］表示市場電價組合向量，則購電組合成本為

記實時交易市場、日前交易市場、中長期合約市場中的電價y的均值為，方差為。本文假設(shè)不同市場中電價概率分布不確定，采用符合相同均值μ與方差σ2的所有可能概率分布下的最大風(fēng)險作為約束，參數(shù)b為固定收益率，則面向客戶的固定零售電價向量為

2.2 建立模型

根據(jù)上文中的假設(shè)，單位組合收益可表示為

單位損失函數(shù)表示為

單位組合期望收益表示為

式（6）可通過式（7）進行求解得

進而采用分布魯棒條件風(fēng)險價值來計算損失函數(shù) f（x，y）對應(yīng)的風(fēng)險值，以R（x）最大為目標(biāo)函數(shù)，在分布魯棒條件風(fēng)險價值約束下，供電公司組合收益最大的優(yōu)化模型為

式中，ω為供電公司所能接受的風(fēng)險上限，且ω≥0。

3 仿真計算

3.1 算例分析

通過某電力市場100天內(nèi)在實時、日前和中長期合約市場的購電價格數(shù)據(jù)y=［ ］y1y2y3，得到3個市場的購電價均值和方差，表1為各市場購電價格數(shù)據(jù)。取各售電市場零售電價為wi=（1+b）E（yi），b=0.1，并在Matlab平臺上利用半定規(guī)劃求解器SDPT3［20］求解優(yōu)化模型（12）得到相關(guān)結(jié)果見表2，其中的xi（i=1，2，3）代表供電公司在實時、日前和中長期合約市場的購電量比例，ω值與最后一列的DRCVaR相同，因而沒有列出。

為觀察購電組合期望收益R（x，y）隨DRCVaR值變化的曲線，改變ω所代表的風(fēng)險上限，重復(fù)計算最大期望收益的值，進而得到如圖1所示的均值-DRCVaR有效前沿曲線，可見滿足約束的最優(yōu)組合都在有效前沿上。

由圖1可知，當(dāng)設(shè)置風(fēng)險參數(shù)β為不同值時，均值-DRCVaR的有效前沿也不相同。實際決策過

表1 各市場購電電價Tab.1 Electricity price in different markets $/（MW·h）

表2 購電量分配結(jié)果及DRCVaR值Tab.2 Allocation of power purchases and DRCVaR

圖1 均值-DRCVaR有效前沿Fig.1 Efficient frontier of mean-DRCVaR

程中，所設(shè)置的ω值存在下限，不能任意小，否則求解模型（12）時會出現(xiàn)無有效解的情況；而增大ω值時，雖然不會導(dǎo)致模型無解，但當(dāng)達到一定上限后，期望收益R（x）不再隨ω值增大而增加，原因是組合策略x=［ ］1 0 0不再改變，此時對應(yīng)期望收益的極值為5.33。圖1中的1、2兩點代表不同風(fēng)險下組合收益-魯棒條件風(fēng)險的極大值點，在此基礎(chǔ)上增大ω收益不再增加；1′和2′點代表不同風(fēng)險下組合收益-魯棒條件風(fēng)險的極小值點，在此基礎(chǔ)上減小ω模型不再有解。

3.2 算例結(jié)果魯棒性分析

表1中的仿真數(shù)據(jù)來自文獻［11］，選用相同的仿真數(shù)據(jù)為了便于將本文結(jié)論與上述文獻中假設(shè)3個市場中電價均滿足正態(tài)分布的仿真結(jié)果做比較。與文獻［11］相比，本文所提的分布魯棒條件風(fēng)險價值對風(fēng)險的約束性更強，具體表現(xiàn)在當(dāng)β取值固定時，在相同的期望收益下，本文結(jié)論中的分布魯棒條件風(fēng)險價值相比基于正態(tài)分布的CVaR值更小，中長期市場分配量更大，說明本文的結(jié)論保守性更強。

4 結(jié)語

本文所提的模型針對的是不同市場電價滿足相同期望和方差情況下的所有可能概率分布，理論上要比基于某一種概率分布下得到的結(jié)果更為保守，但是這必要的保守性可以換來供電公司風(fēng)險管理上的可靠性，豐富了供電公司在電力市場運行中的思維方式和經(jīng)營方法。

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中圖分類號：TM73

文獻標(biāo)志碼：A

文章編號：1003-8930（2016）07-0130-05

DOI：10.3969/j.issn.1003-8930.2016.07.024

作者簡介：

夏海杰（1993—），男，本科，研究方向為電力系統(tǒng)規(guī)劃、電力市場。Email：476896608@qq.com

林士勇（1978—），男，通訊作者，碩士，工程師，研究方向為電力營銷管理。Email：58105979@qq.com

收稿日期：2016-01-20；修回日期：2016-04-20

Electricity Purchasing Portfolio Strategies for Distribution Companies Considering Distributional Robust CVaR

XIA Haijie1，LIN Shiyong2
（1.College of Physical and Electronic Engineering，Taizhou University，Taizhou 318000，China；2.Zhejiang Yueqing Power Supply Company，Yueqing 325600，China）

Abstract：Considering the uncertainty of probability distribution of electricity price in multi-energy markets and on the premise of guaranteeing distributional robust conditional value-at-risk constraint is satisfied，taking the expected profits maximization as a target，this paper establishes the optimal power purchasing model.A case study of purchasing propor?tion in real-time electricity market，day-ahead electricity market，and mid-long term contract market is transformed into a semi-definite programming problem.The analysis shows the efficiency of the proposed model，which presents a new way for distribution company to determine the optimal purchasing strategies considering the risk.

Key words：distributional robust；conditional value-at-risk（CVaR）；semi-definite programming（SDP）；electricity purchasing portfolio strategy