夏新濤，葉亮，孫立明，常振，邱明

(1. 河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河南 洛陽 471003；2. 洛陽軸研科技股份有限公司，河南 洛陽 471039)

滾動軸承性能保持可靠性，是指在試驗(yàn)和服役期間，滾動軸承運(yùn)行可以保持最佳性能狀態(tài)的可能性，通常用函數(shù)表示，函數(shù)的具體取值稱為性能保持可靠度。

性能保持相對可靠度用于表征未來時間滾動軸承運(yùn)行保持最佳性能狀態(tài)的失效程度。評估時間區(qū)間處于滾動軸承運(yùn)行性能最佳時期，是指該時間區(qū)間內(nèi)的滾動軸承運(yùn)行性能狀態(tài)最佳。滾動軸承運(yùn)行性能最佳時期內(nèi)，滾動軸承運(yùn)行保持最佳性能狀態(tài)是指幾乎沒有性能失效的可能性，該時期通常位于滾動軸承跑合期結(jié)束后鄰近的時間區(qū)間。滾動軸承保持最佳性能狀態(tài)運(yùn)行是機(jī)械系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)最佳性能狀態(tài)運(yùn)行的基礎(chǔ)，其可靠性一旦發(fā)生變化，將會影響機(jī)械系統(tǒng)的安全可靠運(yùn)行。因此，研究滾動軸承性能保持可靠性具有重要的學(xué)術(shù)價值和應(yīng)用價值。

現(xiàn)有的性能可靠性預(yù)測方法一般是假設(shè)樣本概率密度函數(shù)及性能失效閾值已知，從而獲取性能可靠性。例如，文獻(xiàn)[1]將軸承摩擦力矩的平穩(wěn)性因數(shù)、穩(wěn)定性因數(shù)作為重要參數(shù)，假設(shè)摩擦力矩的概率密度函數(shù)為正態(tài)分布函數(shù)，從而分離出變異數(shù)據(jù)及其發(fā)展趨勢；文獻(xiàn)[2]基于Weibull分布和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對軸承剩余壽命進(jìn)行精確預(yù)測；文獻(xiàn)[3]提出自助加權(quán)范數(shù)法，對三參數(shù)Weibull分布可靠性的最優(yōu)置信區(qū)間進(jìn)行評估；文獻(xiàn)[4]在性能可靠性評估方法的基礎(chǔ)上，提出了基于退化軌跡和基于性能退化量分布的可靠性評估方法，從而對高可靠長壽命產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評估。假設(shè)性能退化軌跡為時間的線性函數(shù)，認(rèn)為性能服從正態(tài)分布且給定閾值，可以進(jìn)行宇航系統(tǒng)性能退化的可靠性評估。文獻(xiàn)[5]把灰自助原理融入泊松過程，提出灰自助泊松方法，以預(yù)測滾動軸承性能可靠性的變異過程。但該方法需要進(jìn)行性能試驗(yàn)來獲取性能閾值，試驗(yàn)條件不同，所對應(yīng)的閾值也不同，在性能密度函數(shù)先驗(yàn)信息未知且沒有事先設(shè)定性能閾值時，無法對滾動軸承性能可靠性的變異過程進(jìn)行預(yù)測，而且，在滾動軸承服役期間，很多性能失效概率分布信息是未知的。例如，文獻(xiàn)[6]針對軸承振動性能概率分布未知的乏信息問題，建立滾動軸承質(zhì)量數(shù)據(jù)序列真值融合模型；文獻(xiàn)[7]認(rèn)為軸承摩擦力矩具有不確定的波動和趨勢變化，基于最大熵原理，建立航天軸承摩擦力矩的概率密度函數(shù)。

以下在小樣本無任何先驗(yàn)信息條件下，提出滾動軸承性能保持可靠性的評估模型，通過試驗(yàn)驗(yàn)證在概率密度函數(shù)的先驗(yàn)信息未知且未事先設(shè)定性能閾值的條件下，該模型預(yù)測滾動軸承性能保持可靠性的準(zhǔn)確性。運(yùn)用該模型可以在滾動軸承最佳性能狀態(tài)失效的可能性變大之前采取干預(yù)措施，對滾動軸承進(jìn)行維護(hù)或更換，避免發(fā)生嚴(yán)重的安全事故。

1 數(shù)學(xué)模型

基于自助再抽樣原理、最大熵原理和泊松過程，建立滾動軸承性能保持可靠性評估的數(shù)學(xué)模型。

1.1 自助法原理

在滾動軸承運(yùn)行保持最佳性能狀態(tài)時期，通過試驗(yàn)獲得一組性能數(shù)據(jù)序列X

X=(x1,x2,…,xk,…,xn)；k=1,2,3,…,n，

(1)

式中：xk為第k個性能數(shù)據(jù)；n為性能數(shù)據(jù)的個數(shù)。

從數(shù)據(jù)序列X中等概率可放回地抽樣，每次抽取w個數(shù)據(jù)，得到一個樣本Xb；連續(xù)重復(fù)抽取B次，可以得到B個自助樣本

Xb=[xb(1),xb(2),…,xb(l),…,xb(w)] ；

b=1,2,…,B，

(2)

式中：Xb為第b個自助樣本；l為生成自助樣本的數(shù)據(jù)序號，l=1,2,…,w；xb(l)為第b個自助樣本的第l個數(shù)據(jù)。

(3)

樣本容量為B的新自助樣本XBootstrap為

XBootstrap=(X1,X2,…,Xb,…,XB) 。

(4)

1.2 基于最大熵原理求解概率密度函數(shù)

根據(jù)最大熵原理，用自助樣本XBootstrap中的數(shù)據(jù)構(gòu)建性能樣本的概率密度函數(shù)f(x)為

(5)

式中：i為原點(diǎn)矩階次；m為最高原點(diǎn)矩階次；c0為首個拉格朗日乘子；ci為第i+1個拉格朗日乘子。

c0應(yīng)滿足

(6)

式中：S為性能隨機(jī)變量x的可行域，S=[S1,S2]；S1為可行域的下界值；S2為可行域的上界值。

其他m個拉格朗日乘子應(yīng)滿足

i=1,2,…,m。

(7)

1.3 基于小概率事件原理計(jì)算置信度

選取置信度估計(jì)值Pq分別為1，0.999，0.99，0.95，0.9，0.85，0.8，用分位數(shù)方法求出對應(yīng)于Pq的第q個性能隨機(jī)變量置信區(qū)間[XLq，XUq]，下界值XLq應(yīng)滿足

(8)

上界值XUq應(yīng)滿足

(9)

記錄B個性能數(shù)據(jù)中落在性能隨機(jī)變量置信區(qū)間[XLq，XUq]之外的個數(shù)nq，基于泊松計(jì)數(shù)方法，獲得性能數(shù)據(jù)落在性能隨機(jī)變量置信區(qū)間之外的頻率λq為

(10)

在滾動軸承運(yùn)行性能處于最佳時期獲得B個性能數(shù)據(jù)之后暫停試驗(yàn)，取出軸承，在其滾道的滾動表面構(gòu)建并模擬出性能失效時的故障，對有模擬性能失效時故障的滾動軸承進(jìn)行檢測，獲得性能失效時的B個性能失效數(shù)據(jù)。

記錄B個性能失效數(shù)據(jù)中落在性能隨機(jī)變量置信區(qū)間[XLq，XUq]之外的個數(shù)vq，基于泊松計(jì)數(shù)方法，獲得性能失效數(shù)據(jù)落在置信區(qū)間之外的頻率βq為

(11)

性能失效時的滾動軸承性能保持相對可靠度dq為

(12)

從7個dq值中挑出小于且最靠近-10%的，將其下標(biāo)q標(biāo)為q*，對應(yīng)的置信度估計(jì)值Pq*就是以小概率事件原理為依據(jù)，事先通過性能試驗(yàn)確定的置信度P。

1.4 隨機(jī)變量的置信區(qū)間求解

假設(shè)顯著性水平為α，α∈[0,1]，則置信水平P條件下的α為

α=(1-P)×100%。

(13)

設(shè)置信水平P條件下的性能隨機(jī)變量置信區(qū)間為[XL，XU]，下界值XL應(yīng)滿足

(14)

上界值XU應(yīng)滿足

(15)

1.5 基于泊松方法求解性能保持可靠度

性能數(shù)據(jù)落在 [XL，XU]之外的頻率λ為

(16)

式中：n′為性能數(shù)據(jù)落在性能隨機(jī)變量置信區(qū)間[XL，XU]之外的個數(shù)。

滾動軸承性能保持可靠度R(t)用于表征時間為t時，滾動軸承運(yùn)行可以保持最佳性能狀態(tài)的可能性，即

R(t)=exp(-λt);t=1，2，3…n。

(17)

根據(jù)測量理論的相對誤差概念，獲取滾動軸承在未來時間的性能保持相對可靠度d(t)，其用于表征未來時間t時滾動軸承運(yùn)行保持最佳性能狀態(tài)的失效程度

(18)

式中：R(1)為當(dāng)前時間t=1時滾動軸承性能保持可靠度；R(t)為未來時間t時滾動軸承性能保持可靠度。

1.6 最佳性能狀態(tài)失效程度預(yù)測

滾動軸承運(yùn)行性能分級的基本原理如下：

1) 根據(jù)顯著性假設(shè)檢驗(yàn)原理，若滾動軸承性能保持相對可靠度不小于0%，表示所預(yù)測的未來時間的滾動軸承性能保持可靠度不低于當(dāng)前時間的滾動軸承性能保持可靠度，不能拒絕滾動軸承運(yùn)行性能已經(jīng)達(dá)到最佳狀態(tài)；否則，可以拒絕滾動軸承運(yùn)行性能已經(jīng)達(dá)到最佳狀態(tài)；

2) 當(dāng)滾動軸承性能保持相對可靠度小于0%時，根據(jù)測量理論，相對誤差絕對值在(0%，5%]之間時測量值相對于真值的誤差很??；相對誤差絕對值在(5%，10%]之間時測量值相對于真值的誤差逐漸變大；相對誤差絕對值大于10%時測量值相對于真值的誤差變大。

以上述顯著性假設(shè)檢驗(yàn)原理和測量理論為依據(jù)，將滾動軸承運(yùn)行性能分為S1，S2，S3，S4共4個級別：

S1：滾動軸承性能保持相對可靠度d(t)≥0%，即在未來時間t時滾動軸承的運(yùn)行性能達(dá)到最佳，最佳性能狀態(tài)幾乎沒有失效的可能性；

S2：滾動軸承性能保持相對可靠度d(t)∈[-5%，0%)，即在未來時間t時滾動軸承的運(yùn)行性能正常，最佳性能狀態(tài)失效的可能性??；

S3：滾動軸承性能保持相對可靠度d(t)∈[-10%，-5%)，即在未來時間t時滾動軸承的運(yùn)行性能逐漸變差，最佳性能狀態(tài)失效的可能性逐漸增大；

S4：滾動軸承性能保持相對可靠度d(t)<-10%，即在未來時間t時滾動軸承的運(yùn)行性能變差，最佳性能狀態(tài)失效的可能性增大。

根據(jù)滾動軸承運(yùn)行性能的4個等級，預(yù)測滾動軸承最佳性能狀態(tài)失效程度的時間歷程。滾動軸承性能保持相對可靠度實(shí)際上是相對于當(dāng)前時間的最佳性能狀態(tài)在未來時間滾動軸承性能保持可靠度的衰減程度。負(fù)值表示衰減，即該時刻滾動軸承性能保持可靠度低于當(dāng)前時間滾動軸承性能保持可靠度；正值表示不衰減。滾動軸承性能保持相對可靠度d(t)越小，滾動軸承運(yùn)行性能越差，最佳性能狀態(tài)失效的可能性越大。

對應(yīng)于滾動軸承性能保持相對可靠度d(t)=-10%的未來時間t，是滾動軸承性能變差的臨界時間，在該臨界時間之前采取措施，可以避免發(fā)生因滾動軸承最佳性能狀態(tài)失效引起的嚴(yán)重安全事故。

2 試驗(yàn)分析

2.1 滾動軸承最佳摩擦力矩性能狀態(tài)失效程度預(yù)測

對B7000軸承進(jìn)行摩擦力矩壽命試驗(yàn)。試驗(yàn)設(shè)備由真空試驗(yàn)裝置、SS1798直流穩(wěn)壓電源、G1-150A高真空設(shè)備和反作用飛輪控制箱組成。在溫度為20～25 ℃、相對濕度為55%以上的受控清潔且無振動的地基上進(jìn)行測量，在真空罩內(nèi)模擬實(shí)際工作情況。采用間接測量摩擦力矩的方法，將微型軸承摩擦力矩的測量轉(zhuǎn)變?yōu)閷﹄娏鞯臏y量。反作用飛輪控制箱輸出指令電壓，使真空試驗(yàn)裝置中的飛輪轉(zhuǎn)動，飛輪輪體內(nèi)裝有檢測反饋裝置，該裝置取樣并轉(zhuǎn)換后，將得到的電流信號反饋給飛輪控制箱。真空檢測裝置實(shí)時檢測裝置內(nèi)的真空度，真空度低于要求便會自行啟動。G1-150A高真空設(shè)備將試驗(yàn)裝置內(nèi)的空氣壓力抽到規(guī)定范圍(理論上0.1 Pa左右，試驗(yàn)中控制在1 Pa左右)。輪體內(nèi)的軸承摩擦發(fā)熱引起功率損失，該損失隨著摩擦力矩的變化而變化，使得反饋的電流也發(fā)生變化。利用觀察反饋得到的電流變化間接得到軸承摩擦力矩的變化，為數(shù)據(jù)采集帶來方便。數(shù)據(jù)采集的時間間隔是12 h，即每天記錄2次數(shù)據(jù)。

在滾動軸承運(yùn)行性能最佳時期，通過測量系統(tǒng)定期測量滾動軸承摩擦力矩性能，獲得的原始數(shù)據(jù)序列為X=(236，232，238，235，240，242，243，248，250，250，250，248，236)。

用自助法每次抽取13個數(shù)據(jù)，共抽取20 000次，所得數(shù)據(jù)如圖1所示。

圖1 自助法抽取摩擦力矩數(shù)據(jù)圖

運(yùn)用最大熵原理，計(jì)算可得各個拉格朗日乘子為[c0，c1，c2，c3，c4，c5]=[-2.563 2，0.082 431，-0.065 891，-0.032 924，-0.139 28，0.011 61]。

由 (5) 式計(jì)算概率密度估計(jì)真值函數(shù)f(x)，概率密度分布函數(shù)如圖2所示。

圖2 摩擦力矩樣本密度函數(shù)曲線圖

選取置信度估計(jì)值P1=1，用分位數(shù)方法分別求出7個性能隨機(jī)變量置信區(qū)間的上、下限值，見表1。

表1 摩擦力矩隨機(jī)變量置信區(qū)間的上下限值

20 000個摩擦力矩數(shù)據(jù)中落在7個置信區(qū)間外的個數(shù)nq分別為0，7，181，925，1 749，2 719，3 779。

根據(jù)泊松計(jì)數(shù)原理，可得摩擦力矩數(shù)據(jù)落在7個置信區(qū)間外的頻率λq分別為[λ1，λ2，λ3，λ4，λ5，λ6，λ7]=[0，0.000 35，0.009 05，0.046 25，0.087 45，0.135 85，0.188 95]。

考慮到滾動軸承摩擦力矩性能失效的模擬過程較困難，因此，可將λq當(dāng)做λ代入(17)式，再根據(jù)(18)式可以得到不同置信水平下的摩擦力矩性能保持相對可靠度，如圖3所示。為了視圖方便，只取置信度估計(jì)值Pq=0.999，0.99，0.95，0.9，t=2～13年性能失效時的滾動軸承性能保持相對可靠度dq。

圖3 不同置信水平下的摩擦力矩性能保持相對可靠度

從中挑出小于且最靠近-10%的，即P=99%=0.99時所對應(yīng)的曲線，將其下標(biāo)q標(biāo)為q*，對應(yīng)的置信度估計(jì)值為Pq*，就是以小概率事件原理為依據(jù)，事先通過性能試驗(yàn)確定的置信度。

由(17)式和(18)式可得未來時間t時滾動軸承運(yùn)行保持最佳摩擦力矩性能狀態(tài)的失效程度，即摩擦力矩性能保持相對可靠度，如圖4所示。

圖4 摩擦力矩性能保持相對可靠度

由圖4可知，當(dāng)t=6時，d(t)=-4.43%∈[-5%，0%)，d(t)值接近-5%；

當(dāng)t=7時，d(t)=-5.29%∈[-10%，-5%)，d(t)已經(jīng)小于-5%；

當(dāng)t=12時，d(t)=-9.47%∈[-10%，-5%)，d(t)值接近-10%；

當(dāng)t=13時，d(t)=-10.29%<-10%，d(t)值已經(jīng)小于-10%。

據(jù)此可以預(yù)測，第6 年之前，該滾動軸承的運(yùn)行性能正常，摩擦力矩最佳性能狀態(tài)失效的可能性小；第7 年到第12 年之間，該滾動軸承的運(yùn)行性能逐漸變差，摩擦力矩最佳性能狀態(tài)失效的可能性逐漸增大；到第13 年，該滾動軸承的運(yùn)行性能變差，摩擦力矩最佳性能狀態(tài)失效的可能性增大。

根據(jù)上述分析，在第12 年末，應(yīng)當(dāng)采取干預(yù)措施，對該滾動軸承進(jìn)行維護(hù)或更換，避免發(fā)生因軸承摩擦力矩最佳性能狀態(tài)失效帶來的嚴(yán)重安全事故。

2.2 滾動軸承最佳振動性能狀態(tài)失效程度預(yù)測

試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自美國Case Western Reserve University的軸承數(shù)據(jù)中心網(wǎng)站的專用滾動軸承故障模擬試驗(yàn)臺。該試驗(yàn)臺包括一個2馬力的電動機(jī)，一個扭矩傳感器/譯碼器和一個功率測試計(jì)等。待測軸承支承電動機(jī)的轉(zhuǎn)軸，驅(qū)動端軸承型號為SKF6205，風(fēng)扇端軸承型號為SKF6203。用加速度傳感器測量軸承振動加速度信號。驅(qū)動端轉(zhuǎn)速為1 797 r/min，采樣頻率為12 kHz，得到軸承內(nèi)圈溝道有損傷的故障數(shù)據(jù)，損傷直徑分別為0.177 8，0.533 4，0.711 2 mm，損傷直徑為0 mm時獲得的振動加速度即為振動性能處于最佳時期的加速度原始數(shù)據(jù)。根據(jù)GB/T 24607—2009《滾動軸承 壽命及可靠性試驗(yàn)規(guī)程》，球軸承剝落面積不小于0.5 mm2，從而可認(rèn)為磨斑直徑為0.798 mm時獲得的加速度數(shù)據(jù)即為振動性能處于失效時期的原始數(shù)據(jù)。

對一套SKF6205軸承進(jìn)行振動壽命試驗(yàn)，在滾動軸承運(yùn)行性能最佳時期，通過測量系統(tǒng)獲得軸承振動加速度原始數(shù)據(jù)如圖5所示。

圖5 振動加速度原始數(shù)據(jù)圖

用自助法每次抽取1 600個數(shù)據(jù)，共抽取20 000次，所得大樣本數(shù)據(jù)如圖6所示。

基于最大熵法計(jì)算可得拉格朗日乘子[c0，c1，c2，c3，c4，c5]=[4.489 58，-0.048 036 4，-0.240 004，-0.032 449 2，-0.062 889 4，0.003 081 76]。

圖6 自助法抽取振動加速度數(shù)據(jù)圖

由 (5) 式可計(jì)算出概率密度估計(jì)真值函數(shù)f(x)，概率密度分布函數(shù)如圖7所示。

選取置信度估計(jì)值P1=1，用分位數(shù)方法分別求出7個性能隨機(jī)變量置信區(qū)間的上、下限值，見表2。

表2 振動加速度隨機(jī)變量置信區(qū)間的上下限值

20 000個運(yùn)行性能最佳時期的振動加速度數(shù)據(jù)落在7個置信區(qū)間外的個數(shù)nq分別為0，66，308，971，2 144，3 092，4 054。

根據(jù)泊松計(jì)數(shù)原理，可得運(yùn)行性能最佳時期的磨斑直徑數(shù)據(jù)落在7個置信區(qū)間外的頻率λq分別為[λ1,λ2,λ3,λ4,λ5,λ6,λ7]=[0, 0.003 3,0.015 4,0.048 55,0.107 2,0.154 6,0.202 7]。

根據(jù)損傷直徑為0，0.177 8，0.533 4，0.711 2 mm時獲得的振動加速度數(shù)據(jù)，用蒙特卡羅方法仿真磨斑直徑為0.798 mm時的1 600個振動加速度數(shù)據(jù)(仿真時間單位假設(shè)為n)。

用自助法每次抽取1 600個數(shù)據(jù)，共抽取20 000次，所得數(shù)據(jù)如圖8所示。

圖8 性能失效數(shù)據(jù)圖

20 000個性能失效數(shù)據(jù)落在7個性能隨機(jī)變量置信區(qū)間[XLq，XUq]之外的個數(shù)分別為1 610，2 105，3 503，5 484，6 832，7 855，8 750。

根據(jù)泊松計(jì)數(shù)原理，可得性能失效數(shù)據(jù)落在7個置信區(qū)間外的頻率βq分別為[β1,β2,β3,β4,β5,β6,β7]=[ 0.080 5，0.105 25，0.175 15，0.274 2，0.341 7，0.392 75，0.437 5]。

由(12)式可得7個置信水平條件下，滾動軸承性能保持相對可靠度dq分別為[d1,d2,d3,d4,d5,d6,d7]=[-7.73%，-9.88%，-15.789%，-20.21%，-20.87%，-21.19%，-21.93%]。

從中挑出小于且最靠近-10%的，即P=99%=0.99時的曲線，將其下標(biāo)q標(biāo)為q*，所對應(yīng)的置信度估計(jì)值Pq*就是以小概率事件原理為依據(jù)，事先通過性能試驗(yàn)確定的置信度。

對應(yīng)的λ=λ3=0.015 4，由(17)式和(18)式可得未來時間t時滾動軸承運(yùn)行保持最佳振動性能狀態(tài)的失效程度，即振動性能保持相對可靠度，如圖9所示。

圖9 滾動軸承的振動性能保持相對可靠度

由圖9可知，當(dāng)t=4時，d(t)=-4.51%∈[-5%，0%)，d(t)值接近-5%；

當(dāng)t=5時，d(t)=-5.97%∈[-10%，-5%)，d(t)已經(jīng)小于-5%；

當(dāng)t=7時，d(t)=-8.83%∈[-10%，-5%)，d(t)值接近-10%；

當(dāng)t=8時，d(t)=-10.21%<-10%，d(t)值已經(jīng)小于-10%。

據(jù)此可以預(yù)測，第4 年之前，該滾動軸承的運(yùn)行性能正常，振動最佳性能狀態(tài)失效的可能性小；第5 年到第7 年之間，該滾動軸承的運(yùn)行性能逐漸變差，振動最佳性能狀態(tài)失效的可能性逐漸增大；到第 8 年，該滾動軸承的運(yùn)行性能變差，振動最佳性能狀態(tài)失效的可能性增大。

根據(jù)上述分析，在第7 年末，應(yīng)當(dāng)采取干預(yù)措施，對該滾動軸承進(jìn)行維護(hù)或更換，避免發(fā)生因軸承振動最佳性能狀態(tài)失效帶來的嚴(yán)重安全事故。

3 結(jié)束語

提出滾動軸承性能保持可靠性的新概念，基于最大熵原理，建立性能保持可靠性評估模型。通過試驗(yàn)證明，該模型可以計(jì)算滾動軸承在未來時間的摩擦力矩和振動性能保持的相對可靠度，從而預(yù)測滾動軸承保持最佳摩擦力矩和振動性能狀態(tài)的失效程度。該可靠性評估模型無需樣本概率密度函數(shù)的任何先驗(yàn)信息，也無需事先設(shè)定一個置信度值。運(yùn)用該模型可以在滾動軸承最佳性能狀態(tài)失效的可能性變大之前采取干預(yù)措施，對滾動軸承進(jìn)行維護(hù)或更換，避免發(fā)生嚴(yán)重的安全事故。