宋輝（遼寧廣播電視大學(xué)丹東分校，遼寧 丹東 118000）

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平穩(wěn)時(shí)間序列模型優(yōu)選及階數(shù)比選研究
——以年最高洪水位預(yù)報(bào)為例

宋輝
（遼寧廣播電視大學(xué)丹東分校，遼寧 丹東 118000）

摘 要：水位預(yù)報(bào)因具有數(shù)據(jù)直觀(guān)，復(fù)核方便，容易確定避險(xiǎn)區(qū)域等優(yōu)點(diǎn)而逐漸取代復(fù)雜的流量預(yù)報(bào).平穩(wěn)時(shí)間序列模型計(jì)算簡(jiǎn)單，容易操作，是水位預(yù)報(bào)的理想方法.本文對(duì)比分析自回歸模型、滑動(dòng)平均模型和自回歸滑動(dòng)平均模型，以簡(jiǎn)捷原則為原則建立了自回歸模型的參數(shù)計(jì)算方法和水位預(yù)報(bào)模型.并以丹東一水文站25年水位資料為例進(jìn)行了兩個(gè)階數(shù)對(duì)比，結(jié)果表明3階預(yù)報(bào)精度高于5階，比選結(jié)果認(rèn)為一般情況下可只進(jìn)行3階預(yù)報(bào)就能滿(mǎn)足精度要求.

關(guān)鍵詞：平穩(wěn)時(shí)間序列；自回歸模型；階數(shù)比選；自相關(guān)函數(shù)；水位預(yù)報(bào)

1 引言

水資源是生命之源、生產(chǎn)之基、生態(tài)之要.隨著國(guó)民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，五位一體戰(zhàn)略的實(shí)施，水資源對(duì)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的制約作用逐漸顯現(xiàn).無(wú)論是主動(dòng)的資源節(jié)約制約，還是被動(dòng)的環(huán)境達(dá)標(biāo)制約，都需要對(duì)水資源進(jìn)行準(zhǔn)確的預(yù)測(cè).

隨著水文站網(wǎng)密度的增加，常規(guī)的流量預(yù)測(cè)逐漸被高密度的水位預(yù)測(cè)所取代.水位預(yù)測(cè)在功能上具有數(shù)據(jù)直觀(guān)，復(fù)核方便，容易確定避險(xiǎn)區(qū)域等優(yōu)點(diǎn).為提高水位預(yù)報(bào)精度，簡(jiǎn)化預(yù)報(bào)方法，提出簡(jiǎn)單、易操作、程序化的水文預(yù)報(bào)方法就具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

平穩(wěn)時(shí)間序列模型計(jì)算簡(jiǎn)單，過(guò)程易懂，應(yīng)用方便，只要有某處的實(shí)測(cè)資料就可以進(jìn)行預(yù)報(bào)［1］.因此，本文在對(duì)比分析平穩(wěn)時(shí)間序列模型的基礎(chǔ)上，利用自回歸模型（AR），對(duì)比分析不同階數(shù)的預(yù)報(bào)結(jié)果，以期為水文預(yù)報(bào)提供可行性方法.

2 平穩(wěn)時(shí)間序列模型

時(shí)間序列是指將某種現(xiàn)象某一個(gè)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)在不同時(shí)間上的各個(gè)數(shù)值，按時(shí)間先后順序排列而形成的序列.平穩(wěn)時(shí)間序列是指含變量的時(shí)間序列，它的前期演變過(guò)程的統(tǒng)計(jì)相關(guān)規(guī)律在未來(lái)的一段時(shí)間內(nèi)是不變的.

平穩(wěn)時(shí)間序列需滿(mǎn)足均值與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，方差是與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)，協(xié)方差只與時(shí)間間隔有關(guān)，與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù).

2.1 自回歸模型（AR）

AR（p）模型（Auto-Regressive Moving Average）是一種平穩(wěn)的自回歸模型.AR模型是一種線(xiàn)性預(yù)測(cè)，可由模型推出第N點(diǎn)前面或后面的數(shù)據(jù)（設(shè)推出P點(diǎn)）［2］.

設(shè)X1，X2，…,Xt是平穩(wěn)時(shí)間序列，自回歸模型AR（p）：

式中b1,b2,…bp是預(yù)報(bào)系數(shù)，也稱(chēng)回歸系數(shù)，表示序列在時(shí)間上的相依程度；P是預(yù)報(bào)階數(shù)；Xt,Xt-1,Xt-2,…,Xt-p+1為預(yù)報(bào)值Xt+1前1、2、…、p個(gè)時(shí)間間隔的實(shí)測(cè)值；εt為外部條件影響值.

2.2 滑動(dòng)平均模型（MA）

MA（q）模型（moving average model）滑動(dòng)平均模型，是現(xiàn)代預(yù)報(bào)中常用的模型.

設(shè)｛εt｝是一白噪聲序列，時(shí)間序列｛Xt｝滿(mǎn)足

上式為q階平穩(wěn)滑動(dòng)模型，式中εt為外部白噪聲；β1,β2, βq是預(yù)報(bào)系數(shù)；q是預(yù)報(bào)階數(shù)；Xt為預(yù)報(bào)值.

2.3 自回歸滑動(dòng)平均模型（ARMA）

ARMA（p,q）模型（auto regressive moving average model）自回歸滑動(dòng)平均模型，集中AR模型法與MA模型法優(yōu)點(diǎn)［2］［3］.

設(shè)｛Xt｝是時(shí)間序列，｛εt｝是白噪聲序列，兩序列滿(mǎn)足平穩(wěn)條件，則

式中符號(hào)同上文，其中a1,…,ap與b1,…,bp都是預(yù)報(bào)系數(shù).

對(duì)比分析上述三個(gè)模型，以適用性及簡(jiǎn)捷性為判斷條件，本文選擇自回歸模型為預(yù)報(bào)模型，該模型原理簡(jiǎn)單，參數(shù)模擬不復(fù)雜，預(yù)報(bào)簡(jiǎn)捷.

3 自回歸模型求解

本文根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，選用AR（p）模型進(jìn)行預(yù)報(bào).AR（P）模型參數(shù)一個(gè)是預(yù)報(bào)階數(shù)，二是回歸系數(shù).

3.1 預(yù)報(bào)階數(shù)

預(yù)報(bào)階數(shù)P采用經(jīng)驗(yàn)公式法，

且P多取3階或5階.實(shí)際預(yù)報(bào)中，選取幾種不同階數(shù)分別進(jìn)行預(yù)報(bào)并比較預(yù)報(bào)值，選擇吻合最好的做為應(yīng)取階數(shù).

3.2 回歸系數(shù)

回歸系數(shù)一般按三步分別計(jì)算.

首先計(jì)算不同時(shí)間間隔的自相關(guān)函數(shù)，不同時(shí)間間隔即不同階數(shù).一個(gè)單位時(shí)間間隔的自相關(guān)函數(shù)計(jì)算公式為：τ個(gè)單位的自相關(guān)函數(shù)為R（τ），計(jì)算公式為：

其次，為比較不同序列，將自相關(guān)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，即用自相關(guān)函數(shù)值除以方差：

公式5至公式8中，ΔX是序列的距平；δX2是序列方差；b1,b2,b3是預(yù)報(bào)系數(shù)；γ（1）,γ（2）,γ（3）是標(biāo)準(zhǔn)化的自相關(guān)函數(shù).

4 實(shí)例應(yīng)用

4.1 實(shí)例簡(jiǎn)介

本文以丹東地區(qū)某中小河流入干流控制水文站1990-2014年合計(jì)25年系列年最高洪水位資料進(jìn)行預(yù)報(bào).

該河流位于丹東暴雨中心區(qū)，年平均降雨量1100mm.流域面積40km2，流域植被保持良好，下墊面條件基本平穩(wěn).1990年以來(lái)，流域內(nèi)無(wú)大的水利工程建設(shè)，大的取水、排水設(shè)施.最高洪水位主要受天然降水強(qiáng)度、降水量、流域產(chǎn)匯流等水文要素影響.

4.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)本文對(duì)系列資料的平穩(wěn)性檢查，分為定性和定量檢查.定性檢查根據(jù)流域水文特性及最高洪水位物理機(jī)理，最高洪水位為隨機(jī)變量，不受時(shí)間影響.

定量分析主要計(jì)算不同時(shí)間的均值和方差的變化.分別計(jì)算總均值、總方差，1990-2004年合計(jì)15年的均值、方差；2000-2014年合計(jì)15的均值、方差.均值分別為70.35、70.58、70.57；方差分別為3.19、3.42、3.25.從統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，25年最高洪水位時(shí)間序列為寬平穩(wěn)序列.

4.3 預(yù)報(bào)模型

預(yù)報(bào)模型建立的依據(jù)是認(rèn)為預(yù)報(bào)值與前期的觀(guān)測(cè)值有關(guān)［4］［5］［6］.因?yàn)槠椒€(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)不隨時(shí)間變化，最高水位自身前后關(guān)系的線(xiàn)性方程：

式中，Ht+1是未來(lái)預(yù)測(cè)的最高水位值；ΔHt+1是未來(lái)一個(gè)時(shí)間間隔的預(yù)報(bào)距平值；ΔHt,…,ΔHt-p+1為預(yù)報(bào)年的上1年、…、p年的最高水位值距平值；b1,b2,…,bp是預(yù)報(bào)系數(shù)；P是預(yù)報(bào)階數(shù).

4.4 預(yù)報(bào)計(jì)算及評(píng)價(jià)

根據(jù)水文站最高洪水位資料,參數(shù)計(jì)算見(jiàn)表1.

25年系列資料，預(yù)報(bào)階數(shù)為3或5，為了對(duì)比預(yù)報(bào)精度，本文對(duì)兩個(gè)階數(shù)分別進(jìn)行計(jì)算.標(biāo)準(zhǔn)化的自相關(guān)函數(shù)值計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2.

表1 最高水位自回歸模型參數(shù)計(jì)算表

序號(hào) 年份 水位 △Ht△Ht2△Ht△Ht+1△Ht△Ht+2△Ht△Ht+3△Ht△Ht+4△Ht△Ht+517 2006 68.67 -1.68 2.816 -0.809 2.497 -0.121 2.094 5.534 18 2007 70.83 0.48 0.232 -0.717 0.035 -0.602 -1.590 -0.549 19 2008 68.86 -1.49 2.214 -0.107 1.857 4.907 1.693 -3.068 20 2009 70.42 0.07 0.005 -0.090 -0.237 -0.082 0.148 0.158 21 2010 69.1 -1.25 1.558 4.116 1.420 -2.573 -2.736 22 2011 67.05 -3.30 10.877 3.753 -6.800 -7.229 23 2012 69.21 -1.14 1.295 -2.347 -2.494 24 2013 72.41 2.06 4.252 4.520 25 2014 72.54 2.19 4.805合計(jì) 1758.7 79.658 11.120 -1.138 -20.733 -17.478 6.197平均 70.35 3.186 0.445 -0.046 -0.829 -0.699 0.248

表2 標(biāo)準(zhǔn)化的自相關(guān)函數(shù)值

4.4.1 3階回歸預(yù)報(bào)

預(yù)報(bào)系數(shù)的線(xiàn)性方程組為：

根據(jù)EXCELL中MINVERSE,MMULT函數(shù)，計(jì)算得：b1為0.135495，b2為0.002916，b3為-0.258751.把計(jì)算數(shù)據(jù)代入公式9和公式10，得：

4.4.2 5階回歸預(yù)報(bào)

如上，代入數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：b1為0.115146，b2為0.034907，b3為-0.237259，b4為-0.174399，b5為133096.把計(jì)算數(shù)據(jù)代入公式9和公式10，得：

4.4.3 預(yù)報(bào)評(píng)價(jià)

該站2015年最高洪水位為71.13米，其中3階預(yù)測(cè)值偏小，5階預(yù)測(cè)值偏大.3階預(yù)測(cè)誤差為0.26%，5階預(yù)報(bào)誤差為0.31%；預(yù)報(bào)結(jié)果說(shuō)明平穩(wěn)時(shí)間序列預(yù)報(bào)精度較高,3階預(yù)報(bào)就能滿(mǎn)足要求，一般可不進(jìn)行5階預(yù)報(bào)，可減少工作量，計(jì)算更簡(jiǎn)捷.

5 結(jié)論

1.通過(guò)對(duì)比分析，采用自回歸模型進(jìn)行水位預(yù)報(bào)，確定了預(yù)報(bào)階數(shù)和回歸系數(shù)的計(jì)算方法及步驟.

2.案例預(yù)報(bào)結(jié)果表明，自回歸模型適合水位預(yù)報(bào)，預(yù)報(bào)精度高，3階預(yù)報(bào)精度好于5階預(yù)報(bào)精度，一般可只采用3階預(yù)報(bào)，可減少工作量，計(jì)算更簡(jiǎn)捷.

3.平穩(wěn)時(shí)間序列較簡(jiǎn)單，但系列數(shù)據(jù)必須滿(mǎn)足平穩(wěn)性，在推廣應(yīng)用中，需對(duì)系列數(shù)據(jù)進(jìn)行定性、定量評(píng)價(jià)分析.

參考文獻(xiàn)：

〔1〕張美英，何杰.時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型研究綜述［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2011（18）：189-195.

〔2〕趙春艷.平滑轉(zhuǎn)換自回歸模型的平穩(wěn)性問(wèn)題研究［J］.數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2012（01）：152-160.

〔3〕林慧君，徐榮聰.組合ARMA與SVR模型的時(shí)間序列預(yù)測(cè)［J］.計(jì)算機(jī)與現(xiàn)代化，2009（08）：19-22.

〔4〕郭春霞，諸云強(qiáng)，孫偉.不同時(shí)間尺度、季節(jié)的氣溫?cái)?shù)據(jù)空間平穩(wěn)特征及其對(duì)插值結(jié)果的影響 ［J］.地理研究，2015 （09）：1675-1684.

〔5〕崔磊，遲道才，曲霞.基于小波消噪的平穩(wěn)時(shí)間序列分析方法在降雨量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用 ［J］.中國(guó)農(nóng)村水利水電，2010 （10）：39-43.

〔6〕吳東杰，王金生，滕彥國(guó).小波分解與變換法預(yù)測(cè)地下水位動(dòng)態(tài)［J］.水利學(xué)報(bào)，2004（05）：39-45.

中圖分類(lèi)號(hào)：O211

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）06-0005-03

收稿日期：2016-03-22