鄧將華，黃伍平，王威

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建福州350116)

電磁成形線圈電感計(jì)算

鄧將華，黃伍平，王威

(福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福建福州350116)

采用解析法和有限元方法對(duì)電磁成形線圈電感進(jìn)行計(jì)算并測(cè)量.研究結(jié)果表明，解析法和2D有限元法計(jì)算線圈電感與實(shí)測(cè)值誤差較大，且只能計(jì)算少量的軸對(duì)稱線圈的電感，具有較大的局限性.而基于增強(qiáng)型能量增量法原理的3D有限元法求解電感精度較高，可以較好地計(jì)算實(shí)際結(jié)構(gòu)線圈的電感，對(duì)于異形線圈電感也可以方便建模求解，為線圈的設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ).

電磁成形;電感計(jì)算;解析法;3D有限元法

0 引言

電磁成形是將強(qiáng)脈沖電磁力作用于金屬毛坯使其產(chǎn)生塑性變形的一種高能率成形工藝.相對(duì)于傳統(tǒng)金屬壓力加工方法而言，它具有生產(chǎn)率高、工藝重復(fù)性好、工裝簡(jiǎn)單、材料極限變形能力高且利于實(shí)現(xiàn)復(fù)合工藝等優(yōu)點(diǎn)，故廣泛應(yīng)用于航空、航天、汽車、電子等領(lǐng)域.電磁成形過(guò)程中電容器儲(chǔ)存的電能通過(guò)線圈放電瞬間轉(zhuǎn)變?yōu)楣ぜ乃苄宰冃文埽?－5］.線圈是電磁成形的關(guān)鍵元件，對(duì)工件成形效率及質(zhì)量具有重要影響［6－8］.線圈電感的精確計(jì)算是電磁成形過(guò)程放電回路分析和工藝參數(shù)優(yōu)化的基礎(chǔ).目前，線圈電感的計(jì)算主要有解析法和數(shù)值法.解析法一般是通過(guò)畢奧－薩伐爾定律或引入矢量磁位，結(jié)合分離變量法、積分變換法或格林函數(shù)法等首先給出磁場(chǎng)的解析解，進(jìn)而求得電感的解析表達(dá)式［9］.但解析表達(dá)式一般較復(fù)雜，難以直接應(yīng)用，需要通過(guò)查表、結(jié)合數(shù)值計(jì)算或通過(guò)計(jì)算機(jī)編程來(lái)輔助求解［10－13］.近幾十年來(lái)，隨著有限單元法(FEM)、邊界元法(BEM)、有限差分法(FDM)等方法的發(fā)展，數(shù)值方法得到了廣泛應(yīng)用.FEM作為數(shù)值方法的一種，建模時(shí)考慮了線圈結(jié)構(gòu)的實(shí)際分布、具體形狀和電磁材料的非線性等因素，為線圈電感的精確計(jì)算提供了一種有效的方法［14－15］.本研究在分析線圈電感計(jì)算原理的基礎(chǔ)上，分別采用解析法和有限元法對(duì)電磁成形線圈電感進(jìn)行計(jì)算.通過(guò)與實(shí)測(cè)值比較，確定電感計(jì)算的有效方法，并將該方法應(yīng)用于異形線圈電感的計(jì)算.

1 線圈電感計(jì)算原理

1.1 解析法

當(dāng)線圈中通入恒定電流時(shí)，在線圈周圍產(chǎn)生靜磁場(chǎng).可以直接利用畢奧－薩伐定律，或引入矢量磁位A、標(biāo)量磁位φm，通過(guò)求解滿足一定邊界條件的泊松方程(2A=－μJ)和拉普拉斯方程(2φm=0)進(jìn)行恒定磁場(chǎng)的計(jì)算.其中:2為拉普拉斯算子，μ為介質(zhì)磁導(dǎo)率，J為電流密度矢量.然后根據(jù)磁鏈法(L=ψ/I)或磁能法(W=LI2)求解線圈電感，其中:ψ為磁鏈，I為線圈電流.

解析法能明確表示常量與參數(shù)的關(guān)系，計(jì)算量小、精度高，可以大量簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)過(guò)程.但解析法僅能求解少量具有規(guī)則邊界形狀的邊值問(wèn)題，并不是所有問(wèn)題都有解析解.另外解析解很難直接應(yīng)用，需要通過(guò)查表、計(jì)算機(jī)編程或其他輔助方法進(jìn)行求解.

1.2 有限元法

根據(jù)模型的不同，計(jì)算電感主要有二維(2D)和三維(3D)有限元法.對(duì)于二維靜態(tài)磁場(chǎng)可以采用磁矢量法(MVP)求解，而三維靜磁場(chǎng)除了可以采用磁矢量法，還可以采用磁標(biāo)量法(MSP)和棱邊單元法(EFE)求解.基于磁場(chǎng)的計(jì)算結(jié)果，線圈電感則可以通過(guò)磁鏈法或磁能法求解.但是對(duì)于3D有限元法，特別是形狀復(fù)雜的線圈，因?yàn)榉e分路徑的選取會(huì)比較繁瑣，所以磁鏈法并不適用.而能量法不需要考慮積分面的選取，而且有限元法中關(guān)于能量或共能的計(jì)算是基于最小磁能原理，故有較高的計(jì)算精度［14］.為了提高能量法的計(jì)算精度和計(jì)算效率，Gyimesi和Ostergaard對(duì)能量法進(jìn)行了改進(jìn)［16］，提出了增強(qiáng)型能量增量法(EIEM)，減少了計(jì)算所需的求解數(shù)，使基于EIEM的有限元法計(jì)算電感更加可靠.

以單個(gè)線圈組成的系統(tǒng)為例，當(dāng)線圈中的電流從工作點(diǎn)i0變化到i1，產(chǎn)生Δi的電流增量時(shí)，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律則會(huì)產(chǎn)生自感電動(dòng)勢(shì)u:

在整個(gè)變化過(guò)程中，電源將反抗電動(dòng)勢(shì)做功有:

根據(jù)能量守恒，這部分功將以能量的形式儲(chǔ)存在線圈內(nèi).對(duì)于各向同性非鐵磁物質(zhì)，B=μH，由電流擾動(dòng)引起的磁場(chǎng)變化可以表示為:

其中:H0、B0是工作點(diǎn)的磁場(chǎng)量，ΔH、ΔB是電流擾動(dòng)引起的增量.則磁場(chǎng)能量的變化可以表示為:

對(duì)比(2)、(4)兩式各項(xiàng)，ΔH、ΔB是電流擾動(dòng)Δi引起的場(chǎng)量變化，故可得電感的表達(dá)式:

與能量法相比該改進(jìn)方法求解線圈電感只需要一個(gè)增量分析，電流增量的選取可以更加靈活，而且不需要計(jì)算絕對(duì)磁能，計(jì)算效率好，精度高，故本研究的有限元計(jì)算都采用這種方法.

2 平板線圈電感計(jì)算

平板線圈是電磁成形最常用的一種線圈結(jié)構(gòu)，利用平板線圈可實(shí)現(xiàn)板材沖裁、粉末壓實(shí)、電磁鉚接等工藝.線圈材料為紫銅.線圈結(jié)構(gòu)如圖1所示，導(dǎo)線截面為矩形，用線切割的方法在紫銅板上加工出的線圈實(shí)物如圖2所示，線圈結(jié)構(gòu)具體參數(shù)如表1所示.

表1 線圈結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1Structural parameters of pancake coil

2.1 解析法計(jì)算電感

對(duì)于如圖1所示的電磁成形用軸對(duì)稱矩形截面平板線圈，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，忽略其線圈的螺旋性和絕緣層厚度，并認(rèn)為其電流沿截面均勻分布，故可將其等效為空心圓柱線圈，其電感計(jì)算采用文［11］中的方法.該方法引入矢量磁位A，認(rèn)為空心圓柱線圈是由無(wú)窮多個(gè)同軸圓環(huán)線圈組成的，并將其矢量磁位作為一個(gè)邊值問(wèn)題用分離變量法求解.圓柱線圈的矢量磁位可以通過(guò)對(duì)圓環(huán)線圈矢量磁位的積分和疊加原理求得.然后根據(jù)磁感應(yīng)強(qiáng)度B和矢量磁位A的關(guān)系B=×A求得空心圓柱的磁感應(yīng)強(qiáng)度.通過(guò)能量法或磁鏈法求得電感的解析表達(dá)式［11］:

類貝塞爾函數(shù);μ0為真空磁導(dǎo)率;N為線圈匝數(shù);函數(shù)T(p，q)的值可通過(guò)Matlab編程計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果為26.847 1，則線圈電感解析解為6.87 μH.

2.2 有限元法計(jì)算電感

1)2D有限元法

由于線圈滿足軸對(duì)稱關(guān)系，可以簡(jiǎn)化為二維磁場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算.對(duì)二維磁場(chǎng)的有限元分析采用磁矢勢(shì)法(MVP)，即以矢量磁位A為節(jié)點(diǎn)自由度進(jìn)行磁場(chǎng)的計(jì)算.對(duì)恒定磁場(chǎng)的麥克斯韋方程為［17］:

通過(guò)變分方法即可得出有限元方程組，寫成矩陣形式為:

式中:K為系數(shù)矩陣;A為矢量磁位矩陣;F為電流源密度值的常數(shù)項(xiàng)矩陣.

根據(jù)線圈形狀，在有限元商用軟件ANSYS中可建立如圖3所示1/2有限元模型，磁場(chǎng)有限元區(qū)所需激勵(lì)通過(guò)施加電流密度進(jìn)行加載.有限元區(qū)域中單元矢量磁位可表示為:

式中:Ai為節(jié)點(diǎn)i的矢量磁位;Ni為其標(biāo)量形狀函數(shù).

對(duì)于x=0的邊界，應(yīng)滿足磁力線平行，施加AZ=0的邊界條件.對(duì)于y=0的邊界，應(yīng)滿足磁力線垂直，默認(rèn)條件下自然滿足.對(duì)于線圈周圍近場(chǎng)空氣網(wǎng)格劃分較密，遠(yuǎn)場(chǎng)空氣則采用映射劃分.磁場(chǎng)的求解完成后可以通過(guò)ANSYS中的宏LMATRIX利用EIEM方法進(jìn)行電感的求解，求解結(jié)果為5.67 μH.

2)3D有限元方法

線圈三維模型的磁場(chǎng)可采用棱邊單元法進(jìn)行求解.棱邊單元法與矢量位法相似，都是利用矢量磁位A進(jìn)行磁場(chǎng)的計(jì)算，區(qū)別在于棱邊元的單元自由度Al與單元邊l(棱邊)相關(guān)，即是磁矢量A沿單元邊的切向分量的積分，其形狀函數(shù)為矢量函數(shù)Nl［18］，單元中的矢量磁位為:

線圈的激勵(lì)電流源可以采用非剖分單元SOURC36模擬，此時(shí)可以將其視為單元的實(shí)常數(shù)而不必進(jìn)行網(wǎng)格剖分.對(duì)于本研究使用的平板線圈可建立如圖4、圖5兩種模型.圖4將線圈等效成空心圓柱不考慮間隙，圖5考慮線圈間隙，兩種有限元模型采用相同的網(wǎng)格劃分.不考慮SOURC36單元數(shù)，網(wǎng)格剖分后共產(chǎn)生單元數(shù)11 280，節(jié)點(diǎn)數(shù)34 545.對(duì)模型外表面上全部節(jié)點(diǎn)施加通量平行邊界條件AZ=0.完成磁場(chǎng)的有限元計(jì)算后調(diào)用ANSYS的宏LMATRIX，通過(guò)能量增量法進(jìn)行電感計(jì)算，其計(jì)算結(jié)果分別為5.27和5.14 μH.

3 分析和討論

通過(guò)解析法和有限元法計(jì)算得到的電感值和實(shí)測(cè)值如表2所示.電感測(cè)量?jī)x器為TH2810D LRC數(shù)字電橋，測(cè)量頻率為100 Hz.通過(guò)比較可知，解析法和2D有限元法的計(jì)算誤差較大，分別為37.4%和13.4%，而3D有限元法誤差均在6%以下，如考慮線圈間隙，其誤差僅為2.8%，大大提高了計(jì)算精度.其原因主要為解析法和2D有限元法在計(jì)算過(guò)程中做了過(guò)多的假設(shè)，且兩種方法都沒(méi)有考慮到線圈絕緣層的影響，而電磁成形用線圈一般都是在較高的電壓下工作，為了保證耐壓等級(jí)需要纏繞較厚的絕緣層.3D有限元法考慮了磁場(chǎng)的端部效應(yīng)，其結(jié)果較為精確，特別是當(dāng)考慮線圈絕緣層的影響時(shí)，結(jié)果更為精確.誤差產(chǎn)生主要是因?yàn)榫€圈在內(nèi)外兩端面部分扭曲嚴(yán)重且需要較長(zhǎng)的引線，從而使測(cè)量結(jié)果和計(jì)算結(jié)果有一定的偏差.

表2 計(jì)算及測(cè)量結(jié)果Tab.2Results of computation and measurement

為了進(jìn)一步驗(yàn)證線圈電感計(jì)算的準(zhǔn)確性，將測(cè)試用線圈接入低電壓電磁成形設(shè)備，通過(guò)電阻分流法測(cè)量空載時(shí)的放電電流.設(shè)備相關(guān)參數(shù)為:系統(tǒng)內(nèi)阻15.2 mΩ，系統(tǒng)電感為5 μH，電容為73.13 mF.線圈電感計(jì)算結(jié)果為5.14 μH，線圈實(shí)測(cè)電阻為2.4 mΩ，不同放電電壓下線圈電流隨時(shí)間的變化如圖6所示.通過(guò)對(duì)比可知，模擬結(jié)果和實(shí)測(cè)電流分布基本吻合，因此，可利用該方法求解線圈電感，并可用于電磁成形設(shè)備放電電流分析.

在電磁成形中，根據(jù)零件形狀的不同需要采用不同形狀的異形線圈.而異形線圈由于其形狀的復(fù)雜性，其電感計(jì)算困難.利用3D有限元方法可以考慮線圈的實(shí)際形狀，因此可用于異形線圈電感的計(jì)算，而其他方法難以完成.為了驗(yàn)證其可行性，纏繞一個(gè)如圖7所示的矩形螺旋線圈.材料為紫銅導(dǎo)線，其截面尺寸為2 mm×7 mm，匝數(shù)為17匝.由于此線圈的絕緣層較薄，忽略其影響后可建立如圖8所示1/4有限元模型.計(jì)算結(jié)果為L(zhǎng)=19.38 μH，實(shí)測(cè)電感L=20.0 μH，計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)值基本一致，誤差較小.

4 結(jié)語(yǔ)

1)解析法和2D有限元法對(duì)電磁成形用平板線圈的計(jì)算誤差較大，且只能計(jì)算少量的軸對(duì)稱線圈的電感，有較大的局限性.

2)基于EIEM原理的3D有限元法求解電感精度較高，可以較好模擬線圈的實(shí)際結(jié)構(gòu).當(dāng)考慮線圈的實(shí)際形狀時(shí)模擬結(jié)果更加接近實(shí)測(cè)值，對(duì)于異形線圈也可以較方便進(jìn)行建模求解，為線圈設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ).

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(責(zé)任編輯:沈蕓)

Inductance computation for electromagnetic forming coil

DENG Jianghua，HUANG Wuping，WANG Wei
(College of Mechanical Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

Coil inductance is calculated using the analytical method and finite element method and measured.The result shows that the error of coil inductance between the calculation and measurement is big and only a few coil inductance of axial symmetry can be calculated with the analytical method and 2D finite element method.It is limited to the calculation of coil inductance.The calculation precision of coil inductance is high and the coil inductance considering coil structure can be obtained with 3D finite element method based on enhanced increment energy method.At the same time，the inductance of special－shape coil can be calculated by the 3D finite element method and the method establishes the foundation for the coil design.

electromagnetic forming;inductance calculation;analytical method;3D finite element method

TG391

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0789

1000－2243(2016)06－0789－06

2015－06－25

鄧將華(1980－)，副教授，主要從事電磁成形理論和工藝研究，jhdeng@fzu.edu.cn

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2013J01181);輕合金加工科學(xué)與技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室開放基金資助項(xiàng)目(gf201201001)