柴琴琴，林雙杰，林瓊斌

(1.福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州350116; 2.福州大學(xué)先進(jìn)控制技術(shù)研究中心，福建福州350116)

時(shí)滯系統(tǒng)終端時(shí)間參數(shù)優(yōu)化控制

柴琴琴1，2，林雙杰1，林瓊斌1

(1.福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建福州350116; 2.福州大學(xué)先進(jìn)控制技術(shù)研究中心，福建福州350116)

針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)終端時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題，提出一種基于參數(shù)化的數(shù)值求解方法.首先將優(yōu)化控制向量用分段常數(shù)函數(shù)來(lái)近似;然后引入時(shí)間轉(zhuǎn)換方法將未知切換時(shí)間點(diǎn)和未知終端時(shí)間映射到新時(shí)間域的固定時(shí)間點(diǎn)上，從而將原未知時(shí)域的時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題近似為固定時(shí)域的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題;最后采用全聯(lián)通粒子群算法求解.資源再生系統(tǒng)優(yōu)化控制問(wèn)題的仿真結(jié)果表明所提方法是有效的.

時(shí)滯系統(tǒng);終端時(shí)間最優(yōu);控制參數(shù)化

0 引言

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，時(shí)間長(zhǎng)短成了衡量化工、生物、制藥、工業(yè)制造等過(guò)程和企業(yè)效益的重要因素［1－4］，時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題也成了亟需解決的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題通?？擅枋鰹樵跐M(mǎn)足一定狀態(tài)變量約束的條件下，尋找最優(yōu)控制變量和終端時(shí)間，使得目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu).這類(lèi)優(yōu)化控制問(wèn)題很難采用極大值原理求解獲得解析解，只能采用數(shù)值方法來(lái)求解.常用的策略是首先用罰函數(shù)策略或Lagrange乘子處理約束條件，將約束優(yōu)化控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化控制問(wèn)題;再將時(shí)間進(jìn)行網(wǎng)格劃分，在離散化時(shí)間區(qū)間上采用控制參數(shù)化方法將控制向量用分段函數(shù)來(lái)近似，其中分段函數(shù)參數(shù)代替原來(lái)的控制變量成為待求解的優(yōu)化變量.至此，原帶約束的時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為以在終端時(shí)間和分段函數(shù)參數(shù)為優(yōu)化變量的高維非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題.然而，未知終端時(shí)間仍給近似非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的求解帶來(lái)了困難，為此，文［5－7］提出控制參數(shù)化增強(qiáng)轉(zhuǎn)換方法，把未知控制時(shí)間和(或)分段函數(shù)切換點(diǎn)時(shí)刻均映射到一個(gè)新時(shí)間尺度的固定時(shí)間點(diǎn)上，從而將終端時(shí)間未知的優(yōu)化控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為終端時(shí)間已知的優(yōu)化控制問(wèn)題，然后采用現(xiàn)有的優(yōu)化方法進(jìn)行求解.該方法已成功應(yīng)用于求解化工、航天等過(guò)程的時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題［8－9］.此外，文［10］針對(duì)復(fù)雜約束的最優(yōu)控制問(wèn)題提出一種分階方法來(lái)求解時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題.然而上述方法主要針對(duì)非時(shí)滯系統(tǒng)設(shè)計(jì)，實(shí)際系統(tǒng)普遍含有時(shí)滯，現(xiàn)有數(shù)值求解方法在求解時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題方面具有局限性.為此，研究如何將參數(shù)化控制方法應(yīng)用于求解時(shí)滯系統(tǒng)的時(shí)間優(yōu)化問(wèn)題.

1 問(wèn)題描述

考慮如下時(shí)滯系統(tǒng):

其中:T＞0為未知終端時(shí)間;x∈Rn為狀態(tài)向量;x(t－α)∈Rn為滯后的狀態(tài)向量;α為給定的時(shí)滯時(shí)間; u(t)∈Rm為系統(tǒng)未知控制向量;f∈Rn為給定的非線(xiàn)性系統(tǒng)函數(shù);φ為0時(shí)刻以前系統(tǒng)狀態(tài)函數(shù).假定函數(shù)f為連續(xù)可微函數(shù)，且φ為二次連續(xù)可微函數(shù).

假定系統(tǒng)(1)～(2)滿(mǎn)足以下約束:

式中:Tmin、Tmax分別為未知終端時(shí)間變化的最小值、最大值;bi、ci，i=1，…，m，分別為第i個(gè)未知控制變化的最小值和最大值;gl為第l個(gè)狀態(tài)約束條件;Φl為給定非線(xiàn)性函數(shù).則終端時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題可描述為:

問(wèn)題(P).給定系統(tǒng)(1)～(2)，尋找滿(mǎn)足約束(3)～(5)的最優(yōu)終端時(shí)間T和控制參數(shù)u使如下性能指標(biāo)最優(yōu):

式中:Φ0為給定非線(xiàn)性函數(shù)，且式(5)、(6)中Φl具有如下統(tǒng)一形式，其中第一項(xiàng)表示終值項(xiàng)，第二項(xiàng)為積分項(xiàng).

2 優(yōu)化控制問(wèn)題近似

01N－1Niki=1，…，m為第i個(gè)控制變量在第k個(gè)區(qū)間段的分段時(shí)間函數(shù)高度;χ為指示函數(shù)，當(dāng)t∈［τi－1，τi)時(shí)，

令σN=［σ1，…，σN］T，表示分段數(shù)為N時(shí)近似的分段函數(shù)高度矩陣，其中σk=［σ1k，…，σmk］T.

針對(duì)終端時(shí)間未知的問(wèn)題，令:

首先將控制參數(shù)u在時(shí)間域［0，T］上用僅在分段點(diǎn)處可能不連續(xù)的分段常數(shù)函數(shù)來(lái)近似，該分段常數(shù)函數(shù)的高度值僅在分段點(diǎn)處發(fā)生改變.假定時(shí)間域［0，T］被均勻劃分為N段，則有:

其中:θ＞0是未知的時(shí)間尺度參數(shù).顯然當(dāng)N為已知時(shí)，原未知的時(shí)間域［0，T］映射到了以s表示的新時(shí)間尺度上的固定時(shí)間域［0，N］上.則時(shí)間轉(zhuǎn)換后的控制變量為:

將式(9)～(10)代入原系統(tǒng)方程(1)～(2)中，有:

原系統(tǒng)約束條件(3)～(5)變?yōu)?

目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為:

則自由終端時(shí)間控制問(wèn)題(P)可近似為參數(shù)優(yōu)化控制問(wèn)題(P1).給定的系統(tǒng)(11)～(12)，尋找合適的分段數(shù)N，滿(mǎn)足約束(13)～(15)的最優(yōu)時(shí)間尺度參數(shù)θ和控制參數(shù)σN最小化目標(biāo)函數(shù)(16).

顯然分段數(shù)目N的選取會(huì)影響求解效率及控制結(jié)果，理論上當(dāng)N→+∞時(shí)問(wèn)題(P1)的最優(yōu)解將會(huì)收斂到原問(wèn)題(P)的最優(yōu)解［11］，然而實(shí)際計(jì)算過(guò)程中不可能使得N→+∞.一方面，分段數(shù)目N可以通過(guò)優(yōu)化方法來(lái)選取，考慮到分段數(shù)目N為整數(shù)，而時(shí)間及控制參數(shù)為正實(shí)數(shù)，若是一起進(jìn)行優(yōu)化，則優(yōu)化問(wèn)題將為一個(gè)混合整數(shù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃問(wèn)題，求解困難.此外，隨著N值增加，優(yōu)化問(wèn)題維數(shù)成倍增長(zhǎng)，實(shí)際過(guò)程中N往往不大.因此，在數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，采用分層優(yōu)化方法，外層優(yōu)化分段數(shù)N，當(dāng)N為已知時(shí)，內(nèi)層求解問(wèn)題(P1)的優(yōu)化變量σN*、θ*，轉(zhuǎn)外層優(yōu)化.重復(fù)上述過(guò)程直到目標(biāo)函數(shù)值的變化滿(mǎn)足精度為止.對(duì)每個(gè)給定分段數(shù)N，近似優(yōu)化控制問(wèn)題(P1)是一系列子空間上的參數(shù)優(yōu)化選擇問(wèn)題，可采用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法或啟發(fā)式算法求解.然而經(jīng)過(guò)參數(shù)化處理后，原問(wèn)題的未知積分時(shí)間隱含在了近似時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題的時(shí)滯非線(xiàn)性系統(tǒng)中，使得時(shí)滯變?yōu)榱宋粗?因此，目標(biāo)函數(shù)對(duì)未知參數(shù)的梯度信息不僅與目標(biāo)函數(shù)有關(guān)，還與時(shí)滯系統(tǒng)有關(guān)，很難直接采用導(dǎo)數(shù)法則求得.另一方面，粒子群算法具有簡(jiǎn)單、快速及全局收斂等特點(diǎn)，已成功應(yīng)用于許多高維約束優(yōu)化問(wèn)題的求解，針對(duì)維數(shù)災(zāi)難問(wèn)題本研究將采用具有啟發(fā)性的粒子群算法求解內(nèi)層優(yōu)化控制問(wèn)題.

3 近似問(wèn)題求解

3.1 全聯(lián)通粒子群算法

粒子群算法中將候選解叫做粒子，所有粒子的集合稱(chēng)作種群.粒子群算法中粒子通過(guò)對(duì)自身經(jīng)驗(yàn)和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)(種群經(jīng)驗(yàn))的學(xué)習(xí)不斷調(diào)整自己的位置和速度，從而更新種群直到找到最優(yōu)結(jié)果為止.考慮到基本粒子群算法中粒子對(duì)單一鄰域內(nèi)最優(yōu)粒子經(jīng)驗(yàn)過(guò)分看重而導(dǎo)致重要信息丟失、甚至早熟的缺點(diǎn)，文［12］提出全聯(lián)通粒子群算法(fully informed particle swarm optimization，F(xiàn)IPSO).該算法中粒子的速度和位置按下式進(jìn)行更新:

其中:p表示粒子群算法尋優(yōu)過(guò)程中的第p次迭代;q，q=1，…，M表示種群中粒子編號(hào)，M為種群大小; λ=0.729 8為自身學(xué)習(xí)因子;ψ=ψ1+…+ψβ為鄰域?qū)W習(xí)因子，β為粒子的鄰域粒子個(gè)數(shù);υp，q、Xp，q分別表示第p次迭代過(guò)程中第q個(gè)粒子的速度和位置，滿(mǎn)足邊界約束:

Pwq表示第q個(gè)粒子從鄰域中獲得的綜合信息其中:ωd∈［0，1］為權(quán)重系數(shù);Pd，q為第q個(gè)粒子鄰域中第d個(gè)粒子的個(gè)體歷史最優(yōu)位置

3.2 基于FIPSO的近似問(wèn)題求解

粒子群算法只能用來(lái)求解僅帶優(yōu)化變量邊界約束的約束優(yōu)化問(wèn)題，即只能處理邊界約束條件(14)，對(duì)于含有復(fù)雜等式約束或狀態(tài)約束的近似參數(shù)選擇問(wèn)題無(wú)法直接求解.為此，引入罰函數(shù)方法將狀態(tài)約束條件和其它約束條件轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)的懲罰項(xiàng)，從而使優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為FIPSO可以求解的形式.則問(wèn)題(P1)可近似為全聯(lián)通粒子群算法近似求解問(wèn)題(P2).給定的系統(tǒng)(11)～(12)，尋找合適的分段數(shù)N及滿(mǎn)足約束(13)～(14)的最優(yōu)時(shí)間尺度參數(shù)θ和控制參數(shù)σN最小化如下目標(biāo)函數(shù):

式中:ρl，l=1，…，r為給定的較大值正數(shù)，表示對(duì)違反第r個(gè)約束的優(yōu)化變量的懲罰.

對(duì)于給定的N，基于FIPSO的近似問(wèn)題求解，按如下步驟進(jìn)行:

步驟1.給定粒子群算法參數(shù):種群大小M、學(xué)習(xí)因子、權(quán)重因子、粒子鄰域、終止條件.

步驟2.初始化滿(mǎn)足式(13)～(14)種群PM、各個(gè)粒子速度和鄰域;令個(gè)體粒子歷史最優(yōu)位置矩陣等于初始種群PM.對(duì)種群中的每個(gè)粒子執(zhí)行步驟3.

步驟3.從s=0到s=N求解系統(tǒng)方程(11)～(12)獲得狀態(tài)向量x槇;代入公式(19)中求目標(biāo)函數(shù)值.

步驟4.與歷史最優(yōu)解相比更新個(gè)體粒子的歷史最優(yōu)位置和種群最優(yōu)位置.若種群最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值滿(mǎn)足要求或者迭代次數(shù)達(dá)到則停止優(yōu)化轉(zhuǎn)步驟6，否則轉(zhuǎn)步驟5.

步驟5.按式(17)更新粒子速度和位置獲得新的種群，當(dāng)粒子速度或位置超過(guò)約束(18)時(shí)取其邊界值.按步驟3求對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值;轉(zhuǎn)步驟4.

步驟6.保存得到的最優(yōu)解為σN*、θ*，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為J(N，σN*，θ*)、θ*，最優(yōu)解X*;增加分段數(shù)為N/.若分段數(shù)為N與N/所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值變化量小于精度要求則停止計(jì)算，否則轉(zhuǎn)步驟2.

4 數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

其中:x為生物(魚(yú)類(lèi))總質(zhì)量，kt;u為開(kāi)采或捕撈力度，kt.漁業(yè)資源再生優(yōu)化控制問(wèn)題就是要在維持或超過(guò)當(dāng)前資源規(guī)模的前提下，避免過(guò)度捕撈，在最短的時(shí)間內(nèi)控制捕撈力度使得效益最大化.即在滿(mǎn)足如下資源約束條件:x(t)≥2，u(t)≥0，0.6≤T≤20(t∈［0，T］)的基礎(chǔ)上，最小化代價(jià)方程［13］為:

考慮如下漁業(yè)資源再生變化模型［13－14］:

式(22)中第一項(xiàng)為終端時(shí)間相關(guān)目標(biāo)函數(shù)，第二項(xiàng)為效益相關(guān)函數(shù)［14］.

采用第3節(jié)的方法近似處理后的優(yōu)化控制問(wèn)題可描述為問(wèn)題(P3).給定系統(tǒng):

式中:ρ為懲罰系數(shù).

采用Matlab編制求解程序，懲罰系數(shù)ρ=105.FIPSO參數(shù)選擇為:種群為30，迭代次數(shù)2 000次，鄰域中粒子數(shù)為6個(gè)，權(quán)重為1/6.當(dāng)分段數(shù)N分別取2、4、5、8、9、10時(shí)，得到的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)分別為－11.158、－17.491、－25.679、－25.976、－26.160、－26.160.從該結(jié)果可看出，隨著分段數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)值減少明顯，當(dāng)N≥9時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值變化小于0.001，達(dá)到預(yù)設(shè)精度要求，因此停止優(yōu)化.N=9時(shí)，對(duì)應(yīng)的最優(yōu)時(shí)間為T(mén)=12.10，目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值為J=－26.16，狀態(tài)變量和控制向量如圖1和圖2所示.與文［13］結(jié)果T=12.24，J=－26.146相比，雖然采用參數(shù)化方法獲得的目標(biāo)函數(shù)與文［13］的結(jié)果差不多，但最優(yōu)控制時(shí)間更短.此外，從圖1和圖2中可看出控制參數(shù)的變化幅值不大，隨著時(shí)間的增長(zhǎng)系統(tǒng)有趨于穩(wěn)定的趨勢(shì).

5 結(jié)語(yǔ)

研究一類(lèi)時(shí)變時(shí)滯系統(tǒng)終端時(shí)間優(yōu)化問(wèn)題，即針對(duì)給定時(shí)滯系統(tǒng)尋找合適的終端時(shí)間和控制向量使目標(biāo)函數(shù)最小.針對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)時(shí)間最優(yōu)問(wèn)題難直接求解的問(wèn)題，提出基于控制參數(shù)化方法和全連通粒子群算法的數(shù)值近似求解方法，并用資源可再生優(yōu)化控制過(guò)程的時(shí)間優(yōu)化控制問(wèn)題驗(yàn)證了所提方法的有效性.

［1］王龍耀，王嵐.頭孢菌素C過(guò)濾過(guò)程中總過(guò)濾時(shí)間的優(yōu)化與控制［J］.化工學(xué)報(bào)，2013，64(9):3 256－3 261.

［2］劉澤明，張青斌，豐志偉，等.柔性空間結(jié)構(gòu)時(shí)間－燃料多目標(biāo)優(yōu)化控制研究［J］.宇航學(xué)報(bào)，2010，31(3):724－728.

［3］程國(guó)卿，胡金高.限速伺服系統(tǒng)的近似時(shí)間最優(yōu)控制方案［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015(1):180－186.

［4］YEBI A，AYALEW B.Optimal layering time control for stepped－concurrent radiative curing process［J］.Journal of Manufacturing Science and Engineering，2015，137(1):011020(1－10).

［5］雷陽(yáng)，李樹(shù)榮，張強(qiáng)，等.基于非均勻參數(shù)化的自由終端時(shí)間最優(yōu)控制問(wèn)題求解［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2012，32(3): 277－287.

［6］李國(guó)棟，劉興高.一種求解最優(yōu)控制問(wèn)題的變時(shí)間節(jié)點(diǎn)控制向量參數(shù)化方法［J］.化工學(xué)報(bào)，2015，66(2):161－167.

［7］LI R，TEO K L，WONG K H，et al.Control parameterization enhancing transform for optimal control of switched systems［J］.Mathematical and Computer Modelling，2006，43(11/12):1 393－1 403.

［8］CHAI Q，LOXTON R，TEO K L，et al.A max－min control problem arising in gradient elution chromatography［J］.Industrial and Engineering Chemistry Research，2012，51(17):6 137－6 144.

［9］郭尚生，楊榮軍，王良明.非均勻參數(shù)化方法在彈道優(yōu)化中的應(yīng)用［J］.彈道學(xué)報(bào)，2013，25(1):37－41.

［10］張兵，杜文莉，顏學(xué)峰，等.時(shí)間最短控制問(wèn)題求解的分級(jí)優(yōu)化策略［J］.華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，33 (1):100－103.

［11］TEO K L，GOH C J，WONG K H.A unified computational approach to optimal control problems［M］.Essex:Longman Scientific and Technical Publisher，1991:471－486.

［12］MENDES R，KENNEDY J，NEVES J.The fully informed particle swarm:simpler，maybe better［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，2004，8(3):204－210.

［13］BOCCIA A，F(xiàn)ALUGI P，MAURER H，et al.Free time optimal control problems with time delays［C］//Proceedings of the 52nd IEEE Conference on Decision and Control.Firenze:IEEE Publisher，2013:520－525.

［14］GOLLMANN L，KEM D，MAURER H.Optimal control problems with delays in state and control variables subject to mixed control－state constraints［J］.Optimal Control Applications＆Methods，2009，30(30):341－365.

(責(zé)任編輯:沈蕓)

Final time optimal control for time delay systems using control vector parameterization

CHAI Qinqin1，2，LIN Shuangjie1，LIN Qiongbin1
(1.College of Electrical Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China; 2.Research Center for Advanced Process Control，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou，F(xiàn)ujian 350116，China)

A class of final time optimal control problem for time delay systems is considered.A numerical solving method base on control vector parameterization is proposed.In this method，firstly，the control variables are approximated by piecewise constant functions.Then time scaling transformation is used to map the unknown final time and control switching times to fixed time points in a new time horizon.For this，the original final time optimal control problem on an unknown time interval is approximated by a series of nonlinear programming problems on a fix time interval.Finally，a fully informed particle swarm optimization method is then used to solve the approximated problem.Numerical results on a renewable resource optimal control problem demonstrate the effectiveness of the proposed method.

time delay system;final time optimal;control vector parameterization

TP13

A

10.7631/issn.1000－2243.2016.06.0779

1000－2243(2016)06－0779－05

2015－10－26

柴琴琴(1985－)，講師，主要從事復(fù)雜過(guò)程建模、優(yōu)化控制技術(shù)研究，qq.chai@fzu.edu.cn

福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016J05154);福建省科技重大基金資助項(xiàng)目(2013Y4003);福州大學(xué)人才基金資助項(xiàng)目(XRC－1353)