搖楊剛

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是發(fā)展智力，全面培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)課程應(yīng)該注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一。

數(shù)學(xué)是思維的體現(xiàn)，解決問題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的，因而如何通過解題活動來培養(yǎng)學(xué)生良好的思維能力，應(yīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問題。但過多過密盲目的解題，不僅不會促進(jìn)思維能力的發(fā)展、技能的形成，反而易使學(xué)生疲勞，興趣降低，窒息學(xué)生的智慧，只有“聞一以知十”題解，才能激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)他們思維品質(zhì)的發(fā)展，而一題多解無疑是激發(fā)學(xué)生興趣，開拓思路，培養(yǎng)思維品質(zhì)和應(yīng)變能力的一種十分有效的方法。下面就本人在教學(xué)中的體會談?wù)劇耙活}多解”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

在初三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，我們常常采用一題多解來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新能力，構(gòu)建知識的網(wǎng)絡(luò)，整合知識。

建構(gòu)主義認(rèn)為，知識是學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的建構(gòu)。每個人的知識基礎(chǔ)是不一樣的，建構(gòu)的方法可能就不一樣，從而為一題多解提供了可能性。

初三的學(xué)生經(jīng)過三年的學(xué)習(xí)，初中階段的數(shù)學(xué)內(nèi)容已基本掌握了，知識內(nèi)容豐富，也為一題多解提供了可能性。

在復(fù)習(xí)相似三角形一節(jié)中，有這樣一道題：如圖，有一塊直角三角形的鐵皮余料，它的直角邊BC為4cm，AC為3cm，若利用余料中現(xiàn)成的直角，從中裁出一個面積盡可能大的正方形來，則這個正方形的邊長為多少？

由于教師在上課時已復(fù)習(xí)過相似三角形的知識，學(xué)生受思維定式的影響，多數(shù)采用相似三角形來解。即可證：△BEF∽△FDA，得，設(shè)正方形邊長為x，則有BE=4-x，AD=3-x，即，解之得x=。

認(rèn)知心理學(xué)家將問題解決過程看作是對問題空間（problem space）的搜索過程。問題空間是問題解決者對一個問題所達(dá)到的全部認(rèn)識狀態(tài)。人在解題過程中，要利用各種算子改變問題的起始狀態(tài)，經(jīng)過各種中間狀態(tài)，逐步達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)，從而解決問題。問題解決的本質(zhì)是對問題空間的搜索，以找到一條從問題的起始狀態(tài)達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)的通路。其認(rèn)知過程分別為：問題表征、模式識別、解題遷移、解題監(jiān)控。問題表征指形成問題空間，包括明確問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)及允許的操作。模式識別是指當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)問題之后，能將該問題歸類，使得與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某種數(shù)學(xué)模式相匹配的過程。先前的解題學(xué)習(xí)對后繼的解題學(xué)習(xí)的影響，即為解題遷移。解題監(jiān)控指解題者為了達(dá)到解題目標(biāo)，在解題過程中對解題活動作為意識對象，對其進(jìn)行積極主動的計(jì)劃、監(jiān)視、調(diào)節(jié)和監(jiān)控的過程。學(xué)生的認(rèn)知不同，模式識別也就可能不同。

由于學(xué)生的個人差異性，注意的選擇性，有的學(xué)生注意到題目中的平行線，將其識別為利用平行線的性質(zhì)，進(jìn)行解題遷移。于是有第二種方法：注意到整個三角形被分為三個規(guī)則的圖形，學(xué)生可能將其識別為面積的不變性，將其遷移到利用面積來解決。S△ADF+S？荀DCEF+S△BEF=S△ABC

注意到直角，有的學(xué)生會識別為直角坐標(biāo)系，從而建立如圖所示坐標(biāo)系：

AB的直線方程為：y=x+4

CF的直線方程為：y=-x

可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)為所以正方形的邊長為。

同樣是注意到直角，也有的學(xué)生識別為三角函數(shù)，可采用：在Rt△BEF中和Rt△BCA中，

tanB=即：得x=。

從以上可以看出，由于學(xué)生問題表征、模式識別的不同，解題遷移的方向不一樣，形成了多種不同的思路。最后能否成功解決問題，還需要個人進(jìn)行解題監(jiān)控。

數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)，“數(shù)學(xué)的命題、概念和理論并不是互不相關(guān)的，而是表現(xiàn)出了重要的相互聯(lián)系，或者說，即是構(gòu)成了整體性的“概念網(wǎng)絡(luò)”。正是這樣一種相互聯(lián)系，使我們條條道路通羅馬，同時激活了多種概念，這正是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)所需要達(dá)到的效果。