王維國(guó)，張博翔

(東北財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧大連　116025)

算數(shù)亞式期權(quán)價(jià)格敏感性參數(shù)估計(jì)方法研究

王維國(guó)，張博翔

(東北財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，遼寧大連116025)

摘要：結(jié)合幾何亞式期權(quán)敏感性參數(shù)的估計(jì)，引入控制變量，推導(dǎo)出算數(shù)亞式期權(quán)價(jià)格敏感性參數(shù)估計(jì)方法，在此基礎(chǔ)上，對(duì)蒙特卡羅模擬的控制變量法和傳統(tǒng)的CRN法進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果發(fā)現(xiàn)控制變量法不但改進(jìn)了估計(jì)精度及模擬效率，而且能更好地進(jìn)行誤差控制。

關(guān)鍵詞:亞式期權(quán)；敏感性參數(shù)；控制變量

一、引言

亞式期權(quán)(Asian option)是一種重要的奇異期權(quán)(exotic option)，與一般歐式期權(quán)不同，亞式期權(quán)的到期收益取決于某一段時(shí)間的平均價(jià)格(幾何平均價(jià)格或算術(shù)平均價(jià)格)，而非標(biāo)的資產(chǎn)到期日的價(jià)格。與歐式期權(quán)類似，影響亞式期權(quán)價(jià)格的主要因素包括標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、到期時(shí)間等。亞氏期權(quán)價(jià)格的敏感性參數(shù)(Greeks)是指當(dāng)其中某一因素發(fā)生變化時(shí)，引起亞氏期權(quán)價(jià)格變化的情況(大小和方向)。敏感性參數(shù)是金融機(jī)構(gòu)和投資者利用期權(quán)進(jìn)行投資管理、風(fēng)險(xiǎn)控制的重要參考指標(biāo)，因此采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄌ岣邅喪掀跈?quán)價(jià)格的敏感性參數(shù)估計(jì)精度具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

亞式期權(quán)可分為幾何平均亞式期權(quán)與算術(shù)平均亞式期權(quán)兩類，由于服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的幾何平均值依然服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，因此在Black-Scholes模型假設(shè)下幾何亞式期權(quán)的敏感性參數(shù)可以通過(guò)類似歐式期權(quán)定價(jià)的方法獲得解析解。然而，市場(chǎng)上算術(shù)平均亞式期權(quán)較幾何平均亞式期權(quán)更為常見，但是由于無(wú)法獲得價(jià)格算術(shù)平均值的分布函數(shù)，算術(shù)亞式期權(quán)的價(jià)格敏感性參數(shù)只能通過(guò)各類數(shù)值方法進(jìn)行近似估計(jì)。本文將利用幾何亞式期權(quán)的敏感性參數(shù)的解析解，構(gòu)建控制變量，探尋算術(shù)亞式期權(quán)敏感性參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)方法。

二、文獻(xiàn)評(píng)述

Monte Carlo模擬是亞式期權(quán)敏感度分析的常用方法[1]，但如果將傳統(tǒng)的Monte Carlo模擬直接應(yīng)用于亞式期權(quán)敏感度分析，尤其是算術(shù)平均亞式期權(quán)，會(huì)存在兩個(gè)重要的缺陷：首先，Monte Carlo模擬給出的估計(jì)值不能保證是無(wú)偏的；其次，運(yùn)用Monte Carlo方法進(jìn)行反復(fù)模擬，運(yùn)算量巨大。鑒于此，國(guó)外研究者提出了以無(wú)窮小擾動(dòng)分析法、似然比估計(jì)法[2]以及Malliavin積分法[3]等提高M(jìn)onte Carlo模擬運(yùn)算效率及估計(jì)精度的方法。

算術(shù)亞式期權(quán)價(jià)格敏感度的估計(jì)難點(diǎn)主要體現(xiàn)在無(wú)法找到對(duì)數(shù)正態(tài)分布樣本算術(shù)平均的分布函數(shù)解析表達(dá)式。如果獲得了這一分布函數(shù)的解析表達(dá)式或者近似表達(dá)式，就可以像分析幾何平均亞式期權(quán)一樣對(duì)算術(shù)平均亞式期權(quán)進(jìn)行敏感度分析。針對(duì)這一問(wèn)題，很多算術(shù)平均分布函數(shù)的近似估計(jì)被提出。Turnbull等(1991)[4]以及Levy(1992)[5]先后用艾吉沃斯序列(Edgeworth series)的擴(kuò)展形式去擬合一個(gè)對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)分布的概率密度函數(shù)。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：這種方法有其適用條件和缺陷，即當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)波動(dòng)率較低、期權(quán)到期時(shí)間較短時(shí)，敏感性參數(shù)估計(jì)結(jié)果有很好的表現(xiàn)，且利用此方法無(wú)法度量出估計(jì)值誤差。為了解決對(duì)算術(shù)平均亞式期權(quán)敏感度估計(jì)誤差的識(shí)別及控制問(wèn)題，一些學(xué)者開始探索敏感度估計(jì)值的上界及下界，如Curran(1994)[6]、Rogers等(1995)[7]、Kaas等(2000)[8]、Dhaene等(2002)[9]。與此同時(shí)，部分學(xué)者通過(guò)尋找算術(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格顯式表達(dá)式或者用一些函數(shù)替代來(lái)對(duì)亞式期權(quán)的敏感度進(jìn)行分析。其中，貢獻(xiàn)最大的當(dāng)屬Yor(1992)[10]利用Hartman-Watson理論將算術(shù)亞式期權(quán)價(jià)格采用三重積分形式表達(dá)。這種方法可通過(guò)拉普拉斯變換將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)值形式，但是與艾吉沃斯序列方法相反，該方法在波動(dòng)率與到期時(shí)間數(shù)值較小的情形下，數(shù)值解表現(xiàn)得十分不穩(wěn)定。此后，Geman等(1995)[11]將快速傅里葉變換技術(shù)(fast Fourier inversion technique)用于亞式期權(quán)的敏感度分析之中。Abate等(1995)[12]分別利用歐拉方程和Post-Widder定理分析亞式期權(quán)的敏感度，F(xiàn)u等(1999)[13]等人曾對(duì)類似的方法做過(guò)總結(jié)。Ju(2002)[14]對(duì)亞式期權(quán)價(jià)格的波動(dòng)率進(jìn)行泰勒展開(Taylor expansion)，從而對(duì)亞式期權(quán)的敏感度進(jìn)行估計(jì)，這種方法很容易地移植到其他奇異期權(quán)敏感度相關(guān)問(wèn)題研究中。Dufresne(2000)[15]與Linetsky(2004)[16]分別利用了Laguerre序列展式對(duì)算術(shù)平均亞式期權(quán)的敏感度等問(wèn)題展開研究。除此之外，Zhang(2001,2003)[17-18]、D’Halluin等(2005)[19]的二叉樹方法也是用于分析亞式期權(quán)敏感度的重要方法。Boyle等(2008)[20]在關(guān)于亞式期權(quán)敏感度分析中總結(jié)了對(duì)亞式期權(quán)敏感度估計(jì)的方法，并指出盡管控制變量方法在對(duì)亞式期權(quán)價(jià)格的估計(jì)中發(fā)揮了很好的作用，但是并不能改進(jìn)對(duì)亞式期權(quán)敏感度的估計(jì)。

目前，國(guó)內(nèi)對(duì)算術(shù)平均亞式期權(quán)敏感度的相關(guān)研究幾乎是空白。劉海媛(2006)[21]推導(dǎo)了幾何亞式期權(quán)的敏感度的計(jì)算公式。董成(2011)[22]采用擬蒙特卡羅(QMC)方法和蒙特卡羅(MC)方法，結(jié)合各種生成路徑，對(duì)比分析了亞式期權(quán)敏感度模擬結(jié)果。

Kemna等(1990)[23]在對(duì)算術(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格的估計(jì)中曾使用了控制變量方法，將幾何平均亞式期權(quán)價(jià)格的解析解作為控制變量，從而提高了算術(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格Monte Carlo模擬的效率和精度。借鑒這一思路，本文將利用幾何平均亞式期權(quán)敏感度的Delta解析表達(dá)式，試圖作為控制變量來(lái)提高算術(shù)平均亞式期權(quán)敏感度的Monte Carlo估計(jì)精度及模擬效率。

三、敏感性參數(shù)估計(jì)方法

(一)控制變量的構(gòu)建

敏感性參數(shù)具體包括Delta、Vega、Rho等，分別代表期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率的偏導(dǎo)數(shù)。本文將重點(diǎn)討論亞式期權(quán)Delta的估計(jì)方法，對(duì)于其他敏感性參數(shù)可以通過(guò)類似方法進(jìn)行討論。在經(jīng)典Black-Scholes模型假定背景下，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S(t)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其價(jià)格與時(shí)間滿足如下關(guān)系：

其中：r為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，σ代表資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率，Wt是維納過(guò)程。對(duì)于普通的歐式看漲期權(quán)或看跌期權(quán)，可以利用Black-Scholes公式給出期權(quán)價(jià)格的解析解。而對(duì)于算數(shù)平均亞式期權(quán)，期權(quán)價(jià)格以及相應(yīng)的價(jià)格敏感度的解析解是不存在的，可以利用幾何平均亞式期權(quán)價(jià)格敏感度的解析解來(lái)幫助優(yōu)化算數(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格敏感度的估計(jì)。下面給出幾何平均亞式期權(quán)價(jià)格對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格敏感度Delta(簡(jiǎn)記為Δ)的解析表達(dá)式，以Δ為例討論如何利用控制變量法對(duì)期權(quán)敏感度估計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。

對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量X，當(dāng)需要估計(jì)其數(shù)學(xué)期望μX=E(X)時(shí)，如果存在另外一個(gè)期望值已知的隨機(jī)變量Y，便可以構(gòu)建估計(jì)量：

其中：

因?yàn)?/p>

對(duì)式(2)兩邊取方差有

對(duì)式(5)計(jì)算關(guān)于β的導(dǎo)數(shù)可得

其中:

利用上文中給出的關(guān)于幾何平均亞式期權(quán)價(jià)格的解析表達(dá)式，可以根據(jù)鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)期權(quán)價(jià)格求偏導(dǎo)數(shù),得到式(9)：

由式(9)可得幾何平均亞式期權(quán)敏感性參數(shù)Delta解析表達(dá)式為

并以此作為控制變量。

因?yàn)樵陲L(fēng)險(xiǎn)中性的概率測(cè)度下，有

由這一隨機(jī)微分方程來(lái)刻畫標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)，它的解便是通常所說(shuō)的幾何布朗運(yùn)動(dòng)

幾何平均亞式期權(quán)及算術(shù)平均亞式期權(quán)的收益分別為有

(二)Monte Carlo模擬的理論過(guò)程

根據(jù)Δ的定義，需要討論當(dāng)資產(chǎn)價(jià)格初值發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的期權(quán)價(jià)格所發(fā)生的變化，并求出二者的比值。

第二步：近似算數(shù)平均亞式期權(quán)與幾何平均亞式期權(quán)的到期收益。

首先利用黎曼對(duì)期權(quán)收益中的積分進(jìn)行數(shù)值近似：

利用Monte Carlo模擬n次資產(chǎn)價(jià)格變化的軌跡，從而生成n個(gè)期權(quán)到期收益。對(duì)于算術(shù)平均亞式期權(quán)，其收益表示為

也可以模擬出n個(gè)幾何平均亞式期權(quán)的到期收益：

第三步：有限差分逼近,令CA(S)為在Black-Scholes模型下的算數(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格，則有

類似的，再給出幾何平均亞式期權(quán)價(jià)格的樣本估計(jì)量：

第四步：根據(jù)前面推導(dǎo)可以獲得算數(shù)亞式期權(quán)價(jià)格敏感性參數(shù)估計(jì)：

四、Monte Carlo模擬實(shí)驗(yàn)

Monte Carlo模擬參數(shù)的選擇：標(biāo)的資產(chǎn)初始價(jià)格S=60；波動(dòng)率=0.3;樣本大小n=10 000;步數(shù)m=500。即將算數(shù)平均亞式期權(quán)到期時(shí)間分為500等分，利用幾何布朗運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)進(jìn)行模擬10 000次，分別比較不同利率r、執(zhí)行價(jià)格K以及到期時(shí)間T情況下利用控制變量方法與普通的共同隨機(jī)數(shù)方法(CRN)進(jìn)行模擬的效果。標(biāo)的資產(chǎn)的波動(dòng)率假設(shè)為0.3，初始價(jià)格為60，初始擾動(dòng)為0.1，即探討當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格為60時(shí)，價(jià)格發(fā)生0.1規(guī)模的波動(dòng)時(shí)，期權(quán)價(jià)格發(fā)生的變化，如表1所示。

由表1可知：對(duì)于算術(shù)平均亞式期權(quán)敏感度估計(jì)結(jié)果，控制變量法的Monte Carlo模擬效率高于傳統(tǒng)CRN方法，其運(yùn)算效率顯著提高；在估計(jì)精度方面，對(duì)應(yīng)不同的利率、執(zhí)行價(jià)格及到期時(shí)間，控制變量法得到的估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)差明顯小于CRN方法，即控制變量的敏感度估計(jì)精度更高。

五、結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)算數(shù)亞式期權(quán)價(jià)格的敏感度估計(jì)方法進(jìn)行了研究，根據(jù)幾何平均亞式期權(quán)的敏感性參數(shù)解析解，設(shè)計(jì)控制變量，推導(dǎo)出算術(shù)平均亞式期權(quán)價(jià)格敏感度的無(wú)偏估計(jì)量，以此進(jìn)行Monte Carlo模擬實(shí)驗(yàn)，得出以下結(jié)論：在運(yùn)算效率方面，通過(guò)控制變量方法改進(jìn)的Monte Carlo模擬運(yùn)算速度顯著優(yōu)于CRN方法。10 000次模擬利用普通CRN方法運(yùn)行時(shí)間約為5 s，而利用控制變量方法運(yùn)行時(shí)間可以控制在1 s以內(nèi)。在估計(jì)精度方面，控制變量方法同樣具有優(yōu)勢(shì)，對(duì)應(yīng)不同的利率、執(zhí)行價(jià)格及到期時(shí)間，利用控制變量法得到的估計(jì)值，標(biāo)準(zhǔn)差均顯著小于普通CRN方法。因此，控制變量法在對(duì)算術(shù)亞式期權(quán)價(jià)格的敏感度估計(jì)、誤差控制方面具有比較優(yōu)勢(shì)。

表1關(guān)于控制變量及CRN方法Monte Carlo模擬的結(jié)果

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收稿日期：2016-03-15

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71171035，71471030)；國(guó)家青年社會(huì)科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13YJC790185)

作者簡(jiǎn)介：王維國(guó)(1963-),男，博士，教授，博士生導(dǎo)師;E-mail：695795650@qq.com

文章編號(hào)：1671-7031(2016)03-0019-06

中圖分類號(hào):F224.0

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A