杜秀華　劉雙新　田　密　韓道權(quán)

東北石油大學(xué)，大慶，163318

外擺線(xiàn)型單螺桿泵螺桿-襯套副的運(yùn)動(dòng)特性分析

杜秀華劉雙新田密韓道權(quán)

東北石油大學(xué)，大慶，163318

摘要：通過(guò)分析外擺線(xiàn)型單螺桿泵螺桿-襯套副的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)螺桿-襯套副的固定接觸點(diǎn)出現(xiàn)在襯套骨線(xiàn)上，襯套可采用金屬材料，螺桿可在金屬基體表面黏接橡膠外套；用瞬心法推導(dǎo)出齒凸接觸點(diǎn)和齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度的計(jì)算公式，并用MATLAB生成速度曲線(xiàn)，用SolidWorks建立螺桿泵實(shí)體模型，用SolidWorks Motion進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，對(duì)比速度仿真值與速度公式曲線(xiàn)可知，擬合度很高，最大偏差率僅為-0.101%；將速度曲線(xiàn)與嚙合狀態(tài)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，發(fā)現(xiàn)齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度的最大值發(fā)生在螺桿齒凸中點(diǎn)與襯套齒凹中點(diǎn)相接觸處，齒凸接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度最大值發(fā)生在螺桿齒凸中點(diǎn)與襯套齒凸中點(diǎn)相接觸處。

關(guān)鍵詞：外擺線(xiàn)型單螺桿泵；齒凸接觸點(diǎn)；齒凹接觸點(diǎn)；相對(duì)滑動(dòng)速度

0引言

用于單螺桿泵線(xiàn)型設(shè)計(jì)的擺線(xiàn)主要有普通擺線(xiàn)、短幅內(nèi)擺線(xiàn)、短幅外擺線(xiàn)和內(nèi)外擺線(xiàn)四種[1]，目前采油用螺桿泵廣泛應(yīng)用的線(xiàn)型是內(nèi)擺線(xiàn)，螺桿由金屬材料制成，襯套采用橡膠材料[2]，由于襯套是易損件，在檢泵時(shí)需要將抽油桿和油管全部取出，工作量大，耗時(shí)長(zhǎng)，成本高。外擺線(xiàn)線(xiàn)型也可用于螺桿泵的設(shè)計(jì)，但對(duì)外擺線(xiàn)型螺桿泵的研究卻甚少。

采油螺桿泵是通過(guò)一對(duì)螺桿-襯套副的嚙合來(lái)實(shí)現(xiàn)液體舉升的，接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度的大小對(duì)螺桿泵的磨損和壽命有著直接的影響。文獻(xiàn)[3-4]利用運(yùn)動(dòng)仿真軟件對(duì)內(nèi)擺線(xiàn)型單螺桿泵運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真，采用取點(diǎn)擬合的方式得到型線(xiàn)上齒凸接觸點(diǎn)和齒凹接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度曲線(xiàn)；文獻(xiàn)[5-6]則利用數(shù)學(xué)分析的方法，給出了內(nèi)擺線(xiàn)型螺桿-襯套副間最大相對(duì)滑動(dòng)速度的計(jì)算方法。本文在以上文獻(xiàn)基礎(chǔ)上對(duì)外擺線(xiàn)型螺桿-襯套副進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，推導(dǎo)其型線(xiàn)上兩類(lèi)接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度的計(jì)算公式，該公式一方面可作為外擺線(xiàn)型單螺桿泵結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化時(shí)速度約束的數(shù)學(xué)模型，另一方面可結(jié)合MATLAB軟件生成速度曲線(xiàn)，進(jìn)一步探討型線(xiàn)上兩類(lèi)接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，為外擺線(xiàn)型螺桿泵的磨損和壽命分析提供理論依據(jù)。

1螺桿-襯套副模型的建立

短幅外擺線(xiàn)型單螺桿泵由螺桿和襯套兩部分組成，螺桿骨線(xiàn)方程為[7]

R(θ)=(nejθ-Kejnθ)R2

(1)

式中，n=N+1，N為螺桿頭數(shù)；K為幅長(zhǎng)系數(shù)，0

將螺桿骨線(xiàn)向內(nèi)側(cè)等距形成螺桿型線(xiàn)，其方程為

Rr(θ)=R(θ)+r(0)R2ejα

(2)

式中，r(0)為等距半徑系數(shù)；α為螺桿骨線(xiàn)向內(nèi)等距方向角。

襯套截面的骨線(xiàn)方程為[7]

(3)

式中，T為計(jì)算襯套骨線(xiàn)方程時(shí)產(chǎn)生的三角函數(shù)周期，T=0,1,…,N，其中，0對(duì)應(yīng)襯套骨線(xiàn)的第一個(gè)頭，1對(duì)應(yīng)第二個(gè)頭，以此類(lèi)推。

襯套型線(xiàn)方程比較復(fù)雜，由兩部分組成，如圖1所示(N=2)，第Ⅰ部分為襯套骨線(xiàn)的等距線(xiàn)，第Ⅱ部分為以尖點(diǎn)為圓心，以等距半徑為半徑的圓弧。且

(4)

(5)

圖1　襯套骨線(xiàn)及其等距線(xiàn)

將式(3)轉(zhuǎn)化到直角坐標(biāo)系中，有

(6)

φ=-(N-1)θ+2β+2πT

式中，φ為滾圓滾角。

根據(jù)上述型線(xiàn)方程(式(2)和式(4))取頭數(shù)N為2，幅長(zhǎng)系數(shù)K為0.7，襯套線(xiàn)型外廓直徑DK為89 mm，滾圓半徑R2為12.36 mm，等距半徑系數(shù)r(0)為0.8，在SolidWorks軟件中建立外擺線(xiàn)型單螺桿泵實(shí)體模型，如圖2所示。

圖2　外擺線(xiàn)型單螺桿泵實(shí)體模型

2螺桿-襯套副的運(yùn)動(dòng)分析

建立與襯套骨線(xiàn)相連的靜坐標(biāo)系x1-O1-y1和與螺桿骨線(xiàn)相連的動(dòng)坐標(biāo)系x2-O2-y2(x1、x2為實(shí)軸，y1、y2為虛軸)，如圖3所示，螺桿在襯套中做行星運(yùn)動(dòng)[8]，實(shí)際上是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的疊加，一是螺桿繞自身形心O2做自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)定方向?yàn)轫槙r(shí)針，另一個(gè)是螺桿形心O2繞襯套形心O1做公轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，方向則為逆時(shí)針，公轉(zhuǎn)角為

(7)

自轉(zhuǎn)角為

(8)

圖3　螺桿-襯套副骨線(xiàn)嚙合運(yùn)動(dòng)

上述運(yùn)動(dòng)可以等同于如下運(yùn)動(dòng)：即半徑為NKR2的動(dòng)瞬心圓攜帶螺桿骨線(xiàn)沿半徑為nKR2的定瞬心圓做純滾動(dòng)，P點(diǎn)為速度瞬心。

螺桿骨線(xiàn)在襯套骨線(xiàn)中做行星運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)形成兩類(lèi)接觸點(diǎn)，如圖3所示，螺桿骨線(xiàn)始終通過(guò)襯套骨線(xiàn)的尖點(diǎn)，如Q點(diǎn)，稱(chēng)之為固定接觸點(diǎn)，另一類(lèi)接觸點(diǎn)沿著襯套骨線(xiàn)邊界流動(dòng)，如E點(diǎn)，稱(chēng)之為流動(dòng)接觸點(diǎn)。

通過(guò)分析外擺線(xiàn)型單螺桿泵螺桿-襯套副的運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)其固定接觸點(diǎn)出現(xiàn)在襯套骨線(xiàn)上，與固定接觸點(diǎn)在螺桿骨線(xiàn)上的內(nèi)擺線(xiàn)型單螺桿泵相反。因此，外擺線(xiàn)型單螺桿泵的襯套可采用金屬材料，通過(guò)銑削完成，螺桿表面采用橡膠材料，利用模具在金屬螺桿表面澆注一層橡膠，使螺桿成為易損件。在檢泵時(shí)只需將抽油桿和螺桿取出，從而避免了取出油管的麻煩，這樣會(huì)大大減輕勞動(dòng)強(qiáng)度，縮短拆裝時(shí)間，降低檢泵成本，提高經(jīng)濟(jì)效益。

3齒凸接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度

螺桿、襯套骨線(xiàn)分別向內(nèi)側(cè)等距形成螺桿、襯套型線(xiàn)，其中固定接觸點(diǎn)(如Q點(diǎn))向內(nèi)等距形成一段圓弧，在該段圓弧上形成的接觸點(diǎn)稱(chēng)之為齒凸接觸點(diǎn)(如M點(diǎn))，如圖4所示。設(shè)螺桿自轉(zhuǎn)角速度為ω2，方向?yàn)轫槙r(shí)針，自轉(zhuǎn)角為φ2；公轉(zhuǎn)角速度為ω1，方向?yàn)槟鏁r(shí)針，公轉(zhuǎn)角為φ1。則齒凸接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度矢量：

vt=lPMω2

(9)

圖4　螺桿-襯套副型線(xiàn)嚙合運(yùn)動(dòng)

在靜坐標(biāo)系x1-O1-y1中，由向量的運(yùn)算法則可知

lPM=lO1Q+lQM-lO1P

(10)

Q點(diǎn)為襯套骨線(xiàn)上的固定接觸點(diǎn)，lO1Q在靜坐標(biāo)系x1-O1-y1中的表達(dá)式為[7]

(11)

由于螺桿和襯套為循環(huán)對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，每個(gè)頭上接觸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是相同的，只是有一個(gè)相位差的區(qū)別，故本文只考慮襯套骨線(xiàn)上的第一個(gè)固定接觸點(diǎn)(Q點(diǎn))，即T=0。

lQM為固定接觸點(diǎn)向內(nèi)等距長(zhǎng)度，螺桿型線(xiàn)在襯套型線(xiàn)中做嚙合運(yùn)動(dòng)時(shí)有自轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，需給lQM添加一個(gè)自轉(zhuǎn)角φ2，得

lQM=r(0)R2ejαe-jφ2

(12)

速度瞬心P在靜坐標(biāo)系x1-O1-y1中的位置:

lO1P=nKR2ejφ1

(13)

根據(jù)式(11)～式(13)，可將式(10)轉(zhuǎn)化為

(14)

將式(14)代入式(9)并化簡(jiǎn)得

(15)

φ2=ω2t

4齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度

襯套骨線(xiàn)上流動(dòng)接觸點(diǎn)(如E點(diǎn))向內(nèi)等距對(duì)應(yīng)到型線(xiàn)上(S點(diǎn))始終位于襯套齒凹處，因此稱(chēng)之為齒凹接觸點(diǎn)，如圖4所示，齒凹接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度矢量

va=lPSω2

(16)

在靜坐標(biāo)系x1-O1-y1中，由向量的運(yùn)算法則可知

lPS=lO1E+lES-lO1P

(17)

襯套骨線(xiàn)上流動(dòng)接觸點(diǎn)(E點(diǎn))在靜坐標(biāo)系x1-O1-y1中的軌跡方程為式(3)，故

(18)

lES為流動(dòng)接觸點(diǎn)向內(nèi)等距長(zhǎng)度，其表達(dá)式為

lES=r(0)R2ejαe-jφ2

(19)

根據(jù)式(13)、式(18)、式(19)可將式(17)轉(zhuǎn)化為

(20)

將式(20)代入式(16)并化簡(jiǎn)得

r(0)ejαe-jω2t-nKejNω2t}R2ω2

(21)

綜上，式(15)和式(21)分別為外擺線(xiàn)型單螺桿泵齒凸接觸點(diǎn)和齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度的計(jì)算公式。

5速度公式的驗(yàn)證與應(yīng)用

用SolidWorksMotion對(duì)圖2所示的實(shí)體模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真，螺桿自轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速取2r/min，公轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速取4r/min，根據(jù)φ函數(shù)找到指定時(shí)刻齒凸接觸點(diǎn)、齒凹接觸點(diǎn)在螺桿型線(xiàn)上的位置，然后選定該點(diǎn)并輸出該點(diǎn)速度隨時(shí)間變化的Excel表格，分別從表格中找到兩類(lèi)接觸點(diǎn)在對(duì)應(yīng)時(shí)間的仿真速度值。由于本文所建立的外擺線(xiàn)型單螺桿泵實(shí)體模型沒(méi)有簡(jiǎn)化近似的部分，仿真時(shí)給螺桿所賦予的運(yùn)動(dòng)為螺桿的真實(shí)運(yùn)動(dòng)，其誤差主要來(lái)源于MATLAB計(jì)算時(shí)選取的步長(zhǎng)大小，步長(zhǎng)越小，精度越高，因此速度仿真值可認(rèn)為是理論正確值。將本文推導(dǎo)出的齒凸接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度公式(式(15))和齒凹接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度公式(式(21))寫(xiě)入MATLAB軟件進(jìn)行計(jì)算，并分別輸出齒凸接觸點(diǎn)在螺桿型線(xiàn)上流動(dòng)一周和齒凹接觸點(diǎn)在襯套上流動(dòng)一周過(guò)程中兩類(lèi)接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度(并非流動(dòng)速度，而是相對(duì)滑動(dòng)速度)變化曲線(xiàn)，與仿真值進(jìn)行對(duì)比，如圖5和圖6所示，將圖6中第一個(gè)周期的圖像進(jìn)行放大，如圖7所示。

圖5　齒凸接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度

圖6　齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度

圖7　齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度放大圖

由圖5、圖6可以看出，齒凸接觸點(diǎn)與齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度的仿真值與公式計(jì)算值擬合度很高，最大偏差率為-0.101%。齒凸接觸點(diǎn)在螺桿上流過(guò)一周需要30s，齒凹接觸點(diǎn)在螺桿上流過(guò)一周只需10s(在襯套上流過(guò)一周需要15s)，齒凹接觸點(diǎn)不?！白汾s”和“超越”它前方的齒凸接觸點(diǎn)，從而使它前后方的腔室分別出現(xiàn)“減小”-“消失”和“產(chǎn)生”-“增大”的循環(huán)，這便是螺桿泵推移介質(zhì)的機(jī)理。

由圖6可以看出，當(dāng)t=0時(shí)，不存在齒凹接觸點(diǎn)。在圖7中作垂直于橫軸t軸的直線(xiàn)，該直線(xiàn)與速度圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)隨時(shí)間的推移不斷變化，即在襯套一頭內(nèi)齒凹接觸點(diǎn)的個(gè)數(shù)隨時(shí)間不斷變化，這與內(nèi)擺線(xiàn)型單螺桿泵一頭內(nèi)始終只有一個(gè)齒凹接觸點(diǎn)不同[9]。

(a)t=0 s　　　　(b)t=2.5 s(c)t=7.5 s圖8　螺桿與襯套不同時(shí)刻嚙合狀態(tài)

分別截取SolidWorksMotion中t=0，2.5，7.5s時(shí)螺桿與襯套的嚙合狀態(tài)圖(圖8)。當(dāng)t=2.5s時(shí)，齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度達(dá)到最大值，如圖6所示，為3.883mm/s，最大值發(fā)生在螺桿齒凸中點(diǎn)與襯套齒凹中點(diǎn)相接觸處，嚙合狀態(tài)如圖8b所示；當(dāng)t=7.5s時(shí)，齒凸接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度達(dá)到最大值，如圖5所示，為11.133mm/s，最大值發(fā)生在螺桿齒凸中點(diǎn)與襯套齒凸中點(diǎn)相接觸處，嚙合狀態(tài)如圖8c所示。

6結(jié)論

(1)短幅外擺線(xiàn)型單螺桿泵固定接觸點(diǎn)在襯套骨線(xiàn)上，因此襯套可采用金屬材料，螺桿表面采用橡膠材料，使螺桿成為易損件，這樣在檢泵時(shí)只需將抽油桿和螺桿取出，避免了取出油管的麻煩，這樣會(huì)大大減輕勞動(dòng)強(qiáng)度，縮短拆裝時(shí)間，降低檢泵成本，提高經(jīng)濟(jì)效益。

(2)采用瞬心法推導(dǎo)出短幅外擺線(xiàn)型單螺桿泵齒凸、齒凹接觸點(diǎn)處的相對(duì)滑動(dòng)速度公式，并驗(yàn)證了其正確性，為外擺線(xiàn)型單螺桿泵結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化提供了速度約束的數(shù)學(xué)模型，為磨損和壽命分析提供了理論依據(jù)。

(3)短幅外擺線(xiàn)型單螺桿泵齒凹接觸點(diǎn)的數(shù)目隨時(shí)間的推移不斷變化,其變化狀態(tài)主要受螺桿頭數(shù)和幅長(zhǎng)系數(shù)的影響。

(4)齒凹接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度的最大值發(fā)生在螺桿齒凸中點(diǎn)與襯套齒凹中點(diǎn)相接觸處，齒凸接觸點(diǎn)處相對(duì)滑動(dòng)速度最大值發(fā)生在螺桿齒凸中點(diǎn)與襯套齒凸中點(diǎn)相接觸處。

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(編輯王艷麗)

Motion Characteristic Analysis of Screw-bushing Pair for Epicycloid Type Progressive Cavity Pumps

Du XiuhuaLiu ShuangxinTian MiHan Daoquan

Northeast Petroleum University,Daqing,Heilongjiang,163318

Abstract：A fixed contact point was found on the bushing bone line by analyzing the relative movement of epicycloid type progressive cavity pump screw-bushing pair, so the bushing might be made of metal and the metal screw surface might be made of rubber. The calculation formula of relative sliding velocity on convex tooth and concave tooth was derived by using the method of instantaneous center, then using MATLAB the velocity curve was built and using SolidWorks the solid model of PCP was set-up. Using SolidWorks Motion the simulation was carried on and then comparing the simulation values and calculation curves, they were in good fitting. The maximum deviation rate is only minus 0.101%. The maximum relative sliding velocity value of concave tooth is found in the middle of screw convex tooth contacting with the middle of bushing concave tooth, the maximum value of convex tooth is found in the middle of screw convex tooth contacting with the middle of bushing convex tooth.

Key words:epicycloid type progressive cavity pump(PCP); convex tooth contact point; concave tooth contact point; relative sliding velocity

收稿日期：2015-08-03

基金項(xiàng)目：國(guó)家科技支撐計(jì)劃資助項(xiàng)目(2012BAH28F03)；黑龍江省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(12541098)

中圖分類(lèi)號(hào)：TK72

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2016.11.006

作者簡(jiǎn)介：杜秀華，女，1964年生。東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院教授、博士。主要研究方向?yàn)椴捎蜋C(jī)械的性能及失效分析。發(fā)表論文20余篇。劉雙新，男，1990年生。東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院碩士研究生。田密，女，1982年生。東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院講師、博士研究生。韓道權(quán)，男，1966年生。東北石油大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院副教授。