楊健輝

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讓學生經(jīng)歷和體會“試”的感覺
——除法試商起始教學的一點建議

楊健輝

時下許多教學資源中對整數(shù)除法的意義、除法豎式寫法及意義、除法豎式中商的寫法等有了很多的研究和文獻，然而對于試商，特別是對試商起步階段教學的相關(guān)研究還關(guān)注得不夠。很多時候，學生在筆算一位數(shù)除多位數(shù)、兩位數(shù)除多位數(shù)的時候用到了一些試商的方法和技巧，卻對為什么要試商，甚至什么是試商等問題都不清楚。顯然，這種情況會極大地影響學生繼續(xù)學習除法計算的效果，也自然引起了我們的關(guān)注和深思。

一、問題的提出

這是一個奇怪的現(xiàn)象：教師在教學多位數(shù)除法時會苦口婆心地告誡學生試商時要注意什么，而且學生也會很努力地按要求去做和解題，但過后仍然有不少教師反映學生的計算速度慢，且經(jīng)常出錯。好奇之下，我曾問過一部分學生“什么是試商”“為什么要試商”之類的問題，幾乎沒有幾個學生能夠回答。更可怕的是同樣的問題也曾問過許多一線數(shù)學教師，也沒有幾個人能將這些問題說明白、說透徹。那么究竟是什么原因?qū)е铝藢W生在計算時出現(xiàn)猶豫、茫然、速度緩慢等現(xiàn)象呢？我們不妨回過頭來看看學生接觸到“試商”這個知識點的前前后后。

1.試商教學內(nèi)容的梳理

試商是整數(shù)除法計算中公認的難點，也是計算教學的難點之一。人教版教材中關(guān)于整數(shù)除法的教學內(nèi)容是這樣安排的：從二年級下冊開始，分別有三個單元是講述除法教學的內(nèi)容：表內(nèi)除法（一）、表內(nèi)除法（二）、有余數(shù)的除法，其中表內(nèi)除法（一）、（二）包括除法的意義、用口訣求商等內(nèi)容；而在有余數(shù)的除法單元則包含了有余數(shù)除法的意義、性質(zhì)、除法豎式寫法以及教學試商（初次）等4個例題（另有2個例題是解決問題）。在三年級下冊則安排了教學除數(shù)是一位數(shù)的除法。四年級上冊安排了教學除數(shù)是兩位數(shù)的除法等（其中北師大版教材二年級部分與人教版相同），這幾個部分的內(nèi)容都是要用到試商的?！咀試@：單看二年級下冊一個學期內(nèi)容的安排中就有3個單元與除法相關(guān)，學生的學習負擔絕對過大。對此筆者有一建議：不妨將此處孤單的例題4（僅講試商）內(nèi)容移至三年級上冊教材中作為一個小專題，這樣既可減輕此處的過重負擔，也可避免三年級上學期幾乎沒除法的學習空白，此當另說，僅供參考】

從前述分析我們可以看出，學生第一次遇到試商是在二年級下學期學習表內(nèi)除法和有余數(shù)的除法時。前者是因為在表內(nèi)除法部分用乘法口訣求（找到）商本身就有“試”的過程與味道（嘗試找對應的口訣）。而在有余數(shù)的除法部分則要求提高：二年級下冊的教師用書在有余數(shù)的除法單元目標中，首次提出了讓學生“初步掌握試商的基本方法”的表述，為此新修訂的教材中增加了有關(guān)教學試商的例題4，并且這個例題還是首次離開具體情境直接用豎式計算。正是由于脫離了具體操作來求商，教師必然還是引導學生通過想乘法口訣來求商。但此處用到的試商方法與表內(nèi)除法部分出現(xiàn)的口算直接可以求商相比，學生出現(xiàn)了一個具體的困難：此時根據(jù)被除數(shù)找不到與之直接對應的乘法口訣，學生無法馬上或直接找到商。

2.有關(guān)試商的算理分析

除法在四則運算中別具一格，它不像加、減、乘法那樣，只按照一個簡單的法則就能夠求出一個準確的結(jié)果。特別是在除法豎式計算時，對于商中的每個數(shù)字都要經(jīng)過試探才能確定。這是因為在計算除法時，根據(jù)乘、除法之間的相逆關(guān)系，還是要回到借助乘法口訣來求商。在表內(nèi)除法單元中，所遇到的除法算式中的被除數(shù)可以在乘法口訣中找到對應的數(shù)（口訣中的計算結(jié)果），所以學生此時的試商過程基本上就是通過背記口訣而寫出商。而在學習有余數(shù)除法的豎式計算過程中，學生通常會碰到整數(shù)除法學習的兩個難點。第一個難點是，在用除法豎式進行計算時，所涉及的運算包含了加、減、乘三種運算，學生需要按照一定的順序、規(guī)則和格式計算并書寫。這個過程對二年級的學生來說不僅比較復雜，還有一定的難度，需要一段時間的模仿和練習才能掌握與消化（例3就是講豎式的寫法和意義）。第二個難點是，由于要利用乘法口訣來找商，學生面對豎式里的被除數(shù)一時難以想到究竟要用哪句乘法口訣來找商，因此需要經(jīng)歷一個嘗試的過程：第一步是想，看除數(shù)是幾，就想與幾有關(guān)的口訣；第二步是試，在這些口訣中試找出滿足一個數(shù)與除數(shù)相乘能最接近被除數(shù)的那句乘法口訣；第三步是比，不僅要比較找到的那個數(shù)跟除數(shù)的乘積與被除數(shù)的大小，還要滿足這個乘積不能超過被除數(shù)、且兩者相減余下的數(shù)要比除數(shù)小，在此基礎上確定具體的商（不完全商，以下簡稱商）。以43÷7為例（例題4），由于在乘法口訣中找不到某一個整數(shù)乘7，能得到43，但是能夠找到一個數(shù)6與7的積（42）小于43，而（6+1）乘7的積（49）大于43，從43中減去6與7的積（42），還余1，即43=6×7+1。這里的6叫做不完全商（簡稱商），1是余數(shù)。這里尋找到6的思考過程就是所謂的試商過程。

由上述的分析可知，通常我們計算整數(shù)除法時，根據(jù)乘、除法之間的相逆關(guān)系以及除法性質(zhì)，最后還是要回到借助乘法口訣來求商，因此這個按一定的規(guī)則尋找和思考商的過程就是試商。這不僅是試商的由來，也是試商的基本思路與方法。

從以上的分析中我們可以發(fā)現(xiàn)，在進行試商的起始教學時，教師怎么樣給予學生一個足夠的時空、搭建一個嘗試平臺，讓學生明晰試商的由來和含義，初步體會試商的基本方法和要求是教學的重中之重。至于試商的各種方法、技巧等可在學生明白了試商的由來與意義的基礎上，逐漸加以積累和完善。

二、教學改進分析

1.教學定位

由于本節(jié)課的有余數(shù)除法計算不再借助具體的操作，而是讓學生利用除法豎式，直接想乘法口訣尋找商，所以學生的思考過程會遇到比較大的困難。其一，這個知識點有太多的概念、方法、規(guī)則和要求（包括上節(jié)課剛接觸到的豎式寫法、被除數(shù)與商和除數(shù)乘積的差、所得的商要使商和除數(shù)的乘積最接近被除數(shù)、余數(shù)不能大于除數(shù)等）。其二，尋求答案的過程有太多的思維步驟，要經(jīng)歷“想—試—比”的過程（如前述分析），顯然這對于學生來說太多了、太難了！但由于本課的試商內(nèi)容是今后學習一位數(shù)除多位數(shù)、兩位數(shù)除多位數(shù)筆算試商的重要基礎，也是除法學習中一個重要的節(jié)點，因此這部分的知識又必須讓學生學好。在目前教材沒有調(diào)整和另外安排的情況下，我們可秉承“一課一得，課課有得”的原則，根據(jù)教學實際，慎重思考，精心規(guī)劃：一方面是嚴格控制難度，不要過早、過高地講術(shù)語、趕進度來要求學生；另一方面要深入了解學情，用學生能夠接受的方式，給予較充裕的時空、提供嘗試的平臺、實施簡明的教學程序等，幫助學生感受試商的由來、基本方法及要求，做到開好頭、緩起步、慢推進，實現(xiàn)一課一得（本課重在讓學生明白試商的意義及最簡單的方法和要求）、課課有得（在接下去的教學中逐步學習和積累方法、技巧）的目的。

2.改進設想

我們認為“例題4：用豎式計算43÷7=”教學的關(guān)鍵是讓學生充分體驗試商的過程，并想方設法把學生的“想口訣作比較”，即試商的思維過程顯性化，以便在交流時幫助學生初步明白試商的由來、思路和方法，比較選優(yōu)，積累經(jīng)驗。

改進的設想如下：將例4的橫式與豎式都展示在學習單上（如下圖），在橫式下多提供幾個豎式的空白圖，并且告訴學生可以把自己的想法填寫在學習單上的豎式中，如果第一次找的商不合適，請不要擦，而是直接在第二個豎式上重新計算，直到找到合適的商為止。

這樣的設計主要是讓學生能有一個較充分的經(jīng)歷嘗試找商的過程，降低了試商的思維難度。同時所提供的含有多個豎式的學習單，也可以讓學生體驗逐次試商的優(yōu)化思想。

3.具體實踐（教學片段）

（1）引導方向

出示例4：43÷7。

師生對話：試試用乘法口訣來解決吧。根據(jù)以往的經(jīng)驗，你會想到用幾的乘法口訣？（學生交談）

（2）自主嘗試

給出若干豎式模版學習單，引導學生嘗試、體驗尋找商的過程，并思考：

①你用了哪句乘法口訣來找商？

②你怎么知道找到的商是合適的？

（3）小組交流

請在小組內(nèi)互相說一說你用了哪一句口訣，并說說自己是怎樣想的。

（4）研討方法

學生獨立嘗試找商后可以安排交流討論活動，其教學預設是：

預設一：若絕大部分學生首次就直接試商6，我們可先讓學生匯報商6的試商過程，再通過商討試商5和試商7的不合適理由，進一步體驗試商6的方法與過程。

預設二：若絕大部分學生經(jīng)過幾次試商仍感覺混亂或茫然，我們可以采用先借助學生作品進行比較，再選擇和確定結(jié)果的方式獲得認同。比如，通過探討試商3、5、6、7等過程的結(jié)果，逐步幫助學生體驗試商的由來、方向和方法。

其實無論是哪種預設，都可以給學生提供多次嘗試找商的機會，形成一個尋找的空間，搭建一個嘗試的平臺。

師：老師發(fā)現(xiàn)試用5、6、7作商的同學最多，大家評議一下，哪一個才是合適的商呢？

①議論為什么覺得商5不合適呢？（板書：余數(shù)要比除數(shù)?。?/p>

②辯論：那為什么不能商7呢？（板書：乘積要小于43）

③師：那商6呢？（補充板書：7和6相乘的積接近43，而且小于43，因此就把6作為商，還余1，表示43÷7商6余1）

（5）看書回顧

學生閱讀課本再次確認方法，回顧尋找（試）商的過程。教師同時指出：這個尋找是需要一個練習過程的，開始時有可能一試就準，也有可能要經(jīng)過幾次嘗試才能找到，但經(jīng)過努力練習，能夠越來越快地幫助我們找到這個商。

（6）模仿練習（略）

4.實踐體會

試商的關(guān)鍵在于試的過程。因此本例教學的核心之處就在于學生在教師引導下先找口訣，再借助豎式圖進行獨立嘗試，然后通過交流討論進行算法比較，規(guī)范方法。“看書回顧”是一個重要的反思消化環(huán)節(jié)，讓學生初步明晰試商的由來、知道試商是一回什么事以及面對試商可以怎么樣，這也是對學生的學習態(tài)度及方法的有效指導。當然，在三、四年級學習一位數(shù)除多位數(shù)、兩位數(shù)除多位數(shù)除法時，教師也可以參照此處教學的思路，給學生時間和平臺去理解、消化和熟悉試商的意義與方法，注意積小變大、積少變多、積慢變快的過程，確保學生在學習和掌握整數(shù)除法知識與技能時的到位、有效。

學生由于有了起始階段的嘗試，對接下來的試商學習更多的則是方法與技巧的積累和完善。此時的學生已初步經(jīng)歷和感受了“試”的過程，對試商的過程以及試商的結(jié)果等有了一定的認識，可以適應新的挑戰(zhàn)，在后續(xù)學習中往往也會有一些意想不到的效果。

（作者單位：廣州市教育研究院）