黃　平, 詹洋燕, 程廣舟

(哈爾濱工程大學自動化學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

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基于量測一步預測信息的自調(diào)整UKF

黃平, 詹洋燕, 程廣舟

(哈爾濱工程大學自動化學院, 黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對無跡卡爾曼濾波(unscented Kalman filter, UKF)中自由調(diào)節(jié)參數(shù)的選取問題,通過研究不同的對于濾波性能的影響,提出基于量測一步預測信息的在線自調(diào)整的UKF方法。所提方法是通過根據(jù)每一濾波時刻量測的一步預測信息,對濾波參數(shù)進行選取,選出每一濾波時刻的最優(yōu)濾波參數(shù),從而實現(xiàn)算法的在線調(diào)整。數(shù)值仿真表明,基于量測一步預測信息的自調(diào)整UKF對于真實狀態(tài)的跟蹤效果要優(yōu)于固定參數(shù)的無跡卡爾曼濾波。

關鍵詞：自調(diào)整; 無跡卡爾曼濾波; 非線性; 一步預測信息

0引言

擴展卡爾曼濾波(extend Kalman filter,EKF)是工程上使用最早的非線性濾波方法[1]。自從20世紀60年代提出以來,被廣泛應用到各個領域[2]。但是,面對強非線性系統(tǒng)時,由于存在高階項的截斷誤差EKF，很可能會導致濾波的發(fā)散。基于“對概率分布進行近似要比對非線性函數(shù)近似容易很多”的觀點，文獻[3]提出了無跡卡爾曼濾波器(unscented Kalman filter,UKF)。

從UKF產(chǎn)生開始,在狀態(tài)向量服從正態(tài)分布時,人們一直認為滿足n+k=3(n為系統(tǒng)的維數(shù))時,無損變換(unscented transformation,UT)能夠有比較出色的表現(xiàn)[4-6]。隨著容積卡爾曼濾波(cubature Kalman filter,CKF)的產(chǎn)生,使得調(diào)節(jié)參數(shù)κ的選取再次成為人們關注的焦點問題[7-8]。雖然UKF與CKF濾波有著不同的假定和理論推導,但是從濾波方法上來看,CKF濾波實質(zhì)上就是UKF的一種特例(κ=0)。兩種濾波在不同維數(shù)下的濾波精度是不同的,也就是說κ的選取并不是固定不變的。因此本文提出一種基于量測殘差的自調(diào)整UKF,即根據(jù)量測信息對κ進行在線調(diào)節(jié),提高濾波的精度。

1UKF

1.1UT變換

假設x∈Rn,y∈Rny是任意的隨機量,且x和y具有的非線性映射關系為

(1)

(2)

(3)

(4)

UT變換就是通過選取一系列具有相應權值的Sigma點{χi}來近似變量的統(tǒng)計特性。

采點方式和相應的權值[9-10]為

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

將UT變換應用到高斯濾波器上,便產(chǎn)生了UKF濾波[11]。

1.2UKF濾波的均值近似誤差分析

(12)

(13)

式中,A?B為矩陣A和B的克羅尼克積;A⊙n代表A的n次克羅尼克冪。同時,f(x)對向量x的k次導數(shù)定義為

(14)

vec(A)定義為

(15)

式中,A是一個p×q的矩陣；ai是它的第i列。依據(jù)泰勒級數(shù)展開式,則UT變換誤差的表達式為

(16)

為了清晰地表達數(shù)學變量,記

(17)

則可以得到誤差的表達式為

(18)

根據(jù)對稱性,各奇階矩均為零。UT變換的誤差可以表示為

(19)

按照式(5)～式(7)傳統(tǒng)UKF濾波選取Sigma點的方式,UT變換能夠精確地捕獲到非線性函數(shù)的2階矩信息,即

(20)

如果狀態(tài)變量服從高斯正態(tài)分布,當κ=3-n時,UT變換不僅能夠精確捕獲系統(tǒng)的2階矩,而且還能夠捕獲系統(tǒng)大部分的4階矩信息[14]。但是,對于不同的非線性函數(shù)f(x),由于非線性度不同,可能會導致在進行泰勒級數(shù)展開時一些高階矩信息對UT變換的影響會大于大部分的4階矩信息,特別是系統(tǒng)模型非線性度比較強時影響更加明顯。這樣,有可能一些高階矩信息對于變換后統(tǒng)計均值和方差的求取是十分有利的。而且,傳統(tǒng)上調(diào)節(jié)參數(shù)的選取只考慮到狀態(tài)變量的先驗概率密度,并沒有考慮到量測信息及系統(tǒng)模型的影響。因此,在單次濾波之前考慮量測量的一步預測信息確定出自由調(diào)節(jié)參數(shù)κ的值是十分必要的。

2在線調(diào)整算法

一般可以適當選取κ值去逼近量測量一步預測的先驗概率密度,但是量測量的先驗概率密度一般是無法精確得到的[15]。而量測的一步預測信息分布越集中，說明一步預測越是準確的。因此,可以根據(jù)一步預測中量測量的各階距來保證對量測預測值的逼近。一般情況,需要保證量測信息的離散度(方差)越小即能夠表征預測信息的準確性。

(21)

由于量測的一步預測概率密度無法精確獲取,這里根據(jù)量測的一步預測的二階矩信息保證逼近真實概率密度。其中K是調(diào)節(jié)參數(shù)κ的取值范圍,即

是一些固定性的可能取值且滿足誤差的協(xié)方差陣正定。濾波算法步驟具體如下:

步驟 1根據(jù)具體非線性模型,選取κ′的值；

令k=k+1,算法繼續(xù)從步驟3進行。

這樣,整個自調(diào)整算法既保證了UT變換中系統(tǒng)捕獲均值的精確性,又保證了充分利用到量測的一步預測信息?？梢钥闯?相比傳統(tǒng)的固定參數(shù)的UKF濾波,自調(diào)整UKF中加入了步驟3。這樣,濾波的精度相比固定參數(shù)的UKF濾波將會整體得到提高,而且,系統(tǒng)模型的非線性越強效果越會明顯。但是,這是以犧牲計算量為前提的,而且調(diào)節(jié)參數(shù)的取值范圍越大、步長step越小,那么計算量就會越大、算法的運行時間就會越長。

3算法仿真

選取強非線性高斯系統(tǒng)數(shù)學模型,用以驗證自調(diào)整UKF的有效性。離散方程[16]為

式中,k=1,2,…,P；ΔT=0.01,過程噪聲和量測噪聲為互不相關的零均值高斯白噪聲,其統(tǒng)計特性分別為wk～N(0,0.09),vk+1～N(0,0.5)。狀態(tài)初始真實值x0=2.3,仿真初始條件取x0|0=2.3,P0|0=0.01,總仿真步數(shù)P=100,仿真次數(shù)M=50。自調(diào)整的UKF和固定參數(shù)UKF兩種濾波器的估計性能采用定義的時間平均MSE進行比較。

式中,xk為理論值;xk|k為濾波估計值;P為總仿真步數(shù);M為仿真次數(shù)。通過仿真,表1首先給出了幾組不同調(diào)節(jié)參數(shù)下的MSE值。可以看到,當調(diào)節(jié)參數(shù)取1的時候?qū)凶钚〉腗SE值。文獻[1]明確給出了結果,即對于一維和二維非線性系統(tǒng)UKF的濾波精度要優(yōu)于CKF(κ=0)的濾波精度。但是不難看到,κ=2對應的MSE并不是最優(yōu)的。因此,無論是κ=0還是κ=2都難以達到最優(yōu)的濾波效果。

表1　不同κ對應的MSE值

表2給出了調(diào)節(jié)參數(shù)的幾個典型的固定值和兩組自調(diào)整值下的MSE及各自的算法實際物理運行時間。

表2　κ在不同條件下的MSE及算法運行時間

不難看出,自調(diào)整UKF的MSE均小于固定參數(shù)的UKF。而且在調(diào)節(jié)參數(shù)的范圍相同時,步長越小,MSE就越小,濾波的精度也越高。但是,自調(diào)整UKF算法的運行時間卻提高了。因此,自調(diào)整UKF的關鍵就是根據(jù)實際的需要適當選取調(diào)節(jié)參數(shù)的步長,協(xié)調(diào)好精度與算法運行時間的關系。

圖1　固定參數(shù)UKF和自調(diào)節(jié)UKF跟蹤效果

圖k的動態(tài)變化

4結論

針對UKF濾波中自由調(diào)節(jié)參數(shù)的選取問題,進行了理論分析和仿真驗證,并在此基礎之上提出了基于量測信息的自調(diào)整UKF濾波方法。為滿足精度的需求,在實際應用中κ′的選擇可以遵循以下規(guī)則:當維數(shù)n≤3時,令κ′=3-n;當n>3時,令κ′=0。而本方法的核心在于在每一次濾波之前都要先根據(jù)量測的一步預測信息確定調(diào)節(jié)參數(shù)的值,然后在最優(yōu)值下進行狀態(tài)均值和協(xié)方差的求取。從仿真結果看,在整個濾波過程中自調(diào)整UKF濾波比傳統(tǒng)固定參數(shù)的UKF濾波跟蹤精度要高,能夠比較精確地跟蹤真實狀態(tài)。但是,在實際中不能一味增加調(diào)節(jié)參數(shù)的取值范圍、減小步長(通常可以選擇step=0.5即可滿足精度的要求)。否則計算量會急劇增加、算法運行時間時間也會明顯變長,但是精度的提高卻不是很明顯。因此,一定要根據(jù)具體的需要適當選取調(diào)節(jié)參數(shù)的范圍與調(diào)節(jié)步長。

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黃平(1980-)，男,講師,博士,主要研究方向為慣性導航技術。

E-mail: hppmonkeyking@163.com

詹洋燕(1991-)，女,碩士研究生,主要研究方向為非線性濾波理論。

E-mail: guiruixiao@sina.com

程廣舟(1988-)，男,碩士研究生,主要研究方向為非線性濾波理論。

E-mail: guangzhoucheng123@163.com

Adaptive setting of scaling parameter of UKF based on step prediction information of measurement

HUANG Ping, ZHAN Yang-yan, CHENG Guang-zhou

(CollegeofAutomation,HarbinEngineeringUniversity,Harbin150001,China)

Abstract:For the adjustable parameter selection problem of κ in the unscented Kalman filter(UKF), through the study of the impact of the different κ for filtering, the method based on the step prediction information of the measurement, which is an online adjustment of the UKF, is presented. Based on the prediction information of measurement in every filtering time, the filtering parameter is selected, which is optimal and can realize the on-line adjustment. Numerical simulations show that the adjustment UKF based on the step prediction information of the measurement tracks the real state better than the traditional UKF.

Keywords:adaptive setting; unscented Kalman filter (UKF); nonlinear; step prediction information

收稿日期：2014-12-16；修回日期：2015-05-18；網(wǎng)絡優(yōu)先出版日期：2015-08-31。

基金項目：國家自然科學基金(61403091)；中國博士后科學基金(2014T70310)資助課題

中圖分類號：TP 391

文獻標志碼：A

DOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.06.27

作者簡介：

網(wǎng)絡優(yōu)先出版地址：http:∥www.cnki.net/kcms/detail/11.2422.TN.20150831.1932.014.html