田燕萍,金肖玲,王　永

(1.杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,浙江 杭州 310018；2. 浙江大學(xué) 工程力學(xué)系,浙江 杭州 310027)

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強(qiáng)化現(xiàn)象啟發(fā)的隨機(jī)振動(dòng)能量收集器優(yōu)化設(shè)計(jì)

田燕萍1,金肖玲2,王永2

(1.杭州電子科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,浙江 杭州 310018；2. 浙江大學(xué) 工程力學(xué)系,浙江 杭州 310027)

摘要:為了使寬帶振動(dòng)能量收集器件的平均輸出功率最大,以壓電型隨機(jī)振動(dòng)能量收集器件為研究對(duì)象,系統(tǒng)討論優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.通過建立器件隨機(jī)響應(yīng)與輸出功率統(tǒng)計(jì)量的解析表達(dá)式,證實(shí)了平均輸出功率的局部強(qiáng)化現(xiàn)象.討論給定激勵(lì)點(diǎn)位置時(shí),壓電片布置位置和壓電片尺寸的優(yōu)化,討論最優(yōu)尺寸隨激勵(lì)作用點(diǎn)和激勵(lì)帶寬的變化關(guān)系.研究表明：激勵(lì)作用點(diǎn)及對(duì)稱位置是布置壓電片的較好位置,壓電片的最優(yōu)、次優(yōu)、最差、次差位置相隔很近；為了得到最大的輸出功率,壓電片尺寸應(yīng)略大于最優(yōu)尺寸.

關(guān)鍵詞：隨機(jī)振動(dòng)；能量收集器；優(yōu)化設(shè)計(jì)；輸出功率均值

隨著微電子器件功耗的下降及其制造工藝的迅速發(fā)展,振動(dòng)能量收集技術(shù)受到科學(xué)界及產(chǎn)業(yè)界的廣泛關(guān)注[1-3].該技術(shù)的發(fā)展可延長(zhǎng)功能器件的電池壽命,甚至完全取代電池,構(gòu)成能源自給的自供電功能器件.在難以更換電池或更換風(fēng)險(xiǎn)較大的場(chǎng)合,例如分布式傳感系統(tǒng)及植入式電子醫(yī)療器件等領(lǐng)域,極具前景.

壓電式振動(dòng)能量收集器件是最廣泛被采用的一種能量轉(zhuǎn)化器件,其中最典型且研究最多的為一維梁型結(jié)構(gòu)[3-4].最近,Aridogan等[5-6]發(fā)展了基于平板結(jié)構(gòu)的壓電式能量收集器件.壓電式振動(dòng)能量收集器件的早期研究均是基于共振原理進(jìn)行的,幾乎完全集中于諧和激勵(lì)情形[7-8],并對(duì)壓電片形狀、尺寸進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)[9-12].由于環(huán)境振動(dòng)本質(zhì)上是隨機(jī)的,振動(dòng)能量分布于一定的帶寬之內(nèi),為更好地應(yīng)用振動(dòng)能量收集技術(shù),應(yīng)全面研究隨機(jī)方面[2,13].

隨機(jī)激勵(lì)作用下振動(dòng)能量收集器件的研究大都針對(duì)由單自由度機(jī)械系統(tǒng)[3].對(duì)于僅包含器件基頻的窄帶激勵(lì),所得結(jié)果是近似正確的,但對(duì)于包含多個(gè)模態(tài)的寬帶激勵(lì),所得結(jié)果本質(zhì)上是錯(cuò)誤的,它沒有能計(jì)及高階模態(tài)的影響[14].最近,Aridogan等[6]、Zhao等[15]針對(duì)一維梁型及二維平板型能量收集器件,從分布參數(shù)模型出發(fā)建立了電壓及逐點(diǎn)位移對(duì)激勵(lì)的頻率響應(yīng)函數(shù),并據(jù)此給出白噪聲作用下輸出功率分析的預(yù)測(cè)方法.由于連續(xù)型能量采集技術(shù)的研究剛剛起步,對(duì)白噪聲激勵(lì)下壓電振動(dòng)能量收集器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)工作,尚有大量問題需要解決.本文延續(xù)上述研究,從連續(xù)體隨機(jī)振動(dòng)理論中局部強(qiáng)化現(xiàn)象出發(fā),全面討論梁型振動(dòng)能量收集器件在白噪聲激勵(lì)下的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.

1模型描述與理論分析

1.1壓電型隨機(jī)振動(dòng)能量收集器件的物理描述及數(shù)學(xué)建模

壓電層本構(gòu)方程[16]為

(1)

圖1　壓電型振動(dòng)能量收集系統(tǒng)示意圖Fig.1　Schematic of piezoelectric-type vibration energy harvesting system

(2)

根據(jù)方程(1)和(2)推導(dǎo)可得關(guān)于中面橫向位移的控制方程：

(3)式中:I=bh3/12為母梁的慣性矩,θ=e31b(h+hp)/2為機(jī)電耦合系數(shù),v 為施加于外電阻R的電壓,且 v=-E3hp.由于壓電層厚度較母梁厚度要小得多,因此推導(dǎo)中忽略了壓電層剛度對(duì)彎矩的貢獻(xiàn).

電路系統(tǒng)由控制方程描述[7]為

(4)

將壓電本構(gòu)方程及幾何方程代入整理得

(5)

方程(3)和(5)即為描述梁型振動(dòng)能量收集系統(tǒng)的完整微分方程組,二者相互耦合.

為使之后的優(yōu)化結(jié)果具有普適性,首先導(dǎo)出相應(yīng)的無量綱控制方程組為

(6)

(7)

(8)

式中:p1=v2/R 為有量綱的系統(tǒng)輸出功率.

1.2隨機(jī)響應(yīng)及平均輸出功率預(yù)測(cè)

無量綱控制方程組(6)和(7)對(duì)系統(tǒng)激勵(lì)性質(zhì)沒有限制,對(duì)于隨機(jī)激勵(lì)情形,該微分方程組為隨機(jī)微分方程組,所有導(dǎo)數(shù)運(yùn)算都在均方意義下進(jìn)行[17].考慮到激勵(lì)由單一隨機(jī)過程描述,根據(jù)線性隨機(jī)振動(dòng)理論,對(duì)給定位置的橫向位移及輸出電壓進(jìn)行討論時(shí),均可視系統(tǒng)為單輸入單輸出系統(tǒng).因此,需首先確定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù),即在周期激勵(lì)作用下系統(tǒng)的幅值和頻率響應(yīng)特性.

應(yīng)用模態(tài)分析法,橫向位移可表示為

(9)

應(yīng)用Galerkin方法,將式(9)代入系統(tǒng)方程(6)并乘以模態(tài)函數(shù)積分,得到關(guān)于模態(tài)響應(yīng)函數(shù)的常微分方程組：

(10)

(11)

(12)

(13)

聯(lián)立式(12)、(13)得到[15]

(14)

(15)

橫向位移的頻率響應(yīng)函數(shù)由模態(tài)頻率響應(yīng)函數(shù)表示為

(16)

(17)

(18)

母梁的曲率均方值表示為

(19)

(20)

輸出功率的均值為

(21)

式(17)～(21)可用于預(yù)測(cè)任意平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量.為了研究的確定性,本文限定激勵(lì)為限帶白噪聲過程,其功率譜密度分段表示為

(22)

式中:S0為常數(shù).對(duì)限帶白噪聲激勵(lì),各響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量公式中的無窮積分限可改為有限積分限[-ω0,ω0],且可將功率譜密度S0從積分號(hào)中提出.上述各響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量均與S0成正比,因此在以下分析中所有統(tǒng)計(jì)量均用S0做了歸一化.

2局部強(qiáng)化現(xiàn)象的證實(shí)

線性隨機(jī)振動(dòng)理論的研究表明,純彈性結(jié)構(gòu)中存在奇異的局部強(qiáng)化現(xiàn)象,即速度均方值在某些特定位置出現(xiàn)極大的強(qiáng)化[17].有理由猜測(cè)其他特征響應(yīng),如曲率等的響應(yīng)均方值亦會(huì)存在類似的局部強(qiáng)化現(xiàn)象.本節(jié)將首先驗(yàn)證純彈性結(jié)構(gòu)中曲率均方值的局部強(qiáng)化現(xiàn)象,并討論小尺寸壓電片對(duì)純彈性母結(jié)構(gòu)曲率強(qiáng)化現(xiàn)象的影響；進(jìn)而證實(shí)壓電片布置位置變化時(shí),輸出功率均值的強(qiáng)化現(xiàn)象.

圖2　位移和速度響應(yīng)均方值沿母梁軸線分布圖Fig.2　Variation of mean-square displacement and mean-square velocity along axis of beam

圖3　曲率均方值沿母梁軸線分布圖Fig.3　Variation of mean-square curvature along axis of beam

壓電型能量收集器件通過母結(jié)構(gòu)變形引起壓電材料變形實(shí)現(xiàn)能量收集,因此若布置壓電層于曲率強(qiáng)化峰值處,必將顯著提高收集功率.然而,壓電層通過機(jī)電耦合效應(yīng)影響母結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)行為,因此需首先研究小尺寸壓電片對(duì)純彈性母結(jié)構(gòu)曲率強(qiáng)化現(xiàn)象的影響.取X0=1/3,ω0=4 000,Xm=1/3,Lp=0.01,壓電型能量收集器件的母結(jié)構(gòu)曲率均方值沿軸線分布如圖3中實(shí)線所示,由圖3可見,小壓電片的存在對(duì)母結(jié)構(gòu)曲率均方值的影響很小,數(shù)值上略微變化且仍近似對(duì)稱.因此,通過曲率強(qiáng)化現(xiàn)象指導(dǎo)壓電型能量收集器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)是合理的.

圖4　壓電層中心位置移動(dòng)時(shí),輸出功率均值的強(qiáng)化現(xiàn)象Fig.4　Local strengthening phenomenon of mean output power with moving of piezoelectric patch center

圖5　平均輸出功率隨壓電片中心位置變化的強(qiáng)化現(xiàn)象Fig.5　Local strengthening phenomenon of mean output power with moving of piezoelectric patch center

取X0=1/3,ω0=4 000,Lp=0.01,壓電片中心位置從梁端移動(dòng)到梁尾過程中,其平均輸出功率的變化如圖4所示.由圖4可見,平均輸出功率亦出現(xiàn)局部強(qiáng)化現(xiàn)象,且相對(duì)于簡(jiǎn)支結(jié)構(gòu)中心位置具有近似對(duì)稱性.其強(qiáng)化位置與圖3中曲率均方值的強(qiáng)化位置一一對(duì)應(yīng),這是由于輸出電壓與母梁曲率的直接相關(guān)性.由于復(fù)雜的機(jī)電耦合行為,2種強(qiáng)化現(xiàn)象中最大及次大的強(qiáng)化峰發(fā)生了切換.取ω0=4 000, Lp=0.01,如圖5所示給出了激勵(lì)作用于不同位置(X0=1/4,1/3,1/2)時(shí),平均輸出功率隨壓電片位置的變化關(guān)系.結(jié)果表明：無論激勵(lì)作用于何處,平均功率均有強(qiáng)化現(xiàn)象出現(xiàn).注意到平均功率的近似對(duì)稱性,在以下分析中,該強(qiáng)化現(xiàn)象均按對(duì)稱處理.圖5亦體現(xiàn)了平均功率強(qiáng)化現(xiàn)象的劇烈變化特征,即極大和極小平均功率交替出現(xiàn).這表明,為得到最大的輸出功率,需謹(jǐn)慎選擇壓電片的中心位置.

3壓電片位置優(yōu)化

如圖6和7所示分別為X0=1/2,Lp=0.01時(shí),隨激勵(lì)帶寬變化壓電片最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差位置的變化及相應(yīng)的平均輸出功率.由圖6、7可知,對(duì)于任意的激勵(lì)帶寬,壓電片最優(yōu)位置處于母梁中心,即激勵(lì)作用點(diǎn)位置.當(dāng)激勵(lì)帶寬增大時(shí),壓電片次優(yōu)位置向梁端偏移,并最終處于某穩(wěn)定位置.壓電片最差位置及次差位置分別緊鄰最優(yōu)及次優(yōu)位置,最優(yōu)位置與次優(yōu)位置的輸出功率偏差不是非常顯著.當(dāng)壓電片分別布置于最優(yōu)位置和最差位置時(shí),平均輸出功率有相當(dāng)大的差別.例如,當(dāng)外激勵(lì)的上截止頻率為 ω0=4 000,壓電片處于最優(yōu)位置X0=0.5的平均輸出功率為3.808×10-2,處于最差位置X0=0.470的平均輸出功率為8.522×10-3,即最優(yōu)平均輸出功率是最差平均輸出功率的4.47倍.

圖6　激勵(lì)帶寬對(duì)壓電片最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差布置位置的影響Fig.6　Effect of excitation bandwidth on optimal, sub-optimal, worst and sub-worst locations of piezoelectric patch

圖7　激勵(lì)帶寬對(duì)最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差功率均值的影響Fig.7　Effect of excitation bandwidth on optimal, sub- optimal, worst and sub-worst mean output power

圖8　激勵(lì)帶寬對(duì)壓電片最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差布置位置的影響Fig.8　Effect of excitation bandwidth on optimal, sub- optimal, worst and sub-worst locations of piezoelectric patch

如圖8和9所示分別給出了X0=1/3, Lp=0.01時(shí),壓電片最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差位置以及相應(yīng)的各平均輸出功率.由圖8、9可見,隨著激勵(lì)帶寬的增大,最優(yōu)位置迅速向梁端偏移,次優(yōu)位置發(fā)生劇烈波動(dòng)后穩(wěn)定在激勵(lì)作用點(diǎn)附近；最差及次差位置在帶寬較小時(shí)十分混亂,而帶寬較大時(shí)穩(wěn)定在次優(yōu)位置附近,盡管有顯著跳躍現(xiàn)象發(fā)生.最優(yōu)及次優(yōu)平均輸出功率值接近,最差及次差平均輸出功率值接近,2組值相差約一倍.為進(jìn)一步總結(jié)規(guī)律,如圖10和11所示給出了X0=1/4,Lp=0.01時(shí)的情形.由圖10、11可知,當(dāng)激勵(lì)帶寬較小時(shí),最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差位置沒有規(guī)律可言；當(dāng)激勵(lì)帶寬較大時(shí),最優(yōu)及次優(yōu)位置分別位于梁端及激勵(lì)作用點(diǎn)附近,最差及次差位置位于次優(yōu)位置兩側(cè).

圖9　激勵(lì)帶寬對(duì)最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差功率均值的影響Fig.9　Effect of excitation bandwidth on optimal, sub- optimal, worst and sub-worst mean output power

圖10　激勵(lì)帶寬對(duì)壓電片最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差布置位置的影響Fig.10　Effect of excitation bandwidth on optimal, sub- optimal, worst and sub-worst locations of piezoelectric patch

圖11　激勵(lì)帶寬對(duì)最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差功率均值的影響Fig.11　Effect of excitation bandwidth on optimal, sub- optimal, worst and sub-worst mean output power

對(duì)上述3種典型情況的討論說明,當(dāng)激勵(lì)帶寬較小時(shí),最優(yōu)、次優(yōu)、最差及次差位置沒有明顯規(guī)律可言,這是由于帶寬較小時(shí)局部強(qiáng)化現(xiàn)象不明顯；當(dāng)激勵(lì)帶寬較大時(shí),最優(yōu)及次優(yōu)兩位置位于激勵(lì)作用點(diǎn)及梁端附近,而最差及次差兩位置緊鄰最優(yōu)及次優(yōu)兩位置.因此,激勵(lì)帶寬較大的情形對(duì)寬帶能量收集更有意義.又注意到最優(yōu)及次優(yōu)位置的平均輸出功率并沒有明顯偏差,因此在后文關(guān)于壓電片最優(yōu)尺寸的討論中均保持壓電片與激勵(lì)點(diǎn)處于同一位置.

4壓電片尺寸優(yōu)化

太小的壓電片尺寸產(chǎn)生過少的電荷,而過大的壓電片尺寸將覆蓋應(yīng)變的正負(fù)交替區(qū)域,即越過應(yīng)變節(jié)點(diǎn),從而引起電荷相消[11],這些對(duì)于能量收集都是非常不利的.存在最優(yōu)的壓電片尺寸,使得平均輸出功率達(dá)到最大值.如圖12所示給出了ω0=4 000下,平均輸出功率隨壓電片尺寸的變化關(guān)系,由圖12可見,對(duì)于典型的3種激勵(lì)作用及壓電片布置位置,確實(shí)都有最優(yōu)的壓電片尺寸.壓電片小于最優(yōu)尺寸時(shí)輸出功率劇烈下降,因此應(yīng)使得壓電片尺寸不小于最優(yōu)尺寸以期獲得較大平均輸出功率.如圖13所示給出了壓電片最優(yōu)尺寸隨著激勵(lì)作用點(diǎn)位置,也即壓電片中心位置的變化關(guān)系.由圖13可見,隨著激勵(lì)作用點(diǎn)位置的移動(dòng),壓電片最優(yōu)尺寸發(fā)生波動(dòng)；且總體而言,越大的激勵(lì)帶寬相應(yīng)于越小的壓電片最優(yōu)尺寸.從實(shí)用角度講,對(duì)給定的激勵(lì)帶寬,壓電片尺寸可取最優(yōu)尺寸的最大值,這是由于若壓電片尺寸小于最優(yōu)尺寸則將導(dǎo)致輸出功率的急速下降(如圖12所示).如圖14所示給出了壓電片最優(yōu)尺寸隨激勵(lì)帶寬的變化關(guān)系.由圖14可知隨著激勵(lì)帶寬的增加,壓電片最優(yōu)尺寸顯著減小.且壓電片最優(yōu)尺寸對(duì)激勵(lì)作用點(diǎn)位置,即壓電片中心位置不太敏感.

圖12　平均輸出功率隨壓電片尺寸的變化Fig.12　Mean output power vs. size of piezoelectric patch

圖13　壓電片最優(yōu)尺寸隨激勵(lì)作用點(diǎn)(壓電片中心)位置的變化Fig.13　Optimal size of piezoelectric patch vs. excitation location, i.e., piezoelectric patch center

圖14　壓電片最優(yōu)尺寸隨激勵(lì)帶寬的變化Fig.14　Optimal size of piezoelectric patch vs. excitation bandwidth

5結(jié)論

在線性隨機(jī)振動(dòng)理論局部強(qiáng)化現(xiàn)象的啟發(fā)下,本文系統(tǒng)研究了壓電型隨機(jī)振動(dòng)能量收集器件的優(yōu)化設(shè)計(jì)問題.主要結(jié)論如下：

(1)對(duì)于給定的激勵(lì)帶寬和激勵(lì)點(diǎn)位置,壓電片最優(yōu)及次優(yōu)兩位置分別處于梁端附近及激勵(lì)作用點(diǎn)附近,且最差和次差位置分別臨近上述兩較優(yōu)位置,這要求壓電片的中心位置需謹(jǐn)慎選擇.

(2)激勵(lì)作用點(diǎn)及激勵(lì)作用點(diǎn)的中心對(duì)稱位置一定是最優(yōu)位置或次優(yōu)位置,而激勵(lì)作用點(diǎn)可能不適合布置壓電片,因此,直接布置壓電片于激勵(lì)作用點(diǎn)的中心對(duì)稱位置就成為最好選擇.

(3)當(dāng)壓電片尺寸小于最優(yōu)尺寸時(shí),平均輸出功率將急劇下降,因此應(yīng)選擇壓電片尺寸略大于最優(yōu)尺寸,從而提高魯棒性,應(yīng)對(duì)外界環(huán)境的不確定變化.

(4)若外界激勵(lì)不具有固定帶寬,需考察哪個(gè)帶寬占據(jù)主導(dǎo)地位,并據(jù)此給出最優(yōu)尺寸.

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Strengthening phenomenon-inspirited optimum design ofrandom vibration energy harvester

TIAN Yan-ping1, JIN Xiao-ling2, WANG Yong2

(1.SchoolofMechanicalEngineering,HangzhouDianziUniversity,Hangzhou310018,China;2.DepartmentofEngineeringMechanics,ZhejiangUniversity,Hangzhou310027,China)

Abstract:The optimum design of piezoelectric-type random vibration energy harvester was investigated to acquire the maximum mean output power. The analytical formula for the statistics of random responses and output power were established. Then the local strengthening phenomenon of mean output power were verified. For given excitation locations, the optimal locations and optimal length of piezoelectric patch were derived, and the relations of the optimal length to the excitation location and excitation bandwidth were discussed. Results show that the excitation and its symmetry location are good places for piezoelectric patch. The optimal, sub-optimal, worst and sub-worst locations of piezoelectric patch are very close. The length of piezoelectric patch should be slightly larger than the optimal design value in order to obtain the maximum output power．

Key words:Random vibration; energy harvester; optimum design; mean output power

收稿日期：2015-05-23.浙江大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版)網(wǎng)址： www.journals.zju.edu.cn/eng

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11302064, 11472240, 1153000141, 51405118);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(2016FZA4025).

作者簡(jiǎn)介：田燕萍(1983- )，女，講師，從事結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)、智能材料與結(jié)構(gòu)的等研究. ORCID: 0000-0003-1684-9749. E-mail: tianyanp@sina.cn通信聯(lián)系人：王永，男，副教授.ORCID: 0000-0002-9741-3367. E-mail: ypwang@zju.edu.cn

DOI:10.3785/j.issn.1008-973X.2016.05.017

中圖分類號(hào)：O 324

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1008-973X(2016)05-0934-07