孫蘭香（滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001）

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存在奇點(diǎn)的一維高階奇異積分

孫蘭香
（滄州師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河北滄州061001）

摘要：文章研究實(shí)數(shù)域中奇異積分的主值問(wèn)題。這是基于數(shù)學(xué)分析中對(duì)廣義積分的研究作的進(jìn)一步深入探討的工作。文中定義了一維奇異積分的Cauchy主值與Hadamard主值并給出了相應(yīng)的公式。

關(guān)鍵詞：高階奇異積分；Cauchy主值；Hadamard主值

Keywords:higher order singular integral；Cauchy principle value；Hadamard principle value

在復(fù)分析中有對(duì)復(fù)平面上奇異積分的主值研究，在實(shí)數(shù)域中也存在積分問(wèn)題的研究，對(duì)收斂的廣義積分可以求得其積分值，而發(fā)散的廣義積分不存在積分值。這里便出現(xiàn)了值得探討的新問(wèn)題，即研究發(fā)散的廣義積分的主值問(wèn)題。

定義1設(shè)f（x）定義于（a，b）上，當(dāng)c?（a，b）時(shí)，稱為Cauchy型積分，只要此積分存在。

定義2（H?lder條件）設(shè)f（x）定義于（a，b）上，若存在常數(shù)A，使得對(duì)于任意的兩點(diǎn)x1，x2?（a，b），恒有（0

定理1（一階奇異積分的柯西主值存在的充分條件）若f（x）?Ca（a，b），c（a，b），則存在，且

證明：因?yàn)?/p>

上式右端第二項(xiàng)與第四項(xiàng)之和為：

而右端的第一項(xiàng)與第三項(xiàng)可以如下證明其存在：因?yàn)閒（x）?Ca（a，b），由H?lder條件，

知

當(dāng)?→0+時(shí)是與?無(wú)關(guān)的常數(shù)，而

此極限一般不存在。

定義3設(shè)f（x）?C1，a（a，b），則二階奇異積分的 Hadamard主值為

定理2：設(shè)f（x）?C1，a（a，b）（表示f（x）與f（n-1）（x）在（a，b）上都滿足H?lder條件），c?（a，b），則高階奇異積分的Hadamard主值為：

我們還可以將奇點(diǎn)位于區(qū)間內(nèi)部的高階奇異積分的Hadamard主值繼續(xù)推廣，討論奇點(diǎn)位于區(qū)間邊界處的奇異積分的Hadamard主值。

上式中的第一項(xiàng)極限存在，第二項(xiàng)為常數(shù)。但第三項(xiàng)可能不存在?？梢?jiàn)單邊一階奇異積分的柯西主值不一定存在，我們刪去引起積分發(fā)散的項(xiàng)，即可得到一階單邊積分的Hadamard主值。

定義4設(shè)f（x）?ca（a，b），則奇異積分的Hadamard主值為：

只要重復(fù)多次使用分部積分法，把引起積分發(fā)散的項(xiàng)一概刪去，即可得到單邊高階奇異積分主值。

定理3：設(shè)函數(shù)f（x）?Cn-1，a（a，b），單邊高階奇異積分主值為：

聯(lián)系前面高階奇異積分與以上單邊奇異積分易得以下定理：

定理4：設(shè)函數(shù)f（x）?Cn-1，a（a，b），c?（a，b），則：

其中左端理解為高階奇異積分，右端為單邊高階奇異積分。

數(shù)學(xué)分析對(duì)發(fā)散的廣義積分的研究以判斷出其發(fā)散為終止，而問(wèn)題到此并未圓滿結(jié)束，主值問(wèn)題的提出正是為廣義積分的研究開(kāi)拓了新的思路，有其不容忽視的作用。

參考文獻(xiàn)

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Abstrat:This paper studies the problem of principal value of singular integrals in real number field.This is the improvement research based on the study of generalized integralof Mathematical Analysis.The definitions of Cauchy principal value and Hadamard principal value ofone-dimensional singular integral are obtained，and the formulas are given.

中圖分類號(hào)：O17

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2096-000X（2016）12-0258-02

作者簡(jiǎn)介：孫蘭香（1969，3-），女，漢族，籍貫：河北海興，職稱：副教授，學(xué)位：碩士，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。